第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第四章三角函数、解三角形 第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数 ★[课程标准] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性. 2.能进行弧度与角度的互化 3借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 3.正弦函数、余弦函数的定义 1.角的概念的推广 (1)如图，给定任意角a,作单位圆，角α的终边与 (1)定义：平面内 OA B 单位圆的交点为P(u,),点P的纵坐标？， 绕着它的 按箭头 横坐标“都是唯一确定的，我们把点P的纵 所示方向 到终止 位置OB,形成角a.其中点O是角a的顶点， 坐标v定义为角a的正弦值，仍记作v=sina: 射线OA是角a的 ,射线OB是角a 把点P的横坐标u定义为角α的余弦值，仍 的 记作u=cosa. (2)按照角的旋转方向，角分为三类：正角、负角、 (2)设角a终边上除原点外的 零角 (3)按照角的终边在平面直角坐标系的位置对角 一点Q(x,y),则sina= 分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第 几象限角·如果角的终边在坐标轴上，这个 ,osa=号，其中rm 角就不属于任何象限。 =√2+y. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连 同角a在内，可构成一个集合S={3B=a十 4.正切函数的定义 k·360°，k∈Z}. ()根据函数的定义，比值sn工是x的函数，称 2.弧度制的定义和公式 cos r (1)定义：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的 为x的正切函数，记作y=tanx,其中定义域 圆心角称为1弧度的角，其单位用符号 表示，读作 .在单位圆中，每一 为{∈Rx≠受+km,k∈Z: 段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这 (2)在角a的终边上任取一点Q(x,y)(x≠0)，则 种以 作为单位来度量角的方法，称 作弧度制. 由正切函数的定义，得tana= sin ay cos a (2)公式 5.三角函数的符号 角a的弧度数公式 a=(弧长用1表示) 三角函数 正弦 余弦 正切 ①1=话radi I 十 十 角度与弧度的换算 ②1rad= + 各象 P Ⅲ 弧长公式 弧长1= 限符号 W 扇形面积公式 S- 口诀 全正、二正弦、三正切、四余弦 73 金榜题名创新高考总复习 数学北师大版 ·重要结论： ◆[小题查验] L.若a分别为I、Ⅱ、Ⅲ、N象 1.(多选)在下列四个角中，属于第二象限角的是 限角，则受所在象限如图： A.160 B.480° C.-960 D.1530° 2.-个结论：若a∈(0， 2.与角一誓终边相同的角是 则tana>a>sina: 自主诊斯查验 B.2r 3 ◆[思考辨析] c D.- 3 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“√”，错误的打“×” 3.若m90,则0为 ( tan 0 (1)锐角是第一象限角，反之亦然. A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 (2)三角形的内角必是第一、第二象限角。 C.第一、三象限角 D.第一、四象限角 ( 4.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是 (3)不相等的角终边一定不相同. ( 144mm,则该弧所对的圆心角（正角）的弧度 数为 (4)终边相同的角的同一三角函数值相等. 5.(忽视对角终边位置的讨论致误)若α的终边 ( (5)a为第一象限角，则sina十cosa>1. 所在直线经过点P(cos不，sin3开），则sina 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1角的集合表示及象限角的判定 解题指导 [典例](1)（多选）如果角a与角Y十45的终 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某 边相同，角3与y一45°的终边相同，那么α一3 些条件的角，方法是先写出与这个角的终 的可能值为 边相同的所有角的集合，然后通过对集合 A.90° B.360° C.450° D.2330° 中的参数k赋值来求得所需角 (2)如果a是第三象限的角，则角一a的终边所 (2)表示区间角的三个步骤 在位置是 ,角2a的终边所在位置是 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终 止边界. 尝试解答] ②按由小到大分别标出起始和终止边界 对应的一360°一360°范围内的角a和3，写 出最简区间. ③起始、终止边界对应角a,β再加上360 的整数倍，即得区间角集合， (3)已知角a终边所在的象限，求2a,受x一a 等角的终边所在象限问题，可由条件先写 。[互动探究] 在本例(2)的条件下，角号终边所在的位置是 出a的范围，解不等式得出角2a,受r一a 等的范围，再根据范围确定象限， 74 主题二第四章三角函数、解三角形 跟踪训练 方法指导 1.设集合M={女x=专·180+46，k∈Z, 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注 N={xx=·180+45，k∈Z,那么 意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二 次函数的最值问题，利用配方法使问题得 A.M=N B.MCN 到解决。 C.NCM D.M∩N=g (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合 2.(2025·河南焦作市模拟)已知角α的终边与 理地利用圆心角所在的三角形 300°角的终边重合，则号的终边不可能在 1跟踪训练 ( (2025·全国模拟)屏风文 A.第一象限 B.第二象限 化在我国源远流长，可追溯 C.第三象限 D.第四象限 到汉代某屏风工艺厂设计 题型2 扇形的弧长及面积公式 了一款造型优美的扇环形 屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m,内环弧长 [典例] 已知扇形周长为40，当它的半径和圆 为1.2m,径长（外环半径与内环半径之差）为 心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 1.2m,则该扇环形屏风的面积为 m2. [关键突破点]建立扇形的面积S与其半 径r的函数关系式求解， 题型3〔 三角函数的定义 [尝试解答] [母题] 设角a终边上一点P(-4a,3a)(a<0), 则sina的值为 [尝试解答] [子题1]若母题中“a<0”,改为“a≠0”，则 。[互动探究] sina的值为 本例条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长 [子题2]已知角a的终边在直线3.x+4y=0 为AB=12”,试求弧长1. 上，求sin&,cosa,tana的值. 75 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 规律总结 2.(2025·西安模拟)若角a的终边在第一象限， 用定义法求三角函数值的两种情况 sin 1)已知角a终边上一点P的坐标，则可先求 则 的取值集合为( sin号 cos- 出点P到原点的距离「，然后用三角函数 2 A.{-2,2} B.{0,2} 的定义求解； C.{2} D.{0,-2,2} (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先 3.(2025·湖北武汉模拟)已知角a的始边与x 设出终边上一点的坐标，求出此点到原点 轴非负半轴重合，终边上一点P(sin3,cos3), 的距离，然后用三角函数的定义来求解 若0≤a≤2π，则a= ( A.3 题型4 三角函数值的符号 B受-3 1.下列各选项中正确的是 c段-3 D.3-8 A.sin300>0 题后反思 B.c0s(-305°)<0 熟练掌握三角函数在各象限的符号.三角函 数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二 C.tan(- >0 正弦、三正切、四余弦 D.sin 10<0 请完成课时冲关20 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 ★[课程标准] L.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x十cos2x=1,sin2=tanx cos x 2.掌握诱导公式，并会简单的应用. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 ·重要结论： 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1. 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看 (2)商数关系：n8=tana(a≠受+km,k∈Z, 象限. cos a 2.三角函数的诱导公式 2.同角三角函数的基本关系式的常见变形 公式 二 三 四 五 六 (1)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); 2kπ十a cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a). x十a a r一a -a (k∈Z) (2)(sina&±cosa)2=1±2 sin acos a. 正弦 sin a (3)sina=tancs(e≠2+kx,k∈Z): 余弦 cos a 正切 tan a (4)sin2a= sin a tan a sin'a+cos2a tan2a+1 函数名改变， 口诀 函数名不变，符号看象限 cosa 符号看象限 sin-a+cos a tan a+1 76第四章三角函数、解三角形 2.A[因为角a的终边与300°角的终边重合，所以a=300°十k· 360,k∈7.所以号=100+k120,k∈7 第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数 夯实·必备知识必备知识掌握 令k=0,号-100，终边位于常二象限：令k-1,号=220，终边 1.(1)一条射线端点0旋转始边终边 位于第三象限， 2.d孤度弧度2(2)1arr号a 令k=2,号=310，终边位于第四象限，令k=3,a=100°十360 自主诊断查脸思考辨析 终边住于第二象限， (1)×(2)×(3)×(4)√/(5) 小题查验 1.ABC[480°=360°+120°：-960°=-3×360°+120°：1530°=4 所以号的终边不可能在第一象限] ×360°+90°，故属于第二象限角的是ABC.] 题型2 2B[与角-号终边相网的角的秦合是{a。=一经+张∈Z小 [典例门[解]设圆心角是0，半径是r,则2r十r8一40. 3 当k=1时，a=兰元.故选B.1 又s=7m=7r40-2）=r(20-r）=-(r-102+100< aD[因为温号>0，所以血.an9同号 100.当且仅当r=10时，Smx=100,此时2×10十100=40.0=2. 所以当r=10,0=2时，扇形的面积最大， 在第一象限时sin0>0,tan0>0, 互动探究 在第四象很时sin0<0,tan<0, 解：设率径为人则由5=in60, 所以0是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号，故逃D.门 解析：由弦长公式1=0，得。=-货=1：2孤度 答案：1.2 4=lav-8g 跟踪训练 5,解析：，直线经过二、四象限，又，点P在单位國上，若a的终边在 解析：设扇形的图心角为a,内环半径为rm,外环半径为Rm,则 第二象限，则ina=m=受，若a的终边在第四象限一ina R-r=1.2m, 由题意可知a·r=1.2m,a·R=3.6m,所以a(R十r)=4.8m, 所以该扇环形屏风的面积为： 答案：士号 S-7aR-P)-言a(R+(R-)-号×4.8X1.2- 2.88m2. 跃升·关键能力题型1 答案：2.88 [典例](1)[解析]因为角a与角Y十45的终边相同，故a=Y十 题型3 45°十k·360°，其中k∈Z, 同理3=y-45°+k1·360°，其中k1∈Z,故a一3-90°+n·360°， [母题][解析]第一步：利用两点间的距离公式桌出点P到坐 其中∈Z, 标原，点的距离， 当n=0或n=1时，a一3=90°或a一3=450°，故A、C正确： 设P与原点的距离为r,'P(-4a,3a)a<0, 令360°=90°十n·360°，此方程无整数解n1 ∴r=(-4a)+(3a)z=l5a=-5a. 令2330°=90°十n·360°，即56=9n,此方程无整数解n,故B.D 第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sina的值， 错误. [答案]AC (2[解析]由a是第三象限的角得x+2x<a<经+2kmk∈万， [答案]一号 -警-2km<-a<--2a:脚受+2kx<-a<+2a(ke0 [子题1门解析：当a<0时，sina=一亏；当a>0时，r=5a, 角-。的终边在第二象限，由十2kx<0<要+2x(∈Z,得 如a= 2r十4kπ<2a<3π十4kx(k∈Z), 角2@的终边在第一、二象很及y轴的非负半轴. 答案：一号或号 [答案]第二象限第一，二象限及y轴的非负半轴 互动探究 [子题2]解：设a终边上任一点为P(一4a,3a), 解折：因为x十2<a<警+2x(k∈，所以晋+要<号< 3 当>0时=5，a=号as=-青ana=一子： 登+Ez. 4 当a<0时，r=-5a,sima=-片，0osa=万，tana=-3. 当k-3nn∈D时，号+2mx<号<受+2mxn∈： 题型4 1.D[300°=360°-60°.则300°是第四象限角.故sin300°<0： 当=3n+1mE》时，x+2nx<号<晋+2axa∈Z: 305°=-360°+55°，则-305是第一象限角，故c0s(-305)>0: 当k=3n+2neD时.受+2x<号<号+2nmne2D. 而-号。=一8版十号：所以-号x是第二泉限角，故 综上，号的终边在第一，三，四象限 am(-号：)<0，因为3a<10<号所以10是第三象限角：故 答秦：第一、三，四象限 sin10<0.] 跟踪训练 之.A[国为角a的终边在第一象限，所以2张m<a<2十受，大 1.B[由于M中x=之·180+45=表·90°+45”=(2k+1)· EZ. 45,2k十1是寺数：而N中，=车·180+45=·45+45” 所以k红<号<k红十晋，k∈么，所以受为第一象限角或第三象 (k十1)·45°，k十1是整数，图此必有M二N.] 限角， 443 sin 0(1+sin 20)sin 0(sin20+cos 0+2sin 0cos 0) 当受为第一象限角时，sin号>0，c0s号>0，故 sin 0+cos 0 sin 0+cos a =sin 0(sin 6+cos )=sin20+sin dcos 6 sin2 3.解：(1)法一：联立方程 =1+1=2: sina+cosa=5,① sin2a+cos2a=1.② 当号为第三象限商时，sin号<0,0s号<0故 sm号 由①得coe=写一sima,将共代入②，整理得 sin a 25sin2a-5sina-12=0.,'a是三角形内角， (sin a=5' 1十(-1)=-2. cos号 cos a=- 3 1 cos 2 法二：sina十cosa=5 所以 的取值集合为{一2,2.故选A.门 n号 ∴(m8+oso2=(日）》厂，即1+2 in os=务 3.C[因为角a的终边上一点P(sin3,cos3), 2sin acos a=- 24 25 所以tana sn3am3<0,又cos3<0,sin3>0,所以a为第 c0s31 .(sin a-cos a)1-2sin acos 四象限角，所以a=2k十晋一3，k∈乙，又因0≤a≤2元，所以a 2 'sin acos a=- 25<0,且0<a<, 1 5π-3.] ..sin a0,cos a<,sin a-cos a >0. 7 第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式 ∴sina-cosa=5 夯实·必备知识必备知识掌握 sina十cosa= sin a5 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a 一c0sa 由 7 得 sin a-cos a=5 cos a=- 3 sin a -sin a tan a -tan a -tan a 5· 自主诊断查验思考辨析 4 (1)×(2)×(3)×(4)/(5)× ∴tana-一 小题查验 (2) 1 sina十cosa 5 1.D[因为ina=启且a为第二象限角，样cosa=-V-na cos a-sin'a cos a-sina 指 sin a+cos a cosa =am+.ane=- cosa-sin a 1-tan2a 3 cos a 2.B[国为平+a与平-0互余， 1 tan'a+1 ()+1 25 所以o(导-)=m(行+a）=子] cos2a-sina1-ana 1( 7 3.A[图为角a是第二象限角，所以cosa<0,又sina十cos2a=1, 题型2 所以m。-小厂云-一号] 1.C[sin2024°=sin224°=-sin44<0.cos2024°=cos224°= -c0s44°<0.] 4.解析：tan0+cos9-sim9+cos9 1 sin 0 cos sin cos 0sin 2. 2.解析：fa)=-2sine(-cose)+cose 1+sin a+sin a-cos a 答案：2 -2sin acos a+cos a cos a(1+2sin a) 5.解析：os(+2a）=cos[x-(5-2a)] 2sin2a十sina sina(1+2sina》 =-os(号-2a）=-1+2sim2(g-a）=-日 。1+2sme≠0(-g) 1 答案：-号 =3 跃升·关键能力题型1 答案：3 L1.B[P点的纵坐标为-6<0，且cosa=一员<0，所以P在第三 题型3 象，所以血。-V个。-一号me-把。号 [典例](1)[解析]由题可知tan0-2, =-3 +。是+是==] 135 8 所以m=m(叶子)-"出。-告 2.C[因为出go号-2，所以m0=30os, sim(受+2p) 则 0s23 所以sin0,cos0同号，即sin0cos0>0, -os(-2p) 1+sin 28 sin20+cos20-9cos20+cos20-10cos0-1. cos B-sin 1-tan8 1 9 sin B+cos B+2sin Bcos 8 tan +1+2tan B cos0=0,从而im0=i0, -amB-1士3=-2. 9 1+tan31-3 sin20cos20=10,所以sin0cos0=0 [答案]A 444