专题1.2（2） 矩形的性质与判定（专项练习）（夯实基础）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.2（2） 矩形的性质与判定（专项练习）（夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·四川泸州·中考真题）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 2．（2024·河南南阳·二模）如图，将一个装有水的矩形量杯如图放置，使得杯内水面刚好经过点，若 ，则水杯底面与水平面夹角的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西吕梁·二模）下列各选项的图形中与不一定相等的是（    ） A． B．四边形为平行四边形 C．四边形为矩形，对角线交于点 D．在中，是边上的中线 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 7．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，相交于点，过点作，，，．记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在平行四边形中，，．平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．1 10．（2025·甘肃·模拟预测）如图1，在矩形中，，E为的中点，连接，，动点P从点B出发，沿折线匀速运动至点B后停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示．当时，的长为（   ） A． B． C． D．4 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 ． 12．（2023·上海黄浦·一模）在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是 ．（不必写定义域） 13．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．    14．（2025·浙江金华·三模）如图，将左边矩形纸片沿虚线剪开并拼接成了右边正方形，则 ．    15．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，点、分别是、的中点，于点，则线段的长为 ． 16．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 17．（2025·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，P是边上一点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为E．再作点B关于直线的对称点F，连接．完成下列探究： （1）当点F与点D重合时， ； （2）若，当点F恰好落在边上时，线段的长为 ． 18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）当，，求的长． 20．（本小题满分8分）（2025八年级下·广东·专题练习）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，O为边的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是矩形；（2）若，则的长是 ． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 探究任务：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 探究过程 （1）分析命题写出已知，求证，画出图形； 已知：如图1，在三角形中，为中线， ． 求证： ． 任务一：请把上面横线中的内容补充完整； 任务二：请根据图1写出证明过程； （2）证明： 拓展应用 （3）在图1的基础上，将沿着折叠得到，连接，若四边形是菱形，，请求出的面积． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·江西九江·期中）综合与实践 如图，在等腰中，，点D，E分别在边，上，，M，N分别为，的中点． 观察猜想 （1）如图1，线段与的数量关系是_____，位置关系是_________． 探究证明 （2）将图1中的绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由． 模型应用 （3）将图1中的绕点A逆时针旋转，当M，D，N三点恰好共线时，若点D恰好是的中点，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2（2） 矩形的性质与判定（专项练习）（夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·四川泸州·中考真题）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·河南南阳·二模）如图，将一个装有水的矩形量杯如图放置，使得杯内水面刚好经过点，若 ，则水杯底面与水平面夹角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，平行公理，平角的定义，掌握平行线的性质及矩形的性质是解题的关键．根据平行公理得到，再利用平行线的性质得到，最后利用矩形的性质及平行线的性质即可解答． 解：过点作， ∵是水平面， ∴， ∴， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选．    3．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 4．（2025·山西吕梁·二模）下列各选项的图形中与不一定相等的是（    ） A． B．四边形为平行四边形 C．四边形为矩形，对角线交于点 D．在中，是边上的中线 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，根据知识点对个选项判断即可． 解：A、根据两直线平行，同位角相等，可得，故不符合题意； B、四边形为平行四边形，则， ∴， ∴，故不符合题意； C、四边形为矩形，则， ∴，故不符合题意； D、在中，是边上的中线，则，不一定相等，故符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．连接交于O，先根据矩形的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，，再根据三角形的外角性质求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 解：如图，连接交于O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 6．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，线段的垂直平分线的基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线，设，则，根据勾股定理列式解答即可． 解：根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线， 故， 矩形，，， 得，， 设， 则， 由勾股定理，得， 解得． 故选：B． 7．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，相交于点，过点作，，，．记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理和矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．过作交的延长线于，根据平行四边形的性质得到，，，，求得，，得到，根据勾股定理得到，求得，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 解：过作交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积， ∴， ∴，即． 故选：B． 8．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 解：∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在平行四边形中，，．平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出，，再证明为直角三角形，为中线，进而解答即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵点P为线段的中点， ∴是的斜边的中线， ∴， 故选：D． 10．（2025·甘肃·模拟预测）如图1，在矩形中，，E为的中点，连接，，动点P从点B出发，沿折线匀速运动至点B后停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示．当时，的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、从函数图象获取信息、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由图象可知，得出，根据矩形的性质和勾股定理求出，再利用等面积法即可求解． 解：由图象可知， ， 矩形， ，， E为的中点， ， ， ， 是的高， ． 故选：C． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 ． 【答案】对角线相等的平行四边形为矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可． 解：依题意，∵两组对边分别相等， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 则只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 12．（2023·上海黄浦·一模）在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是 ．（不必写定义域） 【答案】 【分析】根据几何关系先把矩形的另一边用x表示出来，再利用矩形面积公式得到y与x的表达式． 解：如图所示，由题意，,， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 由矩形可知，， ∴， ∴， ∴矩形面积为， 故答案为∶． 【点拨】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的性质． 13．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．    【答案】 【分析】当直线经过的中点时，直线把矩形的面积等分，求出的中点，代入直线的解析式求出即可． 解：．， ，， 中点的坐标为， ∵直线把矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过的中点， 把代入得，， 解得． 答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握中点坐标的求法． 14．（2025·浙江金华·三模）如图，将左边矩形纸片沿虚线剪开并拼接成了右边正方形，则 ．    【答案】5 【分析】本题考查矩形与折叠，设四个直角三角形的两条直角边的长为，根据折叠的性质，结合正方形的性质，推出，再根据，进行求解即可． 解：由图可知，大正方形由4个全等直角三角形和一个小正方形构成，小正方形的边长等于矩形纸片中的长，直角三角形的短直角边也等于矩形纸片中的长，设四个直角三角形的两条直角边的长为， 则：小正方形的边长， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：5． 15．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，点、分别是、的中点，于点，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 利用三角形中位线定理得出，利用直角三角形斜边中线定理得出，即可得出结果． 解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 在中，点是的中点，， 则， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 17．（2025·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，P是边上一点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为E．再作点B关于直线的对称点F，连接．完成下列探究： （1）当点F与点D重合时， ； （2）若，当点F恰好落在边上时，线段的长为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，当点F与点D重合时，可得，即可求出；当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答．熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 解：（1）如图， 当点F与点D重合时，由翻折可得， ∵F为点B关于直线的对称点， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴； （2）当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知， 由矩形的性质知，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，即AP的长为． 故答案为：；． 18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 ． 【答案】 【分析】如图，过A作于Q，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 解：如图，过A作于Q，， ∴， ∴， 由旋转可得：，则， ∵，M为的中点， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）当，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定，掌握矩形的性质以及勾股定理是解决问题的关键． （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）依据菱形的性质以及矩形的性质，即可得到的长，再根据勾股定理即可得到的长． 解：（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 20．（本小题满分8分）（2025八年级下·广东·专题练习）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）首先证明，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分，， ∴， ∴，， 在中，， 在中， 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，O为边的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，则的长是 ． 【答案】（1）见分析；（2）1 【分析】（1）证明，得，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再证明是等边三角形，得，然后由等边三角形的性质得，则，即可得出结论． 解：（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·山西吕梁·期中）综合与探究 探究任务：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 探究过程 （1）分析命题写出已知，求证，画出图形； 已知：如图1，在三角形中，为中线， ． 求证： ． 任务一：请把上面横线中的内容补充完整； 任务二：请根据图1写出证明过程； （2）证明： 拓展应用 （3）在图1的基础上，将沿着折叠得到，连接，若四边形是菱形，，请求出的面积． 【答案】（1），是直角三角形；（2）证明见分析；（3） 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定以及勾股定理，菱形的性质、等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆运用，进行作答即可； （2）根据等边对等角以及三角形内角和进行列式，得出即可作答． （3）先由菱形的性质以及折叠性质得出，然后证明是等边三角形，结合勾股定理进行列式，得出，即可作答． 解：（1）依题意， 如图1，在三角形中，为中线，． 求证：是直角三角形． 故答案为：，是直角三角形； （2）证明：∵是中线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴， ∴ 是直角三角形， （3）∵四边形是菱形 ∴， 由折叠可知： ∴， 由（2）可知： ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴ 在中， ， ∴． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）四边形是矩形，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定． （1）先证明，得到，即可推出四边形是平行四边形； （2）利用三角形中位线定理求得，推出，即可判断四边形是矩形． 解：（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形． 理由如下： ∵是的中点， ∴当点是边的中点时，是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·江西九江·期中）综合与实践 如图，在等腰中，，点D，E分别在边，上，，M，N分别为，的中点． 观察猜想 （1）如图1，线段与的数量关系是_____，位置关系是_________． 探究证明 （2）将图1中的绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由． 模型应用 （3）将图1中的绕点A逆时针旋转，当M，D，N三点恰好共线时，若点D恰好是的中点，求的值． 【答案】（1）；；（2）为等腰直角三角形，理由见分析；（3） 【分析】（1）根据，，得出，根据中点定义得出，，即，根据线段间数量关系得出，再根据垂线定义得出即可； （2）先证明，得出，，再证明，得出，即可得出答案； （3）根据等腰直角三角形的性质得出，，根据点M为的中点，得出，设，则，根据勾股定理求出，最后求出比值即可． 解：（1）解：∵，， ∴，即， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）根据解析（2）可知：为等腰直角三角形， ∵点D为的中点， ∴，， ∵点M为的中点， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$