第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题二第四章三角函数、解三角形 第5节函数y=Asin(wx十o)的图象与性质及三角函数模型的应用 ★[课程标准] L.结合具体实例，了解函数y=Asin(ax十p)的实际意义. 2.能画出y=Asin(ax十p)的图象，借助图象理解参数A,w,e的意义，了解参数的变化对函数图象的 影响。 3.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学 模型. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 L.函数y=Asin(ux十p)的几个相关的概念 振幅 周期 频率 相位 初相 周期， y=Asin(ax+g》 2.对称轴（对称中心）与函数值的关系. (A>0,a>0), 2元 .x十9 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可 x∈R 快速解题：设y=f(x)=Asin(wx十o),g(x) 2.用“五点法”作函数y=Asin(wx十p)(A>0,w =Acos(wx+o),x=x0是对称轴方程台 >0)在一个周期内的简图时，要找五个特征 点，如图： f(xo)=士A,g(o)=士A;(xo,0)是对称中 3π 心台f(xo)=0,g(xo)=0. 2 2 2π二型 u 自主诊斯查验 u.x+9 0 π 2π ◆[思考辨析] 2 2 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 y=Asin 0 A 0 -A 0 (wx+g) 号里打“/”，错误的打“×” 3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(x (1)将函数y=sinx的图象向右平移p(p>0) 十9)(A>0,w>0)的图象的两种途径 个单位长度，得到函数y=sin(awx一g)的图象. 画山y=sinx的图象 步 画出y=sinx的图象 1 向左()平移p个单位 横华标变为原米的。倍 (2)要得到函数y=sin wx(w>0)的图象，只需 步 得到y=in+p)的图象 得到y*in的图象 将函数y=sinx上所有点的横坐标变为原来 原米的。停 2 横坐标变为 向左佑平移器个单位 的u倍. 步 得到y=in@x+p)的图象 得到y=sin(@x+p)的图象 (3)将函数y=sinx图象上各点的纵坐标变为 3 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标变为 原来的A倍 原来的A(A>0)倍，便得到函数y=Asin z的 得到y=Asin(@x+p)的图象 得到y=Ain(ox+p)的图象 图象 () ·重要结论 (4)函数(x)=sin2x的最小正周期和最小值 1.函数的周期与图象的对称性之间的关系。 分别为π，0. ( (1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻 (5)函数y=Acos(wx十o)的最小正周期为T, 两对称轴之同的距离是周期，相邻的对称 那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距 中心与对称轴之间的距离是周期。 离为 87 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ◆[小题查验] 3.(多选)如图是函数y=sin(w.x十g)的部分图 1.函数y=sin(2x-牙)在区间[-受，x]上的简 象，则sin(wx十g) 图是 南 A.sin(r+5） B.sin(5-2x） C.cos(2+) D.cos(2) 4.(忽视整体化思想致误)若函数f(x)=sinx (0<a<2)在区间[0，等]上单调递增，在区间 2.(BSD必修第二册P16练习T31)改编)为了得 到函数y=3sin(2x-)的图象，只需把函数 [,]上单调递减，则。= 5.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的 y=3sin(x-需)的图象上所有的点 生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今 A横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 年前四个月的统计情况： B.横坐标缩短到原来的？，纵坐标不变 月份x 收购价格y(元/斤) C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的2，横坐标不变 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（元 斤)与相应月份之间的函数关系为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1（由图象确定y=Asin(awr十g)的解析式 题后反思 1.(2025·陕西省洛南中学模 确定y=Asin(w.x十p)十b(A>0,w>0)的步 拟)已知函数g(x)=Asin(wx 骤和方法 +o)+k(A>0,w>0,0<9< (1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值 π)的部分图象如图所示，则 g(x)的解析式是 m,则A=M与m,6=M牛m 2 2 A.y=2sim(2x+）+1 (2)求u:确定函数的周期T,则可得w=2牙 B.y=2sim(2x+）+1 (3)求中的常用方法 C.y=2sin(2x+5)+2 ①代入法：把图象上的一个已知点代入 (此时A,m,b已知)或代入图象与直线 D.y=2sin(2x-8)+2 y=b的交点求解（此时要注意交点在上升 2.已知函数f(x)=Acos(.x 区间上还是在下降区间上). +g)(A>0,w>0,0<p< ②五点法：确定9值时，往往以寻找“五点 π)为奇函数，该函数的部分 图象如图所示，△EFG(点 法”中的某一个点为突破口，具体如下： G是图象的最高点)是边长为2的等边三角 “第一点”（即图象上升时与x轴的交点）时 形，则f(1)= x十9=0：“第二点”（即图象的“峰点”）时 88 主题二第四章 三角函数、解三角形 w.x十p= 受：“第三点”（即图象下降时与x 规律总结 函数y=Asin(.x十p)(A>0,w>0)的图象的 轴的交点)时ωx十p=π；“第四点”（即图象 两种作法 的“谷点”)时ax十p= 受：“第五点”时 (1)五点法：用“五点法”作y=Asin(x十9) 十9=2π， 的简图，主要是通过变量代换，设之=ωz 题型2〔函数y=Asin(ar十p)的图象及变换 十g,由之取0，受x,2x来求出相应的 [典例] (1)(2022·全国甲卷)将函数∫(x)= x,通过列表，计算得出五点坐标，描点后 sin(+号）ow>0)的图象向左平移受个单位 得出图象。 长度后得到曲线C,若C关于y轴对称，则ω (2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过 的最小值是 ( 变换得到y=Asin(mx十p)的图象，有两 A吉 种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移” c号 易错警示 (2)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩 平移变换（或伸缩变换）是针对x而言，即x 短到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线 本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多 少值 向右平移零个单位长度，得到函数》 口跟踪训练 sim(x-不)的图象，则f(x)- 1.(2025·河南洛阳模拟)已知曲线C1:y=cosx, A.sin(侵-) B.sin(5+》 C2:y=sin(2x+),为了得到曲线C2,则对 C.sin(2) D.sin(2x+） 曲线C,的变换正确的是 () A.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不 [尝试解答] 变)，再把得到的曲线向右平移否个单位 长度 B.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不 。[互动探究] 变)，再把得到的曲线向左平移否个单位 由函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到y 长度 =2sin(2x-否)的图象 C.先把横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不 变)，再把得到的曲线向右平移是个单位 长度 D.先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不 变)，再把得到的曲线向左平移受个单位 长度 89 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 2.(2025·四川南充二模)将函数f(x) 解题技法 2cos(2x-受)的图象向左平移哥个单位长度， 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键 是首先正确的将已知条件转化为三角函数解 得到函数g(x)的图象，则曲线y=g(x)与直 析式和图象，然后再根据数形结合思想研究 线y=√3的所有交点中，相邻交点距离的最小 函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期 值为 ( 性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零 A B 点及有界函数等概念 c 题型4( 三角函数模型及其应用 D.π [典例]（多选）(2024·河北石家庄模拟)筒车 题里3 三角函数图象与性质的综合问题 是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经 1.(2025·湖南益阳月考) 济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图 函数f(.x)=sin(ox十9) 1),明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画 (a>0,p<受)的图象 描绘了筒车的工作原理（图2）.一半径为2米 的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面 如图所示，先将函数∫(x)图象上所有点的横 1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈， 坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得 如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P。) 函数的图象向左平移个单位长度，得到函数 开始计时，则 g(x)的图象，下列结论正确的是 A.函数g(x)是奇函数 B.函数g(x)在区间[一2π，0]上是增函数 C.函数g(x)图象关于(3π，0)对称 图1 图2 图3 D.函数g(x)图象关于直线x=一3π对称 A.点P再次进入水中时用时30秒 2.(多选)已知f(x)=1-2cos2(x+牙)(w>0), B.当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C.当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 下面结论正确的是 D.点P第二次到达距水面(1十√3)米时用时 A.若f(x1)=1,f(x2)=-1,且|x1一x2|的 25秒 最小值为π，则w=2 [尝试解答] B.存在ω∈(1,3)，使得f(x)的图象向右平移 否个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C.若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则w的 取值范围是[费，易 D.若fx)在[-否，]上单调递增，则。的取 值范围是(0，号】 3.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(wx十) 方法指导 (w>0,0<p<π)的最小正周期为T.若f(T) 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已 3 知函数模型求解数学问题，二是把实际问题 x=晋为f(x)的零点，则w的最小值为 抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用 三角函数的有关知识解决问题. 90 主题二第四章三角函数、解三角形 跟踪训练 噪声声波 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两 端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主 动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的 用米降噪的声波两者叠加后 声波来抵消噪声（如图）.已知噪声的声波曲线 y=Asin(ax十p)(其中A>0,w>0,0≤p<2x)的 A.y=sin x B.y=cos x 振幅为1，周期为2π，初相为交，则通过主动降 C.y=-sin x D.y=-cos x 噪芯片生成的声波曲线的解析式为( 请完成课时冲关24 [热点强化课4]三角函数中有关囚的取值范国问题 已知含参数w的函数y=Asn(awx十©)的解析式，三角函数的部分性质，求o的取值范围，是近 年来常考的一种类型题.由于其有时涉及到三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的 综合应用，难度较大，学生对这一类问题不得其解，从而心生畏惧心理.现就这一类问题进行归纳 总结 题型1 利用单调性求ω的值或范围问题 [尝试解答] [例1](2025·四川成都模拟)若函数f(.x) sin(ax)(a>0)在(0，无)上单调递增，则u的 取值范围为 A.(0,2) B.(0,2) c.(o. D.(0,2] 方法指导 与三角函数单调性相关的ω的值或范围问 [尝试解答] 题，需要利用整体思想，结合集合之间的包舍 关系，列不等式组求解.通常要考虑三角函数 的单调区间，包含关系确定ω的范围， 题型2（利用最值求的值或范围问题 [例3](2025·江西鹰潭三模)已知函数f(x) =acos wr+sin wr(w>0),若f()=V3且 f(x)≥f(),则u的最小值为 [例2](2025·河南洛阳模拟)已知函数f(x) A.11 B.5 =(w>0)的图象关于点(，0)对称，且 C.9 D.7 [尝试解答] 在区间[0，]上是单调函数，则的值不可 能是 A B.4 0 c. n 91跟踪训练 题型2 3B[对A(等)=sm(答+行)=0，为对格点.故A正璃： [典例](1)[解析]由题意知：曲线C为y= 对B.当一吾时r+要-吾+号-晋不是y一smr的对称 im[(+受)+吾]=im(or+管+受）)又C关于y轴对 轴.故B错误： 称，则受+号=受十x∈乙， 对C当x∈[o,]时r+∈[经]y=mr在 筒得w=了十2张∈乙.又m>0,长当k=0时@的最小值为宁 [答案]C [号✉]上单祸地减，故C正确： (2)汇解析]法一：盛数y=∫（工）图象上所有点的横坐标缩短到 对D当x[-吾0]时r+∈[]，当r+号-受 原来的号倍，纵坐标不交，得到y=2)的国象，再把所得曲线 时，取得最大值1.故D正确.故选B.门 向右半移号个单位长度，应当得到y=[2(:-音)门的图象， 第5节函数y=Asin(wx十p)的图象与性质及 根据已知得到了画数y=sn(一干)的图象，所以 三角函数模型的应用 f[2(x-)]=im(x-)小 夯实·必备知识自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)/(4)/(5)/ 小题查验 所法=m(台+登) 上.A[合x=0,得=m(-晋)=-排缘D由f(-吾) 所以f)=im(壹+登)： 0f(吾)=0，排除C] 法二：由已知的画数y=sin(x-齐)递向变换， 2.B[由于变换前后，两个函数的初相相同，所以y= 3xi加(：一吾)在级坐标不变，横坐标缩短到原来的号倍得到画 第一步：向左平移等个单位长度， 数y-3sin(2r-吾)的图象.] 释到y=sim(r+弩-至)=im(x+)的国象， 第二步：图象上所有点的横坐标仲长到原来的2倍，纵坐标不 3.BC[由f(0)>0,排膝D:由T=π，排除A.] 变，得到y一m(艺十登)的圈象，即为y-f()的国象，所以 4.解析：由题意知当r=受时，函数取得最大值，所以有m弩=1， )=im(受+是) 所以罗=晋+2∈，所以w=号十6（∈Z,又0<<2， [答案]B 3 互动探究 所以w一2 解：起y=snx的图象上所有的点向右平移答个单位，得到y 答案 sin(x-吾)的圈象，再花y=sin(r-晋)的图象上的点的横坐 5.解析：设y=Asin(ar十g)十B(A>0,m>0),由题意得A=1,B =6,T-4,因为T-25所以。=受， 标缩短到原来的号倍（飒坐标不变），得到y 所以y=血（受r+g）+6。 sim(2x-晋）的图象，最后把y=sim(2r-看）上所有点的纵坐 标仲长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y一 因为当r=1时y=6所以6=sim(受十g）+6, 2sim(2x-若)的图象. 结合表中教据得艺十9=2k,仁么.可取9=一受， 跟踪训练 1.C[A.先把曲线C,上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不 所以y=m(受r-受）+6， 变)，得y=s立x的国象，再把得到的曲线向右平移石个单位长 答案：y=si血（受r-受）+6 度释y=m(吾)=m(合一吾)=血（侵）的 跃升·关键能力题型1 图象，A错误：B.先把曲线C上点的横坐标仲长到原来的2倍 1A[由图泉行得合在- 解得A=2,k=1.由正孩型图 (纵坐标不变)，得y一c0s三工的图象，再把得到的曲线向左手移 豪性废可得号=营一（一晋）一登 若个单位长度释y=os(x+晋)=o(合x+) 所以T==解得w=2,又2×(-吾)）十g=受+2kx,k∈ sm(受r+侣)的围象，B错送：C无起南线C上点的横坐标缩 乙.且0<g<,所以g警，所以y=2n(2+号)十1.] 短到原来的号倍（纵坐标不变），得y-Q02:的图泉，再起得到 2解析：由题意得，A-厅，T-4-28w一受 的画线向右平移是个单位长度得y=0s2(x-是） 又固为f(x)=Acos(ar十p)为奇画致， cos(2x-吾）=im(2x+牙)的图象，C正填：D先起曲线G 所以g-受十，∈乙，由0<9<，取=0， 上点的横坐标缩短到原来的号倍（纵坐标不变），得y=02x的 则p=受，所以fx)=3os(受x+受）小 图象，再把得到的曲线向左平移音个单位长度得y 所以f1)=一√5. os2(x+是)=cos(2x+若)=sm(2r+5)的周泉.D 答案：一5 错误.门 449 2.A[画数∫(r)=2cos(2红-受)的国象向左平移个单位 长度， 要弟在[一音吾]上单满递游， 得到画餐g(r)的国象，g(x)=2cos(2x+受-受) 2os(2r-晋） 则 即。 +<2a+, ≤秋+号，曲于∈乙o>0,故 令2ms(2:-吾)=5得c0(2-吾） 0.0<<号，所以D选项正确.] 则2x-吾=2k1十晋k1∈乙，成2x-若=2x-吾：∈Z 3.解析：/T)=/0)=cos9=受，且0<9<， 即r=元十晋k∈乙或r=kk:∈乙 故g-吾f(晋）=os(子u+晋）=03晋+晋=受+x 可得=晋号“… (k∈Z)→m=3十9k(k∈Z), 又细>0，故侧的最小值为3. =0,元，2元，*， 答案：3 相尔文点距离的最小值为吾，故选A] 题型4 [典例][解析]由题意，角速度仙= 题型3 .D[由题困可得函数的周南T=(登-吾)×==三，所以 語-前（孩度/秒 又由水轮的半径为2来，且圆心(O距 m=2. 离水而1来.可知半径OP。与水面所 因为品数的图象过点（受，-）所以 成角为吾，点P再次进入水中用时为 (管+）=-1，所以号+g受+2∈， x+2x =40秒，故A错误：当水轮 所以9=号+2x∈Z.周为g<受， 所以g=受，所以fx)=in(2x+牙)） 转动50书时，半径0肌。转动了50×品=受（氢度），而警-看 先将函数∫(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐 =要点P正好处于最低点，故B正确：以0为原点，以与水平 标不变，得到y一m(号十晋)的国象，再将所得画数的图象向 面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设，点P距离水面的 高度H=Asin(a十g)+B(A>0,w>0), 左争秒受个单位长度，得到g()=m[号(+)+号] 货4公 1A=2, 所以B=1· sa(grt要）=-co子 又角选度。-語-需（丝度/秒)1=0时， 对于A选项，因为品数g(x)为偶画数，故A错误：对于B选项， 令子x[2kx,m+2k]∈)，别xe[6kx,3x+6kx]k∈Z,两 ∠0P=吾，所以a=09=- [-2x,0]三[6kx,3π十6kx](k∈Z),故B错误：对于C选项，令 所以点P班离水面的高度H=2sim(需-晋）十1，当水轮转动 r一吾十（∈D,则一要+3x∈D,所以通教的对称 1 150秒时，将1=150代入，得H=2,点P距离水面2米，故C正 确：将H=1+区代入月=2sim(哥1-吾）十1中，得需1-若- 中心为（受+3x,0）,(k∈），故C缗误：对于D选项，◆号r 1 kr(k∈)，则x=3kx(0∈Z),所以函数的对称轴为x=3k云(k∈ 2十号，点01-音=26x+子，率1=60k十15成1=60k+25 Z),当k=一1时，有x=一3π，即D正确.] (kEN).所以，点P第二次到达距水面(1十√3)米时用时25秒，故 D正确， 2.BCD[依题意x)=-eos(2ar+号） [答案]BCD w>0,一1≤f(x)≤1. 跟踪训练 对于A选项，若f()=1,f(x2)=-1,且1一2的最小值 D[由噪声的声波曲线y=Asin(ur十) 为π， （其中A>0,w>0,0≤≤2x)的振幅为1， 则号=一高一亮=0名故Λ选项错裙： 周有为2云初湘为受可得w=号-经-1A=1g=受 对于B选项，当m=2时，f)=-cos(4r十) 所以噪声的声波曲线的解新式为y=sn(:十受）=c05 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y=一cs不. 向右平移。个单位长度后得到 故选D.] y=-o[4(吾)+] 热点强化课4三角函数中有关w的取值范围问题 =-c0s4x, 题型1 其为偶函数，图象关于y轴对称.故B选项正喷： 对于C选项，0长<2，则号≤2ar+行≤4a+号 [例1】[解析]画数f(.r)=sim(ar)(a>0)在(0，)上单调 递增， 若)在[0,2们上有格有7个零点，则些<om+号<号，解 当r∈(0，)时mr∈(0，开小则平o≤受，解得0<u≤2. 得<<员故C选携正确： 故选D. [答案]D 450