第3节 三角恒等变换.-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题二第四章三角函数、解三角形 第3节三角恒等变换 ★[课程标准] 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义， 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要 求记忆). 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识掌握 和差化积公式 1.两角和与差的三角函数公式 (1)sin+my=2sn告os号， sin(a+B)= ;(S。+B) sin(a-B)= :(S。-B) (2)sin -sin y=2cossin cos(a十B)= :(Ca+g)） (3)cos x+cos y=2cos cos 2 2 cos(a-B)= :(C。g) (4)cos x-cosy= tana十tanβ 4.二倍角公式 tan(a十3)= =ian atan月：(T+g） sin 2a=2sin acos a:(S20) tan(a-B)= tana-tan2.(T。-p) cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1 1+tan atan B' =1-2sin2a:(C2a) 2.三角函数的叠加 tan 2a= 2an.(T2a） 1-tana 般地，当a,b不同时为0时，asin a十bcos a 5.半角公式 =√a2+b sin a+- b a2+621 引 =土 sin 2 1-cos a 1+cos a 2 2 入辅助角9，使得a b =cos , -cos a sin a 1-cos a √a2+b a2+b2 an号=士 W1十cosa 1+cos a sin a ·重要结论· sing.所以asin a十bcos a-√a2+b2sin(a+p) 常用的三角公式变形 (a,b不同时为0)， 1.1-cosa=2sim2号，1+cosa=2cos2号.（升 其中角9所在象限由a,b的符号确定，角g的 幂公式) 值由sing和cosp的值确定，也就是由tang 2 =b来确定。 2.1士sina-(sin号士cos号 .(升幂公式) a 1-cos 2a 3.积化和差公式和和差化积公式 3.sin2a= 2 cosa=1+cos 2a,tana 积化和差公式 1=c0s2g.(降幂公式) 1++cos 2a (1)sin acos B= 2[sima+p》+sina-]: 4.asin a十bcos a=√a2+bsin(a十g),其中sing b (2)cos asin B=- [sina+pD-sina一]： Va2+b2 “一（辅助角公式） a2+b2 (3)cosacosB-[cos(a+B)+cos(a-B)]; 5.两角和与差的正切公式的变形tana十tanB =tan(a+B)(l-tan atanβ)，tana-tan3 (4)sin asin B= tan(a-B)(1+tan atan B). 79 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 自主诊断查验 2.(多选)下列各式的值正确的是 ◆[思考辨析] A.sin15cos15”=号 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“√/”，错误的打“×” B.cos2 8 2 (1)存在实数a,3,使等式sin(a十3)=sina+ tan22.5° sinB成立. ( C.1tan22.5 (2)公式tan(a十月)=tan atan足可以变形 1-tan atanβ D.2cos222.5°-1= 2 tan a+tan B=tan(a+B)(1-tan atan B), 3.(2024·全国甲卷)已知 cosa一=√3，则 且对任意角，3都成立. ( cos a-sin a (3)存在实数a,使tan2a=2tana. ( ) ian(e+平) (4当a是第一象限角时，sin受=√ 1-cos a A.2√3+1 B.2√3-1 21 ( c号 D.1-√3 (5)公式asin x+beos x=√a2+b2sin(.x+e) 4.已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x十3，则 中g的取值与a,b的值无关。 f(x)的最小正周期为 ,最小值为 ◆[小题查验] 1.(BSD必修第二册P152习题4一2A组T2(2)改 5.(角之间的转化致误)(2024·贵州贵阳一中模 编)sin15°sin45°-cos15°cos45°= ( 拟)若sim(a+）=3,则cos(a+） A.2 c- D.- 2 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 三角函数式的化简 题后反思 1.(2025·安徽相山淮北一中月考)2c0s50° 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 1 2tan 50 ( (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角 之间的差别与联系，把角进行合理的拆 A.1 C.3 n号 分，从而正确使用公式； 1+cos20° (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差 2sin20° sin10°X tan 5 -tan5° 异，从而确定使用的公式，常见的有“切化 弦”： 2cos'z-2cosx+ (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮 3.化简 助我们找到变形的方向，如“遇到分式要 2an(牙-t)sin2(f+x 通分”等 题型2 三角函数式的求值 》[命题点门给角求值 .② c0s15°- 2sin195的值为 A.8 2 C.- 2 D.- 2 80 主题二第四章三角函数、解三角形 2.化简：sin50°(1+√3tan10°). 题型3〔 三角变换的简单应用 [典例] 设函数f(x)=2√3 sin rcos x-2sin2x +1. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增 区间； (2)求函数f(x)在[0，)上的最大值与最小 值及相应的x的值. [尝试解答] ●[命题点2]给值求值 3.(2025·黑龙江哈师大附中模拟)已知sin(45° 十a)=号.45°<a<135,则0s2a= ( A器 B器 c号 n话 4.(2024·新课标I卷)已知cos(a十3)=m, tan atan B=2,cos(a-B)= ( A.-3m B.号 c罗 D.3m ◆[命题点3]给值求角 方法指导… 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过 5.已知sina= 5,sin(a-3)= 10 10a3均为锐 适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基 角，则角3等于 ( 本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种 A晋 是变换角的形式，变换函数名称可以使用诱 B牙 C. D.8 导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公 式等：变换角的形式，可以使用两角和与差的 6.已知a为锐角，3为钝角且cosa= 2 5,tan月 三角函数公式、倍角公式等， =3,则α十3的值为 ( ) ①跟踪训练 A.i c D (2025·济宁模拟)已知x)=3sin千cos号 规律总结 三角函数求值有三类 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的 (1)求f(x)的单调递减区间： 值，求另外一些角的三角函数值，解题关 键在于“变角”，使其角相同或具有某种 (2)若fa)=求cos(-)的值 关系 (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊 角，从表面上来看是很难的，但仔细观察 非特殊角与特殊角总有一定关系，解题 时，要利用观察得到的关系，结合公式转 化为特殊角并且消除非特殊角的三角函 数而得解. (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”， 先求角的某一函数值，再求角的范围，确 定角。 请完成课时冲关22 81(2)[解]由已知，得sinr十cosx= 5,两边平方得inx+ 3.B[周为 cos a osa-ima√， 2sin rcos r+cos-25 1 所以1一tana ,中m81g。 整理得2 sin xco8x= 24 251 所以m(e+子)巴2原-1政选A] 49 (sin r-cos r)-1-2sin zcos -25' 4.解析：f(x)=√sin2x十2cosx十3=√5sin2x十1十cos2.x十3= 由一T<x<0知，sinx<0, 2sin(2x+号）+4. 又sin,reos r=- 是∠0 「(x)的最小正周期为，最小值为2. 25 答案：m2 ..cos>0...sin r-cosr<0. 7 5解折：周为sn(e+音)=子 故in一cosx=一 sin 2+2sin'z 2sin r(cos r+sin r) 所以m(e+)-m[登+（停+o)门 I-tan x 1-sin 1 cos =-sim(晋+a）=-3 2sin reos r(cos r+sin r) 251 24 答案：-号 cos r-sin > 175 跃升·关键能力题型1 跟踪训练 1.C[2co850°- 2tan 50 1.D[由tan20=-22,可得tan20= 2tan 0 -22, -4sin 50'cos 50"-cos 50 1-tan20 2sin 50" 即2tan0-tan0-√2=0， =2sin100°-cos50_2sin(60°+40)-sin40 2sin 50 2c0540 解得an0=2我an0=一号 2 2X 号cos40+2×号sm40-sn40 又角0的终边在第三象限，故tan0=√厄， 2cos 40" 2 故sin20+sin(3x-0)cos(2x+0)-√2cos20 2c0s210° 2解析：原式三m10s05n10X(9n5】 =sin0+sin 0cos 8-Zcos sin 5 cos 53 2sn10-2cos10°-c0s10°-2sin20 c0s10° _sin20+sin0cos0-②cos2g_tan㎡20+tan0-2 2sin 10 sin20+cos'0 tan20+1 -9s10-2sin(30°-10 2sin10° =cos10°-2sin30cos10°+2cos30'sin10 2sin 10 2.解析：国为9e(0,受)小则sim0>0,0s0>0, =c0s30°= 2 sin 0 1 又周为an0=C09z,则cos0-2sin0, 省案：号 cos'0+sin20=4sin0+sin20=5sin0=1, 解得如0-号我血8一9合 -2sin rco 3.解：原式= 2sin(-）o(开-） 所以sin0-cos0=sin0-2sin0=-sin0=- 5 cos(开-x) 答案： (1-sin2r) 1 5 cos2.r 第3节三角恒等变换 2sim(于-x）os(-x）sim(受-2x） 夯实·必备知识必备知识掌握 c0s 2.r. 1.(1)sin acos B+cos asin B sin acos B-cos asin 8 cos acos B- 题型2命题点1 sin asin A cos acos 8+sin asin 8 3.(4cos(+cos(()-2sinsin 1A[由海意得号15-号n1的 自主诊断查验思考辨析 cos15- 2 号n180+15-号ws15+号sn16 (1)/(2)×(3)/(4)×(5)× 小题查验 -om(45*-15)-m30-.] 1,C[原式=-(cos15cs45°-sin45°·sin45)=-cos(15°十 2.解：sim50(1+√5tan10) 45=-os60=-子] =sin50(1+v3.sin10) cos 10 2.BD[sin15cos15=7in30°-子.A不正痛：o2音 =sin50°×cos10+5sim10 cos 10 2 .C 21 os10+号n10'） 不正确： =sin50°× c0s10° 2c0g22.51=c0s45=号，D正确.] _2sin50°·cos50°_sin100°_cos10 cos 10 c0s10° c0s10=1. 445 命题点2 3.B[因为45"<a<135°，所以90°<a十45°<180°，又sin(45+a) (2)由于)=号：所以sm(号+看)十专-号， 3 则sim(受+晋）=1，脚号+若=2x十受k∈D 所以cos(5°+a)=-√1-im(45+a)=-5, 解得a=x+要（∈D, 所以sin2(45°+a)=2sin(45+a)cos(45+a) =2×是×（）=-器 则c0s(经-e）=cos(行-4km-)=cos(-x)=1(k∈. 即n(90+2a)-一装片以os2么-一装] 第4节 三角函数的图象与性质 夯实·必备知识必备知识掌握 4.A[周为cos(a+B)=m,所以cos acos月-sin asin=m, 而tan atan月=2，所以sin asin=2 cos acos月， 2.2xx[2x-受，2+][2xx,2 故c05acos3-2co5aco53=m即cos acos=一m, 从而sin asin B=-2m,故cos(a一B)=-3m,故选A.] [2x+受，2x+] [2k元，2kπ+x](kπ，0) 命题点3 (kx+受，0）x=x 5.C[:eg均为悦角-受<a-K受 自主诊断查验思考辩析 又ma=-mom=3 (1)/(2)/(3)×(4)×(5)× 10 小题查验 又sina- 25 5 ,.e0sa-5 1.D[由2r+晋≠+受k∈.得≠经+晋EZ】 2.ABD sin 8=sin[a-(aB)] 3,C[因为函数y=sinx的最小正周期为T=2x, =sin acos(a-B)-cos asin(a-B) 画数y=2如(3r一吾)的最小运周期为T=经， 5 105 所以在x∈[0,2x]上函教y-2sim(3z-云)有三个网期的 6.A[由a为锐角且cosa=25,得sin。=个-oa-5则 5 图象， tan a-sina 1 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： cos a 2 =2sin(3s) lana十tanE +(-3) 2 2 则tan(a十3) -1 1-tan atan B 1-×(-3 y=sin x 2 又a∈(0，受)9c(受x)财a+c(受，) 2 由图可知，两画数图象有6个交点.故选，] 题型3 [典例们[解](1)因为f(x)=23 sin zeos-2sim2x+1 4.B[:y=sim（号-2x）=-in(2r-吾），脚求画数y= =月sn2r+os2x=2(9n2r+os2）】 in(2a-子)的递减区间.故函教y=2sim(号-2x）的递增区 =2sin(2r+吾） 网为[ka+立6+品]，4∈] 即)-2n(2r+音)所以函教的花小正周期T-受- 5.解析：函数y=3-2c0s(x+)的最大值为3+2=5，此时x十 ◆-受+2x≤2+吾≤受+2x,∈乙 吾=x+2张∈Z.即x=+2x(∈0 解得-晋+ka<r≤若+红，k∈乙. 答案：53红+2km(k∈Z刀 所以西数的单调递增区同为[一晋十，晋十]，kE乙 跃升·关键能力题型1命题点1 1.B[由题意，得2m受-1>0，受re[音+2，晋+2] 2调为r[0,晋)所以2x+吾[晋晋) ∈Z). 所以当2十晋=吾，即=0时函数取得接小维，脚八)m= ge[合+6，子+4小e. f(0)=1, 2.解析：(1)法一（利用三角函数图象）： 要使函数有意义，必须使inx一cos 当2+=受，即=时画餐取得策大值， ≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sinx和y=cosx的图象，如图 即)s=f(君）=2. 所示， 跟踪训练 在[0,2x]内，满足sin=c0sx的x为平，，再结合正续，余然 函数的周期是2π，所以函数y=√snr一cosx的定义城为 os+号=im(侵+音)十 {女2kx+吾<r≤2kx+要，k∈Z, 法二（利用三角函数线）：画出满足条件sn ◆+2x≤+晋<+2xke r≥co%r的角r的终边范图（如图阴影部 整现得号十<<要+E, 分所示)，.函数y=√sinx一co5x的定司 义战为 所以画教)的单调递减区同为[子+，4x十]∈， {女2kx+于≤r≤2kx+平，k∈Z: 3」 446