热点强化课2 函数中的构造问题-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

题型2 [典例们(1)[解析]子(x)=一inr十sinx+(x+1)eosx= 2)得=8c-2-16-82(-29）0< (r+1)cos. ≤2 所以fx)在区间[0，受)和(，2x]上f(x)>0,即fx)单调 由于>3，所以c一2>0， 递增： 当3-20 20 -2 =0时r=√-2 在区间（受，F)上了(x)<0,即fx)单调递减， 20 =m,则m>0 又f0)=2)=2,(受)=是+2， 所以y=8xC-2(r-m)(+m十m. (受)=-（受+）+1=-受 所以f)在区间[0,2]上的最小值为-，最大值为受+2。 ①当0<m<2,即c>2时，当r=m时y=0: 当r∈(0，m)时，y'<0:当r∈(m,2)时，y>0. [答案]D (2)[解]①广(x)=2xe+x2ae=x(ar+2)e 所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点。 当a=0时，由f(x)>0,得x>0,由f(r)<0,得x<0. ②当m≥2，即3<≤之时， 故函数(.x)在(0，十∞)上单调递增，在（一∞，0）上单调递减： 当a<0时，由了(x)>0得，0<r<- 当r∈(0,2]时，y<0,函数单调递减， a 所以r一2是函教y的最小值点. 由f(<0,得x<0或r>-2 9 a 综上所述，当3<≤立，建造货用最小时r=2 故函数x)在(0，一2)上单润造增， 120 当>号建造费用最小时=√ 在（一0,0）与（一兰十）上单调证减。 跟踪训练 ②当a=0时，f(x)在区问[0,1门上单调递增，其最大值为f(1) 解：(1)由题意得，生产接产品的投入为x十12ln3万元， =1: 所以F(r)=f(x)-x-12ln3=-x2+3r+121nx+20-x 当-2<4<0时，-2>1x)在区间[0,1门上单调递增，其最 12ln3=-x2+2x+12(lnx-n3)十20，其中1≤x≤8. (2)F(x)=-2r+2+12--22+2+12-(-2x+6)(x+2 大值是f(1)=: 当a≤-2时，0<-二≤1，r=-2是画数f0x)在区间[0,1]上 1≤r≤8， 令F(x)=0,得x=一2或3， 唯一的极大值点，也就是最大值点， 当1≤x<3时，F(x)>0,F(x)在(1,3)单调递增： 光时画教)录大值是f(一吕)厂 4 当3<x≤8时，F(r)<0,F(x》在(3,8)单调递减， .当x=3时，F(r)取得最大值F(3)=17. 综上可得当一2<a≤0时，f(x)在[0,1]上的最大值是e: ,,该产品2025年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利 当a长一2时f)在[0.门上的爱大为 最大，最大利润为17万元. 跟踪训练 热点强化课2函数中的构造问题 1,D[由题意可知：(x)=(x十1)e, 所以当x∈[0,1]时(x)>0,则f(x)在[0,1]上单调递增， 题型1 所以f(x)mn=∫(0)=a=L.故速D.] [例1][解析]令g(x)=f(x)-2.x,则g'(x)=f(x)-2<0,则 2.解：(1)f(x)=a.x2+bx,广(x)=3ax2+b g(x)在R上单调递减，又f(m)一f(1一2m)≥6m一2等价于 函数f(x)=ax十b.r在x=1处取得极值4， f(m)-2m≥f1-2m)-2(1-2m),即g(m)≥g(1-2m),由单 ∴.f(1)=a+b=4,f(1)=3a+b=0,解得a=-2,b=6, .f(x)=一2.x2+6.x,经验证在x=1处取得极大值4， 调性得m≤1一2m,解得加≤3 故a=-2,6=6. [答案]B (2)由(1)可知，f(x)=-2r+6.r,f(x)=-6x2+6, [例2][解析]设g(x)=f(x)一x,则g'(x)=f(x)一1， 令f(x)>0,解得-1<x<1,令f(x)<0,解得x>1或x< 又x∈[0，十o)上，了(x)<1,则g'(r)<0,即画数(x)在r∈ -1, [0,十o)上单调递减， 因此f(x)在[一2，一1)上单调递减，在（一1,1）上单调递增。 又(x)是定义在R上的奇西数，则函数g(x)为R上的奇画数， 在(1,3]上单调递减， 故g(x)在R上单调递减， 所以蓝数在f(x)在x=一1时取得极小值，极小值为∫（一1）= 义f(2024-m)-f(m)≥2024-2m, -4 在x=1时取得极大值，极大值为∫(1)=4，且f(一2)=4， .f(2024一m)一(2024-m)≥f(m)-m f(3)=-36, 即g(2024一m)≥g(m), 经比较，西数f(x)在区间[一2,3]上的最小值是一36，最大值 可得2024一m≤m,解得m≥1012. 是4. [答案]B 题型3 题型2 工典例][解](1)设客器的客积为V,由题意知 [例3][解析]令x=0,时2f(0)十0>0，∴.f(0)>0,则A错误： 令g(x)=x2f（x),则g'(xr)=2xf(x)+x2f(x), V=1+音，又V=g,故1= 80 当r>0时，由2f(x)+xf(x)>0, 3r2 2xf(x)+x2了(x)>0,则g(x)在(0，十∞)上单调递增， 言（学-小南于≥2，周光号(9-）≥2 叉因为偶函数(r)的定义城为R, g(x)=r2f(x)为偶函数，g(x)在(0，十o)上单调适增， 整理得9≥5r,故0<r≤2.所以建造费用y=2rlX3+4x产2c ,g(一3)=g(3)>g(1),9f(一3)>f(1),故B错误： 2r×号(9-r）×3+4r2e ∴g(2)>g(-1),4f(2)>f(-1),故C正确： 由题意，不妨似设(x)=>0(c为常数)特合题意，此时(1D) 因此y=4c-2)2+160x,0<r≤2. f(2)=c,故D错误. [答案]C 436 [例们[解析]由题可知，当r≥1时，[rfr)门了-三.令gr) (年) =八x),则fx)=g2. sin(-r) 22, f(r)-g(r)-2rg(2)_Inr-2g(r) 国为面数f八x)为奇画数，故二) () sin(-x) 也即F(一x)> ◆h6)=hnr-2g.h)=-2g)=1-2， sin 令'(x)=0,解得x=6.可知函数h(x)在(，十o)上单调递 F()所以-<受脚>-平 减，在(1√)上单调递增. 又h(We)=lnNe-2g(We)=0,所以h(x)≤0， 所以-牙<<0.综上，原不等式的解集(-云0)U(至x小： 广(x)≤0，所以函数f(r)在[1，十o)上单调递减， [答案]D 4)<1,可化为fx)<品-6.又画载)关于r-1 [例8][解析]由题可得cos,xf(x)一sin rf(x)<cos rf(r), 所以(cos af(x)'<cosf(x), 对称， 设g(x)-c0sr·fx 故x-1>1e-1|x-1<1-e或x-1>√e-1,所以不等式 e 的解集为(-0,2-√)U(W,十o∞). )-(cos()'-cos fr [答案]A e 题型3 所以g()在R上单河递减，且g(受)=0， [例5】[解析]由题可设F(r)=,因为了(r)-f>0, 由g0)>g(登）>g(x),可得f0>0>- (r)-P(xefre-f(r)-RD0. 所以f(0)>0,f()>0,所以选项A,B错谋，逸项C正确：把x 所以画数F(x)在R上单调适增，又F(2021D=2024=1,不 =受代入cosP(x)<(cosx+sinr)fr),可得f(受）>0，所 e221 以选项D错误： () [答案]C 等式f(号nx)<近可转化为 题型5 ∴F(3lnr）<1=F2024),所以3nr<2021,解得0<r< [例】[解折]狗造西数f)-二，其中>0， 心5咖，所以不等式f(号nr）<行的解集为(0，e50) 剩f(x=1-lnx x2 [答案]A 当0<r<e时，f(.r)>0,此时函数f(x)单调适增， 当x>e时，f(x)<0,此时函数f(x)单调递减， [例6们[解析]设gr)=2. e 对于A选项，：e<,则f(e)>f八x),即上>血】 则g'(x)-(x)-f e x 所以r>n,A错误： 因为f(x)-f(x)<0,所以g(x)>0,则g(x)在R上单调递增. 对于B选项，e<,则e>),即>2所以> 因为-2<1，所以g(-2)<g(1),即-2<但，所以 2eln,B正确： e 2f(-2)<f(1),则A错误： 对于C选项，0<√<e,剩f（)<f(e), 因为f(一2)，f(1)的大小不能确定，所以f(一2)，e(1)的大小 脚血匠=lnx上 不能确定，则B错误： 因为1<2，所以g(1D<g(2,则<2，所以e)< 所以0<elnr<2云，所以e2ln㎡<4m,C错误： e 「(2)，则C正确： 对于D滤项，“>e2>e,则f)<fe),聊n量-2n< 因为f(1),f(2)的大小不能确定，所以f(1),ef(2)不能嘛定，则 D错误. e2 一子所以>c2ln,D错说 [答案]C [答案]B 题型4 [例10][解析]设f(x)=1n(1十x)一x(x>一1)， [例刀[解析]令Fr)=巴，周为当O<r<x时，有/xn 1 sinr 圈为f()=1十x-1=千 -f(x》c0sx0, 当x∈(-1,0)时，f(x)>0.当x∈(0，+oo)时， 所以当0<x<时， f(x)<0, F(r)(r)sinfr)cos 所以函数f(.x)=ln(1十x)一x在(0，十o)上单调遁减，在 sin (一】，0)上单调递增， 所以或数F(x)= 在(0，x)上为单调递减函数， 10 sin 所以f(合)<0)=0，所以n9-寸<0，故号> 所以当0<r<x时，关于x的不等式f(x)<f(开)sinr可 -ln0.9,即b>c, 1 化为( ( 所以(-品)<0)=0，所以1n品+0<0，故品<，所以 sin r ,脚Fr)<F(牙)所以>>： 一<x<0时，0<一r<π，则关于r的不等式fx)< 故a<h, 设g(x)=xe+ln(1一x)(0<r<1),则g'(x)=(x+1)e十 /(条)mr可化为() 1=(x2-10e+1 sin x-1 x一1 令h(x)=g(x2-1)+1,h(.x)=e(x2+2.x-1), 437 当0<x<2-1时，h'(x)<0,岛数方(x)=e(x2-1)十1单调 递减， 第4节导数的综合应用 当2-1<x<1时，h(x)>0,品数h(x)=e(.x一1)+1单调 第1课时利用导数证明不等式 递增， 题型1 又h(0)=0, [典例门[解](1)周为f(x)=a(e十a)一x,定义域为R,所以 所以当0<x<√2一1时.h(x)<0, f(x)=ue-1, 所以当0<x<区-1时，g'(x)>0,函数g(x)=x心十n(1-x) 当a0时，令f(r)<0,所以f(,x)在R上单调递减， 单调递增， 当a>0时，令f(r)=0.解得x=-lna, 所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e.1>-ln0.9,所以a>c.故b>a 当r∈（一co,一lna)时，f(x)<0,f(r)单调通减： > 当r∈（一lna,十oo)时，(x)>0,f(r)单调递增， [答案]C 综上，当a0时，f(x)在R上单调递减： 题型6 当a>0时，f(x)在区间(-oo,-lna)上单调递减， [例11][解析]对ae=e5两边取前然对数得na十a=6,①对 在区间（一lna,十∞）上单调递增. b(nb-2)=e-1两边取自然对数得lnb+1n(lnb-2)=3x-1, (2)第1步：转化不等式 即lnb-2+ln(lnb-2)=3x-3.② 由(1)得当a>0时，f(r)在区间（一o,一lna)上单调递减，在区 因为方程①，②为两个同构方程，所以3就一3=6，解得1=3，设 间（一lna,十o)上单调递增， )=nr+>0,则了)=+1>0， 所以f(x)mn=f(-lna)=1+a2+lna, 所以西数f(x)在(0，十)上单调递增，所以方程f(x)=6的解 要接/c)>2na+2,只需接1+a+lna>2na+号， 只有一个，所以a=lnb一2， 所以ab=(lnb-2)b=b(1nb-2)=e2x3-l=e,故ln(ab)=lnes 即任d-名-n。>0极减立. =8. 第2步：构造新函数 [答案]38 L例12][解析]f(r)=xe一2a(lnx+x) ◆gu-2-nr->0,则R=2-=2 =e+l-2a(in r++r). 设1=+nr>0=1+>0,即画数在0，+0上单调 令R()=0,解得-受（奥位合去. 第3步：判断单调性 递增，易得t∈R,于是问随等价于画数g(1)=d一2at在R上有 两个零点，g(t)=t一2a, 所以当x(0.号）时，g)<0,8)单调造减： 若a≤0，则g()>0,函数g()在R上单调递增，至多有1个零 ,点，不合题意，舍去： 当：（停+一）时g>0ge单得是特 若a>0,则x∈（一∞，ln2a)时，g'(t)<0,g(t》单调递减，xE (n2a,十o)时，g(t)>0,g(t)单调递增 第4步：求函数最值 因为函数g(1)在R上有两个零点，所以g(1)mm一gn2a) 所以≥a=(） =n√2>0， 2a(1-ln2a)<0→a>2· 第5步：得最终结论 而g(0)=1>0, 限定>1，记g(1)=e-1,g(1)=e-1>0,即g()在(1，+∞) 所以当。>0时>2na+是 上单调递增，于是g(1)=心一t>g(1)=e-1>0→>t,则t>2 跟踪训练 时e>专>>行，此时g)>号-2a1=片1-80，因为e 解：Dx)=之r产-1+2a+aln定又孩为0，十o,则 >号，所以8a>4e>1,千是>8a时，g)>0. f(r)=x-(1+2a)+2-r-1D(x-2a) 综上，当a>受时，有两个文点阳的最小整数值为2 ①当a≤0时，x一2a>0, 当0<x<1时，f(x)<0.当x>1时，f(z)>0. [答案]C 所以(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 题型7 [例13][解析]对于任意·x2∈[1.+∞)，当xg>时，恒 ②当0<a<2时，0<2a<1当0<x<2a我r>1时，f(n 有aln<2(-)成立， 0,当2a<x<1时，f(x)<0,所以f(x)在(0,2a)上单调递增，在 (2a,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 即alnx2-2r2<alnx1-2r成立 令fx)=alnx-2xf（x2)<f(x1), ③当a=2时=-1D ≥0.故f(x)在(0，+∞)上单调 .f(x)在[1，十∞)上单测递减， 递增. ∴f(x)=4-2≤0在[1，+0)上位成主. ④当a>之时，2a>1d当0<x<1或>2a时，f(x)>0,当1 .a≤2x在[1.十o∞)上恒成立， <x<2a时，f(.x)<0, 当x≥1,2r≥2， 所以f(x)在(0,1)上单测递增，在(1,2a)上单调递减，在(2a,十o) .实数a的取值范图为（一oo,2] 上单调递增。 [答案]C [例14][解析]0<x1<r2<a,∴x1-x2<0, (2)证明：当a=0时，要证rp)+g(x)<心+72--1，即 4h-ln<2-)n五-lm型<2-2 证1nx+22-r<c+是2-r-1,只需证明：e-nr-1> :n+2<n+2.画餐fr=n+2在定又城0a)上 0.设)=-lnx-1,则g(x)=心-子(x)=心+ 单调递增， >0, /x)=1-+2=nr-≥0在0a)上慢成立. 所以g(x)在(0，十∞)上单调递增，又8（合）=E-2<0, 由-nr一1>0，解得0<≤，故a的策大维是日 g'(1)=e-1>0, [答案]C 所以存在唯一ne(受1)使得g(o)=0,即= 438金榜题名创新高考总复习数学北师大版 [热点强化课2]函数中的构造问愿 近几年高考数学客观题压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围，这类试题 具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理 导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结，并举例说明 题型1( 加减型 题型2 加乘型 [例1]定义在R上的可导函数f(x)满足f(x) [例3]已知偶函数f(x)的定义域为R,导函数 <2,若f(m)一f(1-2m)≥6m-2,则m的取 为f(x),若对任意x∈[0，十∞)，都有2f(x) 值范围是 +x(x)>0恒成立，则下列结论正确的是 ( A.(-∞，-1] A.f(0)<0 B.9f(-3)<f(1) C.[-1,+o∞) D[3+e C.4f(2)>f(-1) D.f(1)<f(2) [尝试解答] [尝试解答] [例4](2025·河南濮阳)已知函数f(x+1)为 定义域在R上的偶函数，且当x≥1时，函数 1c)满足)+2)-@=0 [例2](2025·山东济南历城二中月考)已知 则4ef(x)<1的解集是 () f(x)是定义在R上的奇函数，(x)是函数 A.(-o∞，2-√e)U(e,十∞) f(x)的导函数且在[0，十∞)上f(x)<1,若 B.(2-√e,we) f(2024一m)一f(m)≥2024一2m,则实数m C.(-∞，2-e)U(e,+o∞) 的取值范围为 D.(2-e,e) A.[-1012,1012] [尝试解答] B.[1012,+∞) C.(-o∞，-1012] D.(-o∞，-1012]U[1012,+∞) [尝试解答] 方法指导 1.出现f(x)十f(x)>0(<0),构造g(x)= e·f(x); 2.出现f(x)十kf(x)>0(<0),构造g(x) er·f(x): 3.出现(x)-f(x)>k(<k),构造g(x) 方法指导 =e"[f(r)-k]; 在求解抽象函数不等式中，若已知条件出现 f(.x)>k或f'(x)<k,可构造函数g(x)= 4.出现∫(x)nx+f四>0(<0)，构造 x f(x)-kx. g(x)=lnx·f(x). 64 主题二第三章导数及其应用 题型3 减除型 题型4 三角函数型 [例5] 若定义在R上的函数f(x)的导函数为 [例7](2025·湖北模拟)奇函数f(x)定义域 (.x),且满足f(.x)>∫(x),f(2024)= 为（一π，0）U(0,π)，其导函数是f(x).当0< e224,则不等式f(号lnx)<的解集为 x<π时，有f(x)sinx-f(x)cosx<0,则关 ( 于x的不等式f(x)<2f(于)sinx的解集为 A.(0,e5072) B.(0,e2o24) C.(e2021,+oo) D.(e5072,十oo) A(牙x) [尝试解答] B.(-x,-)U(年x》 c.(-开，oU(o,牙) D.(-0U(Tx) [尝试解答] [例6]已知f(x)是定义在R上的函数f(x) 的导数，且f(x)一(x)<0,则下列不等式一 定成立的是 () A.e3f(-2)>f(1) B.f(-2)<e3f(1) [例8]定义在R上的连续函数f(x)的导函数 C.ef(1)<f(2) D.f(1)<ef(2) 为f(x),且cos xf(x)<(cosx+sinx)f(x) [尝试解答] 成立，则下列各式一定成立的是 () A.f(0)=0 B.f(0)<0 C.f(π)>0 D.f()=0 [尝试解答] 方法指导 1.出现x·f(x)一f(x)>0(<0),构造 g(x)=f(z) 方法指导 1.出现sinx·f(x)+cosx·f(x)>0(<0), 2.出现x·f(x)-kf(x)>0(<0),构造 构造g(x)=f(x)·sinx. g(x)=f(z) 2.出现cosx·f(x)-sinx·f(.x)>0(<0), 构造g(x)=f(x)·cosx 3.出现f(x)-f(x)>0(<0),构造g(x) 3.出现sinx·f(.x)-cosx·f(x)>0(<0), f(.x) 构造g(x)= f(x) sin 4.出现f(x)-kf(x)>0(<0),构造g(x) 4.出现cosx·f(x)+sinx·f(.x)>0(<0), f(x) e 构造g(x)= f(r) cos x 65 金榜题名 创新高考总复习数学北师大版 题型5 比较大小中的同型构造 [例12]已知函数f(x)=xe一2a(lnx十x)有 两个零点，则a的最小整数值为 () [例9] (2025·辽宁省实验中学期末)下列结 A.0 B.1 C.2 D.3 论正确的是 ( [尝试解答] A.x<elnπ B.x2>2elnπ C.e21n2r>4π D.2<e2In [尝试解答] 方法指导 1.如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特 征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根 或函数y=f(x)的两个零点. [例10](2022·新高考I卷)设a=0.1e0.1, 2.结合指数运算和对数运算的法则，掌握下 述结论（其中x>0): b-,c=1n0.9,则 ( (1)xer =er+in;x+In r=In(re), A.a<b<c B.c<b<a (2)e =er-In t it-In x=In ef C.c<a<b D.a<c<b [尝试解答] (3)x2er=er+2in ;r+2In r=In(22er), (4)e =er-2In r er =er-2Inr 题型7 双元构造 [例13] 对于任意x1,x2∈[1，十∞)，当x2> x1时.恒有an 2<2(x2-x1)成立：则实数a 方法指导 结合题目特征，发掘题中所给结构式的相似 的取值范围是 性，并进行等价变形，构造函数，利用函数单 A.(-∞，0] B.(-o∞，1] C.(-∞，2] D.(-∞，3] 调性比较函数值的大小，是比较大小很重要 [尝试解答] 的方法 题型6 函数零点问题中同型构造 [例11](2025·全国模拟)在数学中，我们把 仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子 方法指导 称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应 双元，可以借助相同结构来构造对应“统一函数” 的不等式称为同构不等式.若关于a的方程 ae=es和关于b的方程b(lnb-2)=e3a-l [例14]若对于任意的0<x1<x2<a,都有 (a,b,λ∈R)可化为同构方程，则入= x2lnx1一xln2>2,则a的最大值为（ x1一x2 In(ab)= [尝试解答] A.1 B.e c D.2 [尝试解答] 请完成课时冲关18 66