第6节 正弦定理和余弦定理及应用举例-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名创新高考总复习数学北师大版 第6节正弦定理和余弦定理及应用举例 ★[课程标准] 1.掌握余弦定理、正弦定理及其变形。 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的三角形度量问题. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 续表 1.正、余弦定理 术语 术语意义 图形表示 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a, 名称 b,c,R为△ABC外接圆半径，则 从某点的指北方向线起按 顺时针方向到目标方向线 北 定理 正弦定理 余弦定理 方位角 之间的夹角叫做方位角.方 135东 a2= 位角0的范围是0°≤0 公式 sin A 62= <360 =2R 例：(1)北偏 东a: (1)a=2Rsin A.b= 北 c 正北或正南方向线与目标 东 常 (2)sin A= 2R'sin B= 方向角方向线所成的锐角，通常表 cos A= 见 达为北（南）偏东（西）a (2)南偏西a: ,sinC=2求' cos B= 北 形 cos C= 东 (3)a:b:e= (4)asin B=bsin A,bsin C =csin B.asin C=csin A 坡面与水平面所成的锐二 面角叫坡角(0为坡角)；坡 2.三角形常用面积公式 坡角 面的垂直高度与水平长度 (1)S= 1 a·ha(h。表示边a上的高). 与坡比之比叫玻比（坡度），即 h =tan 0 (2)S= 2absin C= 2 acsin B=-号lesin A. ·重要结论， (3)S= 2r(a十b+c)(r为三角形内切圆半径). 在△ABC中，常用以下结论： (1)∠A+∠B+∠C=π. 3.测量中的几个有关术语 (2)A>B台a>b台sinA>sinB台cosA< 术语 术语意义 图形表示 cos B. 名称 (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小 于第三边， 在目标视线与水平视线（两 (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; 者在同一铅垂平面内)所成 题 C 仰角与的角中，目标视线在水平视留4你年水半 tan(A+B)=-tan C:sin A?B=cos? 2 C 俯角 线上方的叫做仰角，目标视義衡角一视线 cos A+B 、目标 2 sin2 线在水平视线下方的叫做 视线 (5)三角形中的射影定理 俯角 在△ABC中，a=bcos C+ccos B;b=acos C +ccos A;c=bcos A+acos B. 94 主题二第四章三角函数、解三角形 自主诊断查验 2.在△ABC中，内角A、BC的对边分别为a,b、 ◆[思考辨析] c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是( 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 A.钝角三角形 B.直角三角形 号里打“/”，错误的打“×” C.锐角三角形 D.等边三角形 (1)在△ABC中，sinA：sinB:sinC=BC: 3.(多选)（解三角形时漏解致误）在△ABC中， AC:AB. a=√5，b=√2，B=45°，则角A为 (2)在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B. A.60 B.120 ( C.75 D.30° (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元 4.在△ABC中，A=60°，AC=4,BC=23,则 素可求其他元素 (4)在△ABC中，若a2>b2+c2,则△ABC一 △ABC的面积等于 定为钝角三角形。 5.如图所示，为测量一树的 ◆[小题查验] 高度，在地面上选取A,B 1.(BSD必修第二册P11o练习T1改编)在△ABC 两点，从A,B两点分别测 30 B6Um A 中，AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=( 得树尖的仰角为30°，45°， 且A,B两点间的距离为60m,则树的高度为 A. B c. D. m. 跃升>关键能力 层级突破素养提升 方法指导 题型1 利用正、余弦定理解三角形 1.已知△ABC中的某些条件(a,b,c和A,B, 》[命题点1]求边长 C中至少含有一条边的三个条件)求边长 [典例1](2025·上海模拟)如 图，在△ABC中，已知∠B= 时可用公式a三君.三和B sin A,c= 45°，D是BC边上的一点，AD sinc2-2bccosAe? asin C =5,AC=7,DC=3,则AB的长为 -2accos B,c2=a2+62-2abcos C. A.53 B.5V6 C.5 3 2 D.56 2 2.已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公 [尝试解答] a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 提醒：(1)已知△ABC的两边及其一边的 对角求边时可用正弦定理，但要对解的个 数作出判断，也可用余弦定理解一元二次 方程求得. (2)涉及解三角形中的最值（范围）问题时 若转化为边求解可利用基本不等式或二次 函数；若转化为角求解可利用三角函数的 有界性、单调性。 1跟踪训练 1.(2025·青海玉树模拟)在△ABC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,且a=2√6，cosA= 4,sinB=2sinC,则b= A.1 B.2 C.3 D.4 95 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ◆[命题点2]求角 题型2〔利用正弦，余弦定理判定三角形的形状 [典例2]记△ABC是内角A,B,C的对边分别 [母题]△ABC的内角A,B,C的对边分别为 为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上， a,b,c,已知asin2B=2 bsin Bcos A,则△ABC BDsin∠ABC=asin C. 的形状一定是 () (1)证明：BD=b: A.等腰三角形 B.锐角三角形 (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. C.直角三角形 D.钝角三角形 [尝试解答] [尝试解答] [子题1] 母图条件不变，若后一8只判断 △ABC的形状. 方法指导 [子题2]母题条件不变，若a=2 beos C,判断 1.已知△ABC中某些条件求角时，可用以下 △ABC的形状. 公式：sinA=asin B b,sin B=bsin A sin C =csin A cos A b2+c2-a 2bc -cos B= a2+c2-b2 2ac ,cos C=2+62-c2 2ab 2.已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公 [子题3] 式sinA=录sinB=0sinC-2求 b 母题条件不变，若6<cosA,判断 △ABC的形状. 提醒：(1)注意三角形内角和定理(A十B十 C=π)的应用. (2)解三角形中经常用到两角和、差的三角 函数公式。 心跟踪训练 2.(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若a cos B-b cos A=c, 且C=F,则∠B= ( A B号 C.io 96 主题二第四章三角函数、解三角形 规律总结 跟踪训练 判定三角形形状的两种常用途径 (2023·全国甲卷)记△ABC的内角A,B,C (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利 用三角变换得出三角形内角之间的关系 的对边分别为a,b,c,已知2+c2-a2 cos A =2. 进行判断. (1)求bc; (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过 代数恒等变换，求出边与边之间的关系进 (2)若acos B=cosA-么=1，求△ABC a cos B+bcos A c 行判断. 面积. 提醒：在判断三角形形状时一定要注意解 是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在 变形过程中要注意角A,B,C的范围对三 角函数值的影响， 题型3〔 与三角形面积有关的问题 [典例](2024·新课标I卷)记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC= 2cos B,a2+b2-c2=2ab. (1)求B: (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. [尝试解答] 题型4 解三角形应用举例 卜[命题点1测量距离问题 1.(2025·广东惠州模拟)如图，曲柄连杆机构 中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的 传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB。位 置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A。处.设连杆AB长200mm,曲柄CB长 70mm,则曲柄自CB。按顺时针方向旋转 53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移 动的距离A。A)约为 mm.(结果保 留整数)（参考数据：sin53.2°≈0.8） 方法指导 方法指导 三角形面积公式的应用原则 测量距离问题的2个策略 (1)对于面积公式S=2 bsin C=2 aesin B (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所 号besin A,一极是已知事-个角就使用 求量所在的三角形，若其他量已知则直接 求解：若有未知量，则把未知量放在另一 哪一个公式 确定三角形中求解。 (2)与面积有关的间题，一般要用到正弦定理 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可 或余弦定理进行边和角的转化 用，就选择更便于计算的定理， 97 金榜题名 创新高考总复习 数学北师大版 跟踪训练 且BQ1=16米.为使距地面6米高的看台第 1.如图所示，某旅游景点有 一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底 座风景秀丽的山峰，山上有 部，则BQ 一条笔直的山路BC和一 条索道AC,小王和小李打 Q 0 算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步 A.40.5米 B.54米 攀登，已知∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD C.81米 D.121.5米 =1km,AC=3km.假设小王和小李徒步攀 [命题点3]测量角度问题 登的速度为每小时1250米，请问：两位登山爱 3.(2025·吉林模拟)位于灯塔A处正西方向 好者能否在2个小时内徒步登上山峰（即从B 相距(5√3一5)n mile的B处有一艘甲船需 点出发到达C点)？ 要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距 5√2 n milel的C处的一艘乙船前往营救，则乙 船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的 方向是南偏西 () A.30° B.60 C.75 D.45 方法指导 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础 上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标 出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定 [命题点2]测量高度问题 理解三角形，最后将解得的结果转化为实际 2.某兴趣小组利用无人机测量 问题的解 烈土塔的高度.无人机在点A 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定 处测得烈士塔顶部点B的仰 45 D 方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角. 61 角为45°，烈士塔底部点C的 日跟踪训练 俯角为61°，无人机与烈士塔 革命烈士纪念碑 3.(2025·北京通州模拟)太阳高度角是太阳光 的水平距离AD为10m,烈 线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）.设 士塔的高度为 m. 地球表面某地正午太阳高度角为，6为此时 (结果保留整数.参考数据：sin61°≈0.87，cos 太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三 61°≈0.48，tan61°≈1.80) 个量满足0=90°一9一6l.通州区某校学生科 …方法点拨… 技社团尝试估测通州区当地纬度值（©取正 高度也是两点之间的距离，其解法同测量水 值)，选择春分当日（ò=0°）测算正午太阳高度 平面上两点间距离的方法是类似的，基本思 角.他们将长度为1米的木杆垂直立于地面， 想是把要求解的高度（某线段的长度）纳入到 测量木杆的影长.分为甲、乙、丙、丁四个小组 一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其 在同一场地进行，测量结果如下 他相关知识求出该高度. 组别 甲组 乙组 丙组 丁组 心跟踪训练 木杆影长度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85 2.(2025·湖南长郡中学模拟)如图所示，在某体 育场上，写有专用字体“一”“起”“向”“未”“来” 则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一 组是 的五块高度均为2米的标语牌正对看台(B点 为看台底部)由近及远沿直线依次竖直摆放， A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组 分别记五块标语牌为P1Q1,P2Q2,…,PsQ, 请完成课时冲关26 98老+<+ 跟踪训练 1.D[因为sinB=2sinC,由正弦定理可知b=2c,在△ABC中，由 令k=0,x)在- 忌]上单调造增， 余孩定理可得：osA-公+-心--1→2十2-24 4 []=[恶忌] -解得=4.>0c=2,故6=4门 命题点2 解得0<<号， [典例2][解]法一：(1)汪明：由BDsin.∠ABC=asin C及正弦 m>0, 定理释D艺品一告-号-么 asin C 熔上m的取值花周是名<<智 (2)由余弦定理得 [答案] 厂5107 23 2XbXc 2x号bX 第6节正弦定理和余弦定理及应用举例 整理得2u2+cC-号b=0. 3 夯实·必备知识必备知识掌握 即2a2+c2-11 1.sin B sin C2bccos A ta2cacos B ac=0,所以c=3a或c=2a. 当c=3a时，由2=ac得b=√3a, 2abeos C (1)2Rsin B 2Rsin C ()R (3)sin A sin B: 此时a十b=(十1)a<c,不满足题意， sin C b+e2-a2c2+a2-b2a2+b2-c2 2 2ac 2ab 当6=号时，由=a得6=， 自主诊断查验思考辨析 (1)/(2)√(3)×(4) 所以cOs∠ABC=a2十2-7 2ac 小题查验 asin C 1.C[在△ABC中，设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,所以由 法二：(1)山题设，BD= nAiC·由正孩定理知mC 余孩定理得0s∠BAC=+Q2=9+25-49_ 1 2be 30 ,周为 mAC中n2c=合BD-g又R=a sin C ∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC-至.] .BD=b,得证， 2.A[22=2a2+2+ah,∴.a2+-2=- 2ab,∴cosC (2)由题意知：BD=6,AD=,DC=台 +二=-<0，牌90<C<180 2ab ∴.c0s∠ADB= 2%,2 4一· .△ABC是纯角三角形，门 3 及AB工由正孩定理品品B将nA=号，因为>6，所以 + 同理cos∠CDB= A=60°或A=120°，] 22 3 解析：因为品0mB所以mB=1,所以B=90,所以AB :∠ADB=π-∠CDB, =2,所以56=号×2X25=2反 1362 -2a2-10e 9 4 29 ,整理得2+2=1 3· 答案：2 3 3 5.解析：在△PAB中，∠PAB=30,∠APB=15,AB=60m, 又6=ac, sim15=sin(45°-30)=sin45c0s30-c0s45°in30°= 2 …2a2+4 11 =名，整理得6d-1r2+36=0, 复号×名-，由运张花现得部所以P阳 6-2 =30(√6+√2)，所以树的高度为PB·im45°=30(6 由余孩定理知：60s∠ABC=+2-: 2ac 4 +×号-(30+30v(m. 当号-号时m∠ABC-子>1不台超高 答案：30+30√5 3 7 跃升·关键能力题型1命题点1 时，c0s∠ABC= L典例1门[解析门在△ACD中，由余弦定理得：cosC= AC+CD2-AD_49+9-25」 11 络上：as∠ABC= 2AC·CD 2×7×3 14 跟踪训练 周为Co.所以mc√（借-2， 2.C a cos B-6 cos A=c.sin Acos B-sin B cos A=sin C. 得sin(A一B)-sinC=sin(A+B),即sin A cos B-sin B cos A 在△ABC中，由正孩定理得AB=AC mCn正即万一sm6解样 =sin A cos B+sin B cos A. 即2 sin B cos A=0,得sin B cos A=0, 14 AB=56 在△ABC中，sinB≠0.cosA=0,即A=受， [答案]D 则B=有一A-C=一受-号-语] 452 题型2 所以sin(A一B)-sinB=sinC=sin(A十B), [母题][解析]由正弦定理asin2B=2 bsin Beos A, 所以sin A cos B-sin B cos A-sinB=sin Acos B+sin B cos A,即 2sin Asin Bcos B=2sin2 Beos A, 义在△ABC中，A,B∈(0，x),所以sinB≠0，所以tanA=tanB, 2 sin Beos A=simB,因为inB≠0，所以cosA--2,由A为三 即A=B, 故△ABC的形状一定是等腰三角形. 角形内角得A= △ABC面教S-snA-×1×号 3 [答案]A [子题门屏：由片-只释品合只 题型4命题点1 .sin Acos A=cos Bsin B..'.sin 2A=sin 2B. 1.解析：如图，在△ABC中，AB=200 :A,B为△ABC的内角，.2A-2B或2A-元-2B, BC-70,∠ACB=53.2°，sin∠ACB 六A=B线A+B=受 “△ABC为等腰三角形或直角三角形. [子题2]解：法一：图为a=2 beos C,所以由余弦定理得a=2b· 由正孩定理，im∠BAC=BCsin∠ACB-Z AB 25" a2+-c 2ab ，整理得？=2，则△ABC一定是等腰三角形. AB>BC.∴∠ACB>∠BAC,故∠BAC为锐角， 法二：，sinA=2 sin Beos C, .'sin (B+C)=2sin Bcos C. ∴.sin(B-C)=0. ACB=V-(告-， ∴.B一C=0,B=C,则△ABC是等股三角彩 ,∴.sin∠ABC-sin(∠ACB+∠BAC) 子题3]解：依题意得mosA,simC<sin Bcos 专×路+×云-品 ,7117 所以sin(A+B)<sin Beos A. sin Bcos A+cos Bsin A-sin Beos A<0. 所以AC-AB-20X×号-23 sin∠ACB 所以cos Bsin A<0又sinA>0,于是有cosB<0,B为纯角， 故AA=(A。B.+B.C)-AC=(200十70)-234=36(mm). 所以△ABC是纯角三角形， 故曲柄CB按顺时针方向旋转53.2°时活塞移动的距离约为 题型3 36mm. [典例们[解](1)由余弦定理有a3+2一2=2 abeos C,对比已知 答案：36 a2+2-c2=2ab, 跟踪训练 可得osC=2+伊-2=区ab=区 1.解：在△ABD中，由题意知，∠ADB=∠BAD=30, 2ab 21 所以AB=BD-1km,因为∠ABD=120°，由正孩定理得 因为C∈(0，π)，所以sinC>0, n∠ADB sin/ABD,解得AD=3km, AB AD 从血C(T= 在△ACD中， 由AC=AD2+CD-2AD·CD·cos150°. 又周为sinC=巨cosB,即cosB=立： 1 得9=3+CD+25×cD, 注意到BE(0,开)， 所以B=音 即CD2+3CD-6=0,解得CD=丽-3km, (2)由1)可得B=吾0sC- 2,C∈(0，)，从而C=至A BC-BD+CD-331 km: 两个小时小王和小李可徒步攀登1250×2=2500米， 即25千来而丽1丽-号-2.5， 2 2 而血A=如爱=如（贤+吾）=号x+竖× 2 2 所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰。 -6+2 命题点2 2.解析：由图可知AD⊥BC,∠BAD=45.∠CAD=61°，AD= 10m, 由正孩定理有“= b -d 在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m,所以DB=AD=10m 在Rt△ADC中，CD=AD·tan∠CAD=10Xtan61≈18m, 所以BC-BD+CD-28m. 从而=6.=b瓜- 4 2 答案：28 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 跟踪训练 2 2 2 2.C[依题意高gQ,Q=8 2 由已如△ABC的面积为3+厅，可得32=3+厅， 16+8QQQQ=12, 4 2 所以c=22 16+8+12oQQQ.=18, 跟踪训练 2 解：1)周为+ca_26cc0A=2hc=2. 16+8+12+18Q,QQQ-27, cos A cos A 所以BQ,=16+8+12+18+27=81米.] 所以=1. 命题点3 (2)a cos B-b cos Ab 3.B[依题意，过点C作CD⊥BA的延长线交于点D,如图 a cos B+b cos A c sin A cos B-sin Beos A sin B sin A cos Bsin B cos A sin C-1. 所以nA--smB-imA-BinB=1, sin(A+B)sin C sin C 453 则AB=53-5,AC=52,∠ACD=45°， 在R1△ADC中，AD=DC=5, 中gmc-合osc=iim(C-吾)合 在Rt△BDC中，BD=55,DC=5, m∠BCD-肥-原.又：∠cDe(o,) 0<<受-<C-晋< ∠BCD=5 选择条件②，由(a+b+c)(a+b一c)=3ab. 则乙船的目标方向线（山现测点看目标的视线）的方向是南偏 得(a+b)2-2=a2+b2+2ab-c2=3ab, 西60°.] a2+2-2=ah. 跟踪训练 3.解析：D[如图所示，地球表面莱地正午太阳高 用由余袋定理程C兰-总-宁 2ab 度角为0,8为此时太阳直射点韩度，g为当地韩度 值，那么这三个量满足0=90°-9-8， 0 长 0<C<受C- 当6=0°且g为正值，可得0=90°-， 影长 选择条件③，：A十B十C=T,B+C=x一A, 即g=90°-0， 结合(a一b)sin(B+C)十bsin B=esin C, 设木杆的影长为m,可得an9= 得(a-b)sinA十b·sinB=esin C. 由正弦定理，得(a一b)a十=e2, 因为甲、乙，丙、丁四个小组在网一场地进行，得到影长分别为 脚a2+一2=ah. 0.82,0.80,0.83,0.85, 所以当m=0.85时，0取得最小值，此时中求得最大值， 财由会孩定理，得C-心兰-总-名 2ab 所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组.] 0<C<受C= 第7节解三角形的综合问题 跃升·关键能力题型1 (25aw-专binC-cb…g-原h=4 b [典例们[解】(1)由正孩定是入=B所以asi血B “△ABC为锐角三角移，且C=哥。 bsin A. A=号-B∈(0，受)心音<B<号 3 代入得asinB=7sinA=尽，所以inA-4区 (2)选择条件①：山=8. 又0<B<受∴吾<B<受amB>g 因为5mA-4y sin B 7 ,所以cosA=士7 由正孩定理品品D得a细合 因为A为锐角，所以c08A=7· osn(停-A)4(停oasB叶snB 由余孩定理a2=十2-2hec0sA, sin B sin B 代入得到64-49+2-2·7·6·7，所以2-20-15-0， 23 aniB+22<a2<8.2<a<22, 解得=5，或c=一3（舍）. 即a的取值范国为(w2,22). 所以△ABC的周长为20， 题型2 选择条件@：B=骨 [典例][解]设∠CED=a. 因为∠CBE,∠BEC,∠BCE成等差数列， 因为asinB=4,所以a号=45， 所以2∠BEC=∠CBE+∠BCE, 所以a=8, 又∠CBE+∠BEC+∠BCE=x,所以∠BBC=受， 周为血A-45,所以sA=士 (I)在△CDE中，由余弦定理得EC°=CD+DE一2CD·DE· 7 cos∠EDC, 1 因为A为锐角，所以c08A=7· 即7=CD+1十CD,即CD+CD-6=0, 解得CD=2(CD=-3舍去). 由余孩定理a2=2+2-2 becos A, EC CD 1 代入得到61=49+2-2·7·6·7，所以2-2-15=0， 在△CDE中，由正孩定理得m2 EDC sin a' 解得r=5,戎c=-3(会). D:m经2×号 所以△ABC的周长为20. 于是sina= EC 7 选择条件③：=5， 周为mA=,所以mA=士 即sin∠CED- 7 因为A为锐角，所以c0sA=7, (2)由题设知0<a<受，由(1)知 由余弦定理a2=十2一2 beeos A, 1 7 代入得到a2=49+25-2·7·5·7 所以a=8, 又∠AEB=x-∠BEC-a-号-e: 所以△ABC的周长为20. 跟踪训练 所以o∠ABB=o(号-e）=os7csa+ 解：(1)选择条件①，，a十acos C=3 csin A, 1 ∴.由正弦定理可得sinA十sin A cos C=√3 sin C sin A. ×29+×- 7 0<A<交inA≠0， 在R△EAB中，o∠AEB-品-得 ∴.1+cosC=√3sinC.3sinC-cosC=1, 所以BE=47 454