第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名创新高考总复习数学北师大版 规律总结 2.(2025·西安模拟)若角a的终边在第一象限， 用定义法求三角函数值的两种情况 sin 1)已知角a终边上一点P的坐标，则可先求 则 的取值集合为( sin号 cos- 出点P到原点的距离「，然后用三角函数 2 A.{-2,2} B.{0,2} 的定义求解； C.{2} D.{0,-2,2} (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先 3.(2025·湖北武汉模拟)已知角a的始边与x 设出终边上一点的坐标，求出此点到原点 轴非负半轴重合，终边上一点P(sin3,cos3), 的距离，然后用三角函数的定义来求解 若0≤a≤2π，则a= ( A.3 题型4 三角函数值的符号 B受-3 1.下列各选项中正确的是 c段-3 D.3-8 A.sin300>0 题后反思 B.c0s(-305°)<0 熟练掌握三角函数在各象限的符号.三角函 数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二 C.tan(- >0 正弦、三正切、四余弦 D.sin 10<0 请完成课时冲关20 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 ★[课程标准] L.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x十cos2x=1,sin2=tanx cos x 2.掌握诱导公式，并会简单的应用. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 ·重要结论： 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1. 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看 (2)商数关系：n8=tana(a≠受+km,k∈Z, 象限. cos a 2.三角函数的诱导公式 2.同角三角函数的基本关系式的常见变形 公式 二 三 四 五 六 (1)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); 2kπ十a cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a). x十a a r一a -a (k∈Z) (2)(sina&±cosa)2=1±2 sin acos a. 正弦 sin a (3)sina=tancs(e≠2+kx,k∈Z): 余弦 cos a 正切 tan a (4)sin2a= sin a tan a sin'a+cos2a tan2a+1 函数名改变， 口诀 函数名不变，符号看象限 cosa 符号看象限 sin-a+cos a tan a+1 76 主题二第四章三角函数、解三角形 自主诊断查验 2.已知sin(+a)=号，则cos(牙-)的值等于 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“√/”，错误的打“×” A号 (1)若a,3为锐角，则sin2a+cos23=1.( (2)若a∈R,则tana-nC恒成立.( c. D.土 3 cos a (3)sin(π十a)=-sina成立的条件是a为 3.(BSD必修第二册P21练习T!改编)已知角a 锐角 是第二象限角，sina 13,则cosa=( (4若n(经-a)=号则cosa=-子( A.-12 13 (5)若sin(kx-a）=号（∈Z,则sina=3 &昌 c高 D ◆[小题查验] 4.若sin0cos0= ,则an0叶0s0 sin L.若sina= ,且a为第二象限角，则tana的值 5 等于 ( 5.(对诱导公式理解不对致误)若sm晋-。)=子， A号 B.-12 c D.- 5 则cos 2r+2a 跃升>关健能力 层级突破素养提升 题型1 同角三角函数的基本关系 3.已知a是三角形的内角，且sina十cosa= 1 1.(2025·青海西宁)已知角a的终边经过点 (1)求tana的值： 1 1 P(一x,-6),且cosa= 则1十 5 'sin a tan a cos。-ina用tana表示出来，并求 (2)把 其值. ( A号 c n-吉 2.(2025·商泽模报)者温8+8=，则 sin 0(1+sin 20) ) sin 0+cos 0 A.- 5 C 6 77 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 规律总结 题型3〔诱导公式、同角三角函数关系式的活用 (1)利用sin2a十cos2a=1可以实现角a的正 [典例](1)(2025·全国模拟)已知角0的顶点 弦、余弦的互化，利用ng=1ana可以实 与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合， cos a P(1,2)为角0终边上的一点，将角0终边逆时 现角a的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin(+2) 针旋转丁得到角B的终边， sina十cosa&,sin acos a,sina-cosa这三 1-c(经-2 个式子，利用(sina士cosa)2 1士2 sin acos a,可以知一求二， A.-2 B-司 C.-1 D.2 (3)注意公式逆用及变形应用：1=sin2a十 cos2a,sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2a. (2)已知-π<x<0,sin(π十x)-cosx= 5 题型2 三角函数的诱导公式 求im2r+2sin2r的f值. 1-tan x 1.点A(sin2024°，cos2024)在直角坐标平面 [尝试解答] 上位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设f(a)= 2sin(r十a)cos(r-a)-cos(r十a) 1+sina+cos(受+a)-sir(受+a】 (1+2sina≠0)，则f( 23元 6 题后反思 1.学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程 方法指导 任意负 利用 任意正 书围诗号 0-2r 巧用相关角的关系，简化解题过程 公式 兔的三 角的三 的角的三 三 角西数 角函数 角函数 (1)常见的互余的角：5-a与吾十a:号十a与 利用讲年 说角 公式 -a十a与-a等. 或西成五 三角 函数 (2)常见的互补的角：晋十0与暂-0：牙+0与 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就 好了.” 3π-0等. 2.明确三角函数式化简的原则和方向 日跟踪训练 (1)切化弦，统一名 1.已知角0的终边在第三象限，tan20=一2√2， (2)用诱导公式，统一角. 则sin20+sin(3π-0)cos(2π+0)-√2cos20 (3)用因式分解将式子变形，化为最简. 等于 也就是：“统一名，统一角，同角名少为终 A.- 2 号 c-号 2 了.” 6 D. [口诀助读] 2.(2023·全国乙卷)若9∈(0，)，an0=2,则 诱导公式就是好，负化正后大化小： π的一半整数倍，奇数变化偶不变： sin 0-cos 0= 函数符号问象限，两个函数看左边. 请完成课时冲关21 78sin 0(1+sin 20)sin 0(sin20+cos 0+2sin 0cos 0) 当号为第一象限角时，sin号>0，c0s号>0，故 sin 0+cos 0 sin 0+cos 0 =sin 0(sin 6+cos )=sin20+sin dcos 6 sin2 =品+品- 3.解：(1)法一：联立方程 =1+1=2: sina+cosa=5·① sin2a+cos2a=1.② 当号为第三象限商时，sn受<0，e0s号<0，故 sn号 由①得cose=写一sina,将共代入②，梦理得 sin a 25sin2a-5sina-12=0.,'a是三角形内角， o号 (sin a=5' 1十(-1)=-2. 3 cos号 cos a=- 1 sn受 法二：sina十cosa=方： 所以 的取值集合为{一2,2.故选A.] ∴(sma+oso=(日）厂，即1+2 in os=务 3.C[因为角a的终边上一点P(sin3,c0s3), ∴.2 sin acos a=- 24 25 所以tana sn3am3<0.又cos3<0,sin3>0,所以a为第 c0s31 (n0-osa2=1-2sncs0=1+- 四象限角，所以a=2k十晋一3，k∈乙，义因0≤a≤2元，所以a 2 ''sin acos a=- 1 5x-3.] 25<0,且0<a<, ..sin a0,cos a<0,sin a-cos a >0. 7 第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式 ∴sina-cosa=5 夯实·必备知识必备知识掌握 ina+cosa-万' sina 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a 由 7 得 sin a-cos a=5 cos a=- 3 sin a -sin a tan a -tan a -tan a 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)×(4)/(5)X .tan a-3 小题查验 1 sin2a十cos2a 1.D[因为加a=员·且a为第二象限商，得cosa=-V-ma 5 (2) cos a-sin'a cos a-sin a 指 sin2a十cos2a cosa =ama+.ane=- cos2a-sin a 1-tan2a 3 cos a 2.B[国为平+a与平-0互余， 1 tan'a+1 ()+1 25 所以o(骨-)=m(任+a)=子] cos2a-sina1-tana 1( 7 3.A[周为角a是第二象限角，所以cosa<0,又sina十cosa=1, 题型2 所以a。-小厂云-一号] 1.C[sin2024=sin224°=-sin44<0.cos2024°=cos224°= -c0s44°<0.] 生.解析：tan+cos0-sin0+cos9 1 sin 0 cos0 sin cos Osin 2. 2.解析，fa)=-2sine(-cosa)+cosg 1+sina+sin a-cos a 答案：2 -2sin acos atcos a cos a(1+2sin a) 5.解析：os(+2a)）=cos[x-(答-2a)] 2sina十sina sina(1+2sina》 =-os(号-2a）=-1+2sim2(g-a）=-号 。1+2sme≠0(-g） 1 答案：一9 7 = 跃升·关键能力题型1 答案：3 1.B[P点的纵坐标为-6<0，且cosa=一 <0，所以P在第三 题型3 象，所以血。-V个-是g-。号 [典例](1)[解析]由题可知tan0-2, -3, +。是+-是- 135 8 所以am=an(0+子）-"0健。告 1-an01-2 2.C[因为出go号2，所以血0=30os, 则 sim(受+2p) cos 28 1+sin 28 所以sin0,cos0同号，即sin0cos0>0, -os(-2p) sin20+cos20-9cos20+cos20-10cos0-1. cos B-sin 1-tan8 9 sin B+cos B+2sin Bcos 8 tan +1+2tan B cos0=0,从而im0=i0, 1-amB_1十3=-2. 9 3 1+tan31-3 sin20cos20=10,所以sin0cos0= [答案]A 444 (2)[解]由已知，得sinr十cosx= 5,两边平方得inx+ 3.B[周为 cos a osa-ima√， 2sin rcos r+cos-25 1 所以1一tana ,中m81g。 整理得2 sin xco8x= 24 251 所以m(e+子)巴2原-1政选A] 49 (sin r-cos r)-1-2sin zcos -25' 4.解析：f(x)=√sin2x十2cosx十3=√5sin2x十1十cos2.x十3= 由一T<x<0知，sinx<0, 2sin(2x+号）+4. 又sin,reos r=- 是∠0 「(x)的最小正周期为，最小值为2. 25 答案：m2 ..cos>0...sin r-cosr<0. 7 5解折：周为sn(e+音)=子 故in一cosx=一 sin 2+2sin'z 2sin r(cos r+sin r) 所以m(e+)-m[登+（停+o)门 I-tan x 1-sin 1 cos =-sim(晋+a）=-3 2sin reos r(cos r+sin r) 251 24 答案：-号 cos r-sin > 175 跃升·关键能力题型1 跟踪训练 1.C[2co850°- 2tan 50 1.D[由tan20=-22,可得tan20= 2tan 0 -22, -4sin 50'cos 50"-cos 50 1-tan20 2sin 50" 即2tan0-tan0-√2=0， =2sin100°-cos50_2sin(60°+40)-sin40 2sin 50 2c0540 解得an0=2我an0=一号 2 2X 号cos40+2×号sm40-sn40 又角0的终边在第三象限，故tan0=√厄， 2cos 40" 2 故sin20+sin(3x-0)cos(2x+0)-√2cos20 2c0s210° 2解析：原式三m10s05n10X(9n5】 =sin0+sin 0cos 8-Zcos sin 5 cos 53 2sn10-2cos10°-c0s10°-2sin20 c0s10° _sin20+sin0cos0-②cos2g_tan㎡20+tan0-2 2sin 10 sin20+cos'0 tan20+1 -9s10-2sin(30°-10 2sin10° =cos10°-2sin30cos10°+2cos30'sin10 2sin 10 2.解析：国为9e(0,受)小则sim0>0,0s0>0, =c0s30°= 2 sin 0 1 又周为an0=C09z,则cos0-2sin0, 省案：号 cos'0+sin20=4sin0+sin20=5sin0=1, 解得如0-号我血8一9合 -2sin rco 3.解：原式= 2sin(-）o(开-） 所以sin0-cos0=sin0-2sin0=-sin0=- 5 cos(开-x) 答案： (1-sin2r) 1 5 cos2.r 第3节三角恒等变换 2sim(于-x）os(-x）sim(受-2x） 夯实·必备知识必备知识掌握 c0s 2.r. 1.(1)sin acos B+cos asin B sin acos B-cos asin 8 cos acos B- 题型2命题点1 sin asin A cos acos 8+sin asin 8 3.(4cos(+cos(()-2sinsin 1A[由海意得号15-号n1的 自主诊断查验思考辨析 cos15- 2 号n180+15-号ws15+号sn16 (1)/(2)×(3)/(4)×(5)× 小题查验 -om(45*-15)-m30-.] 1,C[原式=-(cos15cs45°-sin45°·sin45)=-cos(15°十 2.解：sim50(1+√5tan10) 45=-os60=-子] =sin50(1+v3.sin10) cos 10 2.BD[sin15cos15=7in30°-子.A不正痛：o2音 =sin50°×cos10+5sim10 cos 10 2 .C 21 os10+号n10'） 不正确： =sin50°× c0s10° 2c0g22.51=c0s45=号，D正确.] _2sin50°·cos50°_sin100°_cos10 cos 10 c0s10° c0s10=1. 445