第7节 解三角形的综合问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题二第四章 三角函数、解三角形 第7节解三角形的综合问题 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1（解三角形中的结构不良问题 (1)求角C的值： (2)求a的取值范围. [典例](2025·北京模拟)已知△ABC为锐角 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一 三角形，且b=7,asin B=4√3. 个解答计分 (1)求sinA的值： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件 中选择一个作为已知，求△ABC的周长. 条件①：a=8: 条件@：B=受： 条件③：c=5. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分 [尝试解答] 题型2（平面几何中的解三角形问题 [典例们 如图，在平面四边 形ABCD中，DA⊥AB, DE=1,EC=√7，EA=2, ∠ADC=,且∠CBE,∠BEC,∠BCE成等 差数列。 (1)求sin∠CED: (2)求BE的长. 方法指导 [尝试解答] “结构不良问题”的解题策略 (1)题目所给的三个可选择的条件是平行的， 无论选择哪个条件，都可解答题目· (2)在选择的三个条件中，并没有哪个条件让 解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程 规范，都会得满分，但计算要细心、准确， 避免出现低级错误导致失分 跟踪训练 (2025·辽宁省大连市模拟试)在①a十acos C =3 csin A,②(a十b+c)(a+b-c)=3ab. ③(a-b)sin(B+C)+bsin B=csin C.这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知锐角三角形ABC的内角分别为A,B,C, 对边分别为a,b,c, ,且S△ABc=V3. 99 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 方法指导 题型3〔解三角形中的最值与范围问题 与平面图形有关的解三角形问题的关键及 [典例] (2022·新高考I卷)记△ABC的内角 思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条 A,B.C的对边分别为a6c,已知A 件和所求问题的类型，然后将数据化归到三 sin 2B 角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知 1+c0s2B1 和所求的关系. ①若C-经，求B: 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角 (②求少的最小值 形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦 [尝试解答] 定理求解： (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公 共条件，求出结果 提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些 知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边 形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定 理有机结合，才能顺利解决问题. !跟踪训练 (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为 3,D为BC的中点，且AD=1. )若∠ADC=,求tanB: (2)若b2+c2=8,求b,c. 方法指导 与平面图形有关的解三角形问题的关键及 思路 本题涉及求边的取值范围，一般思路是 (1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函 数的性质求出范围或最值。 (2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用不 等式求出范围或最值 100 主题二第四章 三角函数、解三角形 跟踪训练 方法指导 (2025·湖北七市联考)在锐角三角形ABC 解三角形与三角函数的综合应用主要体现在 中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且osA 以下两方面： (1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行 +cos B23sin C 解三角形： b 3a (2)解三角形与三角函数图象和性质的综合 (1)求角B的大小： 应用 (2)若b=23,求a十c的取值范围， 跟踪训练 (2025·山东淄博模拟)已知函数f(x)= v3 in-cos2or+号（ow>0.其图象 上相邻的最高点和最低点间的距离 为，4+ (1)求函数f(x)的解析式： (2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,c,a=4,bc=12,f(A)=1.若角A的平分线 AD交BC于D,求AD的长. 题型4（三角变换与解三角形的综合应用 [典例] 已知函数f(x)=√3 sin wxcos.x sin2oc+号，其中m>0,若实数x,r2满足 |f(x1)-f(x2)|=2时，|x1一x2|的最小值 为受 (1)求w的值及f(x)的对称中心； (2)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对 边，若f(A)=-1,a=√3，求△ABC周长的取 值范围. [尝试解答] 请完成课时冲关27 101则AB=53-5,AC=52,∠ACD=45°， 在R1△ADC中，AD=DC=5, 中gmc-合osc=iim(C-吾)合 在Rt△BDC中，BD=55,DC=5, m∠BCD-肥-原.又：∠cDe(o,) 0<<受-<C-晋< ∠BCD=5 选择条件②，由(a+b+c)(a+b一c)=3ab. 则乙船的目标方向线（山现测点看目标的视线）的方向是南偏 得(a+b)2-2=a2+b2+2ab-c2=3ab, 西60°.] a2+2-2=ah. 跟踪训练 3.解析：D[如图所示，地球表面莱地正午太阳高 用由余袋定理程C兰-总-宁 2ab 度角为0,8为此时太阳直射点韩度，g为当地韩度 值，那么这三个量满足0=90°-9-8， 0 长 0<C<受C- 当6=0°且g为正值，可得0=90°-， 影长 选择条件③，：A十B十C=T,B+C=x一A, 即g=90°-0， 结合(a一b)sin(B+C)十bsin B=esin C, 设木杆的影长为m,可得an9= 得(a-b)sinA十b·sinB=esin C. 由正弦定理，得(a一b)a十=e2, 因为甲、乙，丙、丁四个小组在网一场地进行，得到影长分别为 脚a2+一2=ah. 0.82,0.80,0.83,0.85, 所以当m=0.85时，0取得最小值，此时中求得最大值， 财由会孩定理，得C-心兰-总-名 2ab 所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组.] 0<C<受C= 第7节解三角形的综合问题 跃升·关键能力题型1 (25aw-专binC-cb…g-原h=4 b [典例们[解】(1)由正孩定是入=B所以asi血B “△ABC为锐角三角移，且C=哥。 bsin A. A=号-B∈(0，受)心音<B<号 3 代入得asinB=7sinA=尽，所以inA-4区 (2)选择条件①：山=8. 又0<B<受∴吾<B<受amB>g 因为5mA-4y sin B 7 ,所以cosA=士7 由正孩定理品品D得a细合 因为A为锐角，所以c08A=7· osn(停-A)4(停oasB叶snB 由余孩定理a2=十2-2hec0sA, sin B sin B 代入得到64-49+2-2·7·6·7，所以2-20-15-0， 23 aniB+22<a2<8.2<a<22, 解得=5，或c=一3（舍）. 即a的取值范国为(w2,22). 所以△ABC的周长为20， 题型2 选择条件@：B=骨 [典例][解]设∠CED=a. 因为∠CBE,∠BEC,∠BCE成等差数列， 因为asinB=4,所以a号=45， 所以2∠BEC=∠CBE+∠BCE, 所以a=8, 又∠CBE+∠BEC+∠BCE=x,所以∠BBC=受， 周为血A-45,所以sA=士 (I)在△CDE中，由余弦定理得EC°=CD+DE一2CD·DE· 7 cos∠EDC, 1 因为A为锐角，所以c08A=7· 即7=CD+1十CD,即CD+CD-6=0, 解得CD=2(CD=-3舍去). 由余孩定理a2=2+2-2 becos A, EC CD 1 代入得到61=49+2-2·7·6·7，所以2-2-15=0， 在△CDE中，由正孩定理得m2 EDC sin a' 解得r=5,戎c=-3(会). D:m经2×号 所以△ABC的周长为20. 于是sina= EC 7 选择条件③：=5， 周为mA=,所以mA=士 即sin∠CED- 7 因为A为锐角，所以c0sA=7, (2)由题设知0<a<受，由(1)知 由余弦定理a2=十2一2 beeos A, 1 7 代入得到a2=49+25-2·7·5·7 所以a=8, 又∠AEB=x-∠BEC-a-号-e: 所以△ABC的周长为20. 跟踪训练 所以o∠ABB=o(号-e）=os7csa+ 解：(1)选择条件①，，a十acos C=3 csin A, 1 ∴.由正弦定理可得sinA十sin A cos C=√3 sin C sin A. ×29+×- 7 0<A<交inA≠0， 在R△EAB中，o∠AEB-品-得 ∴.1+cosC=√3sinC.3sinC-cosC=1, 所以BE=47 454 跟踪训练 解：1D因为5=254=2X号×号×1×n60=。 =4sinA+4n(号-A) =6sinA+23cosA=4y3sim(A+若） 5,解得a=4, 在△ADC中由余孩定理得B2=]2+2-2X1X2Xc0s号=3 由0<A<受，0<-A受，得音<A<受 在△ABD中，2=1P+2-2X1×2X0os号=7， 所以音<A+吾<号，所以受<n(A+吾)1， 在△ABC中，osB=2+a-E=7+16-3-57 所以6<a十c≤43.故a十c的取值范国为(6,4√3门. 2ca 题型4 27×4 sin B= I-cos B-T [奥例][解]（Dx)=尽sin--sin+号 4 周此tanB=sinB=区 号n2r-2a+号 2 cosB5· (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)2+BC=2(AB+ sin 2axr+cos 2ar-sin (2+ AC),即22+a2=2(2+2)=16,所以a=12,又S△AMe= 显然f(x)的最大值为1，最小值为一1， 之加mA=百，周后xnA-2。又由余孩定理得=十 则1)-f1=2时，-的最小值等于 一2bco5A,p12=8一2 bccos A,所以cosA=一2，故tanA= -一厅20sA=-令，所以c=4,又2+2+2张=8+8=16 (b+c)2,2+c2-2x-8-8=0-(b-e)2,故可得b=c-2. ◆2十音-∈解得=一十受∈乙 题型3 [典例][解】(1)图为十m入1+cos2B cos A sin 2B 则fx)的对称中心为(-登+经，0）∈乙 -2sin Bcos B sin B (2fA)=sin(2A+日）=-1.2A+F=-受+2kx,k∈Z 2cos?B cos B' sin B=cos Acos B-sin Asin B 又A∈(0，)，则A=2 3 -cos(A+B)=-cos C 由亚弦定理得入BC b =2 而0<B<受，所以B=若 2 则b=2sinB,r=2sinC, (2)由(1)知，sinB=-cosC>0, 则周长为a+b+c=√3+2sinB+2sinC 所以受<C< =5+2sinB+2sin(号-B）=3+sinB+cos B 0<B<受， =6+2sim(B+号）小 而sinB=-cosC=sin(C-吾） 又0<B<骨，则晋<B+受<答 所以C=受+B,即有A=受一2B, 则3<2im(B+号）<2， 所以2+_simA+sin'Bcos2B+1-co'B 2 故周长的取值范图为(23,2十3]. sinC cos B (2cos B-1)+1-cos B4cos B+2 跟踪训练 cos2 B 解：周为/)=月sin-oar+之=号sn2ar ≥28-5=4V2-5. 1 当且仅当0B=号时取等号，所以+的最小值为1区-5。 -2os2ar=sin(2ar-若） 2 跟踪训练 设画数)的周期为工，由题意（召）'+4=4+号，脚（亮） 解：(1)由已知条件， -号解得。=1 bcos A+acos B-2bsin C. 3 所以)=im(2x-吾)】 由正孩定理， 得sin Beos A+cos Bsin A (2)由A)=1,得sim(2A-音)=1，即2A-吾=2张x+乏A 2sin Bsin C. 3 ∈，解得A=kx+晋kcZ, 卑n(A+B-nmC 因为A∈[0，x,所以A=牙， 又在△ABC中，sin(A十B)=sinC≠0， 围为A的平分线AD交BC于D, 所以sinB= 号因为B是锐角，所以B=吾 所以S度=5a+S6m中号n吾-名c·AD·血吾 (2)由正孩定理， b2=4 +:AD·血吾，可得AD- 得A-sin C-sin B区 由余孩定理得：a2=十2-2 ccos A=(b+c)-3c,而bc 2 =12, 则a■4sinA,c=4sinC. 所以a十c=4sinA十4sinC 得(h+)2=52,周光AD=12E-63丽 2/1313 455