专题1.2（3） 矩形的性质与判定（专项练习）（拓展培优）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.2（3） 矩形的性质与判定（专项练习）（拓展培优） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形对角线互相垂直 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，点为的中点，且，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏·一模）如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（    ） A．20 B．40 C． D． 5．（24-25八年级下·全国·期中）有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（   ）． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 6．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接，．则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南省直辖县级单位·三模）如图，在矩形中，，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到， 连接，．当的值最小时，点运动的时间为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 8．（2025·山东临沂·一模）如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）如图，在矩形中，，，分别交、于点、，在上任取两点、，那么图中阴影部分的面积是 ． 12．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 13．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．    14．（21-22八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，，，，点位于边上，过点作边的平行线交边于点，过点作边的平行线交边于点，设，四边形的面积为，则关于的函数关系式是 ．（不必写定义域） 15．（24-25八年级下·河南安阳·期中）矩形中，，对角线，交于点，点是边的三等分点，连接，点是的中点，连接，，则的值为 ． 16．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，过点A作，使，连接，，，则的长为 ． 18．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·山东烟台·中考真题）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 20．（本小题满分8分）（2025年山东省聊城市东昌教育集团等学校中考数学三模试题）如图，在矩形中，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交边于点E，连接，作于点F． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 21．（本小题满分10分）（2025年云南省中考数学真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． （1）直接写出点A的坐标； （2）在轴上是否存在点，使最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； （3）如图2所示，若点C为x轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，D点在第四象限，连接，求出的度数． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 24．（本小题满分12分）（2025·贵州安顺·一模）综合与探究 如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到． 【操作判断】 （）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______． 【问题探究】 （）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）当点与点都不重合时，若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2（3） 矩形的性质与判定（专项练习）（拓展培优） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形对角线互相垂直 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形的性质和判定定理，难度不大． 利用矩形、菱形的性质和判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 解：A、矩形的四个内角都是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、矩形对角线互相平分且相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，点为的中点，且，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，根据平角的定义可得，由矩形的性质可得，则可证明是等边三角形，得到，，在利用勾股定理求解即可． 解：∵， ∴， ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 4．（2025·江苏·一模）如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（    ） A．20 B．40 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，再由勾股定理可得，证明，作交于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，作交于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级下·全国·期中）有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（   ）． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查准矩形，熟练掌握准矩形的定义是解题的关键．根据准矩形的定义进行判断即可． 解：①直角梯形并不是对角是直角，故不是准矩形，①错误； 准矩形中，， ， ， 夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和，②正确； 准矩形中，，故， 四边形的内角和为， ，故③正确； 故选D． 6．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，过点B作，过点C作，交于点F，在上截取，使，连接，，得出四边形是矩形．由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质进一步推出是等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出答案． 解：如图，过点B作，过点C作，交于点F，在上截取，使，连接，， ∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，，． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：D． 7．（2025·河南省直辖县级单位·三模）如图，在矩形中，，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到， 连接，．当的值最小时，点运动的时间为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，包括矩形的性质、旋转的性质以及三角形的性质．本题将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，证明，延长交于点，则，随着点的运动，点在射线上运动，当时， 的值最小以此进行运算即可． 解：如图（1），将绕点顺时针旋转，得到， 连接，则是等边三角形， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于点，则， ∴随着点的运动，点在射线上运动， 当时，如图（2），的值最小，此时， ∴， ∴当的值最小时，点的运动时间为秒． 故选：C． 8．（2025·山东临沂·一模）如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据三角形内角和定理可求，根据角平分线的定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余可以得到，根据三角形内角和定理可得：，折叠的性质可得：，，根据三角形外角的性质可得：，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可知，根据等腰三角形的性质可得：，所以可得：． 解：如下图所示，连接， 在中，， ， 平分， ， 又， ， ， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 为中点， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系． 9．（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长，交于点H，连接，由题意得，易证，即可判断A选项；证明，推出，证明，推出，即可判断B选项；由三角形全等得到，根据，即可判断C选项；易证垂直平分，推出，证明是等腰直角三角形，推出，求出，即可判断D选项． 解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点， ∴ ∵平分， ∴， 又∵，D为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是结合所学知识逐项判定各选项，并且利用已经证明的结论来证明未知的结论 ． 10．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是灵活应用这些知识点．由，，可得，从而判断①；延长交于点，，得出，进而根据直角三角形的性质从而判断②；延长交于，作于，先证，再证出，从而判断③，由与，得出，从而判断④． 解：，， ， 故①不正确； 如图，延长交于点, ∵，， ∴ ∴ ∵为的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故②正确； 延长交于，作于，连接 ，，， ， ， 又， ∴是的中位线， ， ， ∵ ∴ ∵ ， ， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， 故 ③正确； ， ， ， 故④正确， 正确的有②③④，共3个 故选：C． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）如图，在矩形中，，，分别交、于点、，在上任取两点、，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是矩形的性质、三角形的面积公式，用矩形的面积减去和的面积求解即可．将阴影部分的面积转化为求解是解题的关键． 解：四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， 是三角形中上的高，是三角形中边上的高， ． 故答案为：6． 12．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键． 根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 解：∵四边形是矩形，顶点，且轴， ∴， ∴点到点之间的整点有， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 13．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．    【答案】 【分析】取的中点，连接，并延长交于点，交于点，根据三角形中位线定理得出，，，，证明四边形是矩形，再根据勾股定理求解即可． 解：如图，取的中点，连接，并延长交于点，交于点，   ，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据三角形中位线的性质和已知条件得到是解答本题的关键． 14．（21-22八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，，，，点位于边上，过点作边的平行线交边于点，过点作边的平行线交边于点，设，四边形的面积为，则关于的函数关系式是 ．（不必写定义域） 【答案】 【分析】连接CD，先证四边形是平行四边形，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得四边形是矩形，设DE=a，利用面积法可用x表示出a，根据矩形面积公式即可得答案． 解：如图，连接CD， ∵DE//BC，DF//AC， 四边形是平行四边形， 在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形是矩形， ∴CE=DF，CF=DE 设DE=a，，则CE=DF=6-x， ∵S△ABC=S△ADC+S△BDC， ∴， ∴， 解得：， ∵四边形的面积为， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、求函数关系式等知识点，灵活运用勾股定理逆定理得出四边形CEDF是矩形是解答本题的关键． 15．（24-25八年级下·河南安阳·期中）矩形中，，对角线，交于点，点是边的三等分点，连接，点是的中点，连接，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，勾股定理，分和两种情况，结合三角形的中位线定理，斜边上的中线，勾股定理，进行求解即可． 解：当时，如图： ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴； 当时，则：； 同理：，， ∴； 故答案为：或 16．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 12 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 解：解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，过点A作，使，连接，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作，交于，交延长线于，连接，取中点，连接，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得出，利用可证明，得出，即可证明四边形是平行四边形，可得，，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据等腰三角形的性质，结合可得，即可得出，设，在和中，利用勾股定理列方程，求出的值即可得答案． 解：如图，过点作，交于，交延长线于，连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵为中点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：，即． 故答案为： 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 18．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，进而得到，，推出，根据，求出点的坐标即可． 解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·山东烟台·中考真题）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： （1）利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 【答案】（1）作图见分析；（2） 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）如图，证明，，，，可得，证明，设，则，可得，再解方程即可． 解：（1）解：如图，即为所求作的三角形； 由作图可得：，，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：； ∴． 【点拨】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练的作图是解本题的关键． 20．（本小题满分8分）（2025年山东省聊城市东昌教育集团等学校中考数学三模试题）如图，在矩形中，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交边于点E，连接，作于点F． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据矩形的性质得到，，，通过证明得到，则有，进而证出，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）利用勾股定理求出的长，利用线段的和差求出的长，利用三角形的面积公式求出，再根据，即可求出四边形的面积． 解：（1）证明：如图，连接， 矩形， ，，， ， ， ， ， 由题意得，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：矩形， ，， 由题意得，， ， ， ， 由（1）得，， ， 四边形的面积． 21．（本小题满分10分）（2025年云南省中考数学真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）10 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． （1）直接写出点A的坐标； （2）在轴上是否存在点，使最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； （3）如图2所示，若点C为x轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，D点在第四象限，连接，求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点A作于M，则可得到，据此可得答案； （2）作点A关于y轴的对称点G，连接，则， 由轴对称的性质可得，可证明当B、P、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案； （3）设，则，分三种情况讨论如下：①当点C在线段上时，过点D作轴于E，证和全等得，，据此可证为等腰直角三角形，则，由此可得的度数； ②当点C与点M重合时，此时点D与点C重合，不存在， ③当点C在的延长线上时，过点D作轴于N，同理可证和全等得，，进而再证为等腰直角三角形得，由此可得的度数，综上所述即可得的度数． 解：（1）解：如图所示，过点A作于M， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点G，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当B、P、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）解；∵点C为x轴正半轴上一动点， ∴可设，则， 由（1）可知：，， 分三种情况讨论如下： ①当点C在线段上时，过点D作轴于E，如图2所示： 此时， ∵为等腰直角三角形，且， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则， 又∵， ∴； ②当点C与点M重合时，则， 此时点D与点C重合，不存在， ③当点C在的延长线上时，过点D作轴于N，如图3所示： 此时， 同理可证， ∴，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴． 综上所述：当点D不与点M重合时，的度数为． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）；（2）①见分析；②见分析，这个定值为1 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，根据翻转变换的性质得到是解题的关键． （1）根据折叠性质可得，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）由可得，由折叠可得，由此证明； 作，容易证明，得，，进而可得；可得，，由在中，，可得，对等式变形即可得出结论． 解：（1）∵正方形的边长为， ∴，， 设，则， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为； （2）①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②作， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 的值为定值，这个定值是1. 24．（本小题满分12分）（2025·贵州安顺·一模）综合与探究 如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到． 【操作判断】 （）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______． 【问题探究】 （）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）当点与点都不重合时，若，，求的长． 【答案】（）平行四边形；（），证明见分析；（） 【分析】（）由旋转可得，，进而可得，，即可求解； （）证明四边形是矩形即可求证； （）分点在点右侧和左侧两种情况，分别画出图形解答即可求解． 解：（）解：如图， 由旋转得，，， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点在点右侧时，如图， 由（）可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 综上，的长为． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的 性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的 判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$