专题1.2（1） 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.2（1） 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳】 【知识点1】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点3】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【知识点4】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【要点说明】 （1） 直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形 对一般三角形不可使用. （2） 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【考点一】矩形的性质 【题型一】矩形性质的理解................................................2 【题型二】利用矩形的性质求角度..........................................4 【题型三】根据矩形的性质求线段长........................................6 【题型四】根据矩形的性质求面积..........................................8 【题型五】利用矩形的性质证明...........................................11 【题型六】斜边的中线等于斜边的一半.....................................14 【考点二】矩形的判定 【题型七】矩形的判定定理理解...........................................17 【题型八】证明四边形是矩形.............................................18 【题型九】添一条件使四边形是矩形.......................................21 【考点三】矩形的性质与判定 【题型十】根据矩形的性质与判定求角度...................................23 【题型十一】根据矩形的性质与判定求线段长...............................25 【题型十二】根据矩形的性质与判定求面积.................................29 【拓展延伸】 【题型十三】矩形性质与判定与折叠变换...................................32 【题型十四】矩形性质与判定与旋转变换...................................36 【题型十五】矩形性质与判定与动点问题...................................42 【题型十六】矩形性质与判定与探究性问题.................................47 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【考点一】矩形的性质 【题型一】矩形性质的理解 ★【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下面性质中，矩形不一定具有的是（   ）． A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质逐项判断即可． 解：A、矩形的对角线平分、相等，故A正确，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，故B正确，不符合题意； C、矩形是轴对称图形，故C正确，不符合题意； D、矩形对角线相等，不一定互相垂直，故D错误，符合题意． 故选D． ★【变式1】（2025·江苏无锡·二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，掌握其性质是关键． 根据矩形，菱形的性质判定即可求解． 解：矩形的对角线相互平分，对角线相等， 菱形的对角线相互平分，互相垂直，平分对角， ∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：B ． ★【变式2】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）下列性质中矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．每条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，根据矩形和平行四边形的性质解题即可． 解：A、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，不符合题意； B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，符合题意； C、矩形和平行四边形的对角线都不一定互相垂直，不符合题意； D、矩形和平行四边形的一条对角线都不一定平分一组对角，不符合题意； 故选：B． 【题型二】利用矩形的性质求角度 ★【例题2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． ★【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则 ． 【答案】/22度 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．利用基本作图得到由垂直平分，所以，则利用互余可计算出，设与相交于点，如图，根据矩形的性质得到，所以，然后计算即可． 解：由作法得垂直平分， ， ∵， ， 设与相交于点，如图， 四边形为矩形， ， ∴， ． 故答案为：． ★【变式2】（2024·广东梅州·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，C、D在同一直线上，，现将调整为，保持不变，则图中应为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了三角形外角的性质，矩形的性质，角度的计算，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形外角的性质，得到，再结合，即可求出的度数． 解：∵，°， ∴， ∵行李箱的侧面可看成一个矩形， ∴， ∴． 故答案为：50． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 ★【例题3】（2025·广东汕头·一模）已知矩形的两边长分别为6，8，那么该矩形的对角线的长为（    ） A．11 B．10 C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．根据矩形的性质和勾股定理即可求解． 解：由题意得，该矩形的对角线的长． 故选：B． ★【变式1】（2025·广东佛山·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，得到，进而得到． 解：四边形是矩形， ，，， ， ∵ 设，则 ∴ ∴ ∴ ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． ★【变式2】（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，且，点F为的中点，则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，取中点O，连接，，根据矩形的性质可求，的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，有最大值，即． 解：如图，取中点O，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点F是中点，点O是的中点， ∴，， ∴， ∵点O是的斜边的中点， ∴， ∵根据三角形三边关系可得：， ∴当点O，点E，点F共线时，最大值为． 故答案为：9． 【题型四】根据矩形的性质求面积 ★【例题4】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，，点、、分别是各边的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，，即得四边形是平行四边形，进而即可求证； （）由三角形中位线的性质可得，，进而根据矩形的性质可求出面积； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 解：（1）解：∵点、、分别是各边的中点， 、是的中位线， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； （2）解：∵、是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 故答案为：． ★【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，O为对角线交点，的平分线交于点F，交于点E，，，则的面积为（    ） A．2 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识．根据矩形的性质证明是等边三角形得到，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求得，，进而求解即可． 解：在矩形中，是的平分线，，，， ， ，， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由，，得出，求出，再利用矩形的性质得出，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五】利用矩形的性质证明 ★【例题5】（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，在矩形中，点在边上，平分交边于点，，延长交于点F，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定，掌握以上知识是关键． 根据矩形的性质，结合题意得到，由角平分线的定义，平行线的性质得到，，，四边形是平行四边形，，根据菱形的判定即可求解． 解：证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． ★【变式1】（2025·山东东营·三模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，先判断是平行四边形，然后根据矩形和平行四边形的性质逐项判断解答即可． 解：∵是矩形， ∴，，， 又∵， ∴是平行四边形， ∴，， 故B、C、D选项不符合题意， 故选：A． ★【变式2】．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是 ．（填写序号） 【答案】② 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（、和）即可得． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 当选择①时， 在和中， ， ∴； 当选择②时，不能判定； 当选择③时， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴； 当选择④时， 在和中， ， ∴； 综上，添加条件后，仍然不能判定的是②， 故答案为：②． 【题型六】斜边的中线等于斜边的一半 ★【例题6】（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理、斜边中线定理等知识点，解决此题的关键是熟练掌握此类知识点并能灵活运用． （1）根据题目条件先证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质对边平行，即可得到答案； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半算出长度，再根据勾股定理即可解决问题． 解：（1）解：∵， ∴． ∵E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，D是的中点， ∴， ∴在中，根据勾股定理得． ★【变式1】（2025年浙江省宁波市九年级三模数学试卷）如图，在中，，为的中点，若为上一点，使得，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握直角三角形的性质，三角形的外角性质是解题的关键，由直角三角形的性质得，进而得，利用三角形的外角性质及得，，再利用勾股定理即可得解． 解：在中，，为的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 故答案为： ★【变式2】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接． （1）求的度数； （2）取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了三角形的中位线的性质，勾股定理，平行线的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质． （1）先由三角形中位线可得，则可求出，最后利用角度和差即可求解； （2）由直角三角形斜边中线的性质得出，再由勾股定理即求出，再利用中位线的性质即可求解． 解：（1）解：∵，分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵，分别是，的中点， ∴． 【考点二】矩形的判定 【题型七】矩形的判定定理理解 ★【例题7】（24-25九年级下·重庆巴南·期中）满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．利用矩形的判定定理进行判断即可． 解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； D. 四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； 故选：B． ★【变式1】（24-25九年级下·江苏南京·期中）能够判定一个四边形是矩形的条件为（   ） A．四条边都相等 B．对角线互相平分 C．四个角都相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定，根据以上判定定理逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键． 解：、四条边都相等的四边形是菱形，该选项不合题意； 、对角线互相平分的四边形是平行四边，该选项不合题意； 、四个角都相等的四边形是矩形，该选项符合题意； 、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，该选项不合题意； 故选：． ★【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 【题型八】证明四边形是矩形 ★【例题8】（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，，，且． （1）求证：； （2）若，判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）矩形，见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，矩形的判定，等边对等角等等，熟知全等三角形的性质与判定定理，矩形的判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，则．进而可证明，则平行四边形是矩形． 解：（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：四边形为矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． ★【变式1】（24-25八年级下·吉林延边·期中）如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形” ． 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解． 解：， ∴ 当时，为矩形， ， 故答案为：． ★【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）四边形中，对角线，相交于点O，给出下列三组条件：①，；②；③，；其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 ．（填写所有正确条件的序号） 【答案】②③/③② 【分析】此题主要考查了矩形的判定方法直角三角形的性质．根据题意画出示意图，根据矩形的判定方法分别判断得出即可． 解：①如图， ，，四边形可能是等腰梯形，故①不能判定这个四边形是矩形； ②如图， ， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形；故②能判定这个四边形是矩形； ③如图，取中点M，连接，则 ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴重合， ∴四边形是矩形（对角线相等且平分）；故③能判定这个四边形是矩形； 故答案为：②③． 【题型九】添一条件使四边形是矩形 ★【例题9】（2025·青海西宁·二模）如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． （1）求证：； （2）若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质，推出，进而得到，再结合已知，利用即可证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质推出，结合，求出，，进而求出，即可得到的度数． 解：（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∵，共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． ★【变式1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．根据对角线相等的平行四边形是矩形或者有一个直角的平行四边形是矩形进行逐项分析，即可作答． 解：A、∵四边形是平行四边形，添加，则，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，添加，则四边形是菱形，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，添加，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，添加，则四边形是矩形，故该选项符合题意； 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论． 解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【考点三】矩形的性质与判定 【题型十】根据矩形的性质与判定求角度 ★【例题10】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识. 首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题. 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ★【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． ★【变式2】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点拨】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【题型十一】根据矩形的性质与判定求线段长 ★【例题11】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设． （1）用含x的代数式表示的长； （2）请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ 【答案】（1）；（2）的最小值是10 【分析】本题考查轴对称——最短路线问题和勾股定理，解题的关键是掌握轴对称——最短路线问题和勾股定理． （1）根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案； （2）根据两点之间线段最短，可得线段的最小值为的长，根据勾股定理，可得答案． 解：（1）解：∵， ∴都是直角三角形， ∵，， ∴， 在中， ∴， ， ∴； （2）解：当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过A作交的延长线于F， ∴， ， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值是10． ★【变式1】（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，取的中点，过点作于点，连接，先利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，再利用矩形的判定证明是矩形，得出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，取的中点，过点作于点，连接， ∵，，点为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴    ， ∵， ∴， ∵点是的中点，点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：． ★★【变式2】（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在矩形中，，，E为的中点，点P从点A出发沿运动，连接，，，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或3或 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，勾股定理，矩形的性质等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．当为直角三角形时，有三种情况能组成直角三角形，画出对应的示意图，根据勾股定理和矩形的性质即可解答． 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 当为直角三角形时，分以下三种情况： ①如图1，点P在上，， 在矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ②如图2，点P与点C重合，，此时； ③如图3，点P在上，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 综上，当为直角三角形时，的长为4或3或． 故答案为：4或3或． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求面积 ★【例题12】（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）80 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证； （2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积是：． ★【变式1】（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 过点，作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． ★【变式2】（2025·江苏徐州·一模）如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积． 解：∵是的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 【拓展延伸】 【题型十三】矩形性质与判定与折叠变换 ★★【例题13】（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在长方形中，E是边上一点（不与点A，D重合），将长方形沿折叠后点A落在点F处，的平分线交直线于点M，交的延长线于点G，的平分线交直线于点N，交于点O． （1）求的度数． （2）是否存在是等腰三角形？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【分析】本题考查了矩形与折叠，角平分线性质，等腰三角形的性质等知识，注意分类讨论． （1）由折叠的性质得，由平分，得到，从而有；同理得；再由三角形内角和即可求解； （2）分三种情况考虑：当时；当时；当时．利用等腰三角形的性质即可求解． 解：（1）解：由折叠得，    平分， ∴，     ∵， 同理，， ； （2）解：存在．理由如下： 当时，， 所以在中，， 所以． 当时，，不合题意； 当时，，不合题意． 综上，当时，是等腰三角形． ★★【变式1】（2025·四川内江·模拟预测）如图，在长方形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，则的长为（ ） A．3.8 B．3.6 C．3.5 D．3.4 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，利用等积法求出的长是解题的关键．连接交于点，根据翻折的性质知，垂直平分，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案． 解：连接交于点， 如图， 由折叠的性质可得，垂直平分，即， ， 为的中点， ， ∴在中，， ， ，即 ， 解得 ， ∵垂直平分， ， ， ， ， ∴在中，， 故选： B． ★★【变式2】（2025·黑龙江·二模）在矩形中，，E是的中点，点M在线段上，点N在直线上，将沿折叠，使点A与点E重合，连接．当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，根据题意，可分成三种情况进行分析，①当点N在的延长线上时；②当点N在线段上时，③当点N在线段的延长线上，三种情况讨论求解即可． 解：根据题意，在矩形中，， ∵点是的中点， ∴， ①当点N在AB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥AB于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形，    ∴，， 由折叠的性质可得， ∵， ∴在中，由勾股定理得； ∴； ②当点N在线段上时，过点E作于G，    同理得，， 在中，由勾股定理，得； ∴； ③当点N在延长线上时，将沿折叠，点A与点E不可能重合，此种情形不存在； 综合上述，的长为或； 故答案为：或． 【题型十四】矩形性质与判定与旋转变换 ★★【例题14】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知：在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接交于点H． （1）如图1，连接，求证：平分； （2）如图2，连接，若平分，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）由旋转的性质可得，由等边对等角可得，由矩形的性质可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，于是结论得证； （2）连接，过点作于点，由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，，，利用可证得，于是可得，，利用又可证得，于是可得，利用等式的性质可得，设，， 则，，，根据勾股定理可得，即，整理可得，于是结论得证． 解：（1）证明：如图，连接， 由旋转的性质可得：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （2）解：，理由如下： 如图，连接，过点作于点， 则， 由旋转的性质可得：，，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， 由（1）可得：平分， ， 在和中， ， ， ，， ，平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 设，， 则， ， ， ， 根据勾股定理可得： ， 即：， 整理，得：， ． 【点拨】本题考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理等知识点，熟练在掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． ★★【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知， ，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，结合矩形性质，等腰三角形性质，勾股定理推出点C的坐标，将绕点逆时针旋转得到，结合全等三角形性质和判定，得到第1次旋转点C的坐标，同理得到，第2、3、4、5次旋转后点C的坐标，找出坐标规律，根据规律求解，即可解题． 解：过点作轴于点， ⸪， ， ⸪四边形为矩形， ， ， ， ， ， ⸪ ， ， 解得，即有， ， ， 第1次旋转：将绕点逆时针旋转得到， 过点作轴于点， ， ，， ， ， ， 同理可得，第2次旋转后点C的坐标是， 第3次旋转后点C的坐标是， 第4次旋转后点C的坐标是， 第5次旋转后点C的坐标是， 依次类推，点C的坐标每旋转4次为一个循环， ⸪， 第2026次旋转结束时，点C的坐标是， 故选：C． 【点拨】本题考查了坐标系下图形的旋转，点的规律探究，勾股定理，等角对等边，全等三角形的判定及性质．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． ★★【变式2】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质以及勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于且与的距离为1的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 解：过点作，交、于、，过点作垂足为， 四边形是矩形， ， ， 四边形和是矩形， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， 点在平行于，且与的距离为1的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ，， ， 故答案为：． 【题型十五】矩形性质与判定与动点问题 ★★【例题15】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中有矩形，，． （1）如图1，矩形的顶点的坐标是________； （2）如图2，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，交轴于点．点是对角线上一动点，求的最小值： （3）点为轴负半轴上一动点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点坐标________． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质，折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用矩形的性质和含有角的直角三角形求出即可得解； （2）过点作轴于点，作轴于点，在中，得出，则在中，,，得出，过点作于点，并延长交于点，连接，根据折叠可得，，，，进而得出，当且仅当点三点共线时，取得等于号，在中，勾股定理求得，即可求解． （3）分类讨论，画出图形求解即可． 解：（1）解：如图，设与轴交于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （2）由矩形的性质可得，， ∴, 过点作轴于点，作轴于点， 在中，， ∴ ∴ 在中，,， ∴ 过点作于点，并延长交于点，连接， 由折叠可得， ∴ ∴，， ∴ ∴，当且仅当点三点共线时，取得等于号， 在中，， ∴ 即的最小值为 （3）①若、为边，为对角线， 则作的垂直平分线交轴负半轴于，即第（）问的点， ，即第（）问的点； ②若、为边，为对角线， ∵，则 ∴ ∴, ∴, 则以为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点 将点沿方向平移即向下平移个单位，向左平移个单位得到， ③若、为边，为对角线， ∵，， ∴， ∴ 则以为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点 将按方向平移，即向右平移个单位向上平移个单位得到， ∴ 综上所述，点坐标为或或 ★★【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，矩形中，为其对角线，一动点P从D出发，沿着的路径行进，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，为y，y与x的函数图像如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形的性质和勾股定理列方程求解． 解：由图象得∶当点P运动到点C时， ， ． 当时，点P在上，此时， ， 在矩形中， 设，则，． 在中， ， 即∶， 解得∶． ， 故选∶B． ★★【变式2】（2025·河南漯河·二模）如图，矩形中，是边的中点，是边上的动点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握通过作轴对称求线段最短问题，作出点A关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小，运动过程中，当点F移动到点C时，的值最大，再据此求解即可． 解：作出点A关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小， 由轴对称的性质可得：， 矩形中，是边的中点， ，， ， 的最小值， 如图，动过程中，当点F移动到点C时，的值最大， 即的最大值为， 故答案为：13，． 【题型十六】矩形性质与判定与探究性问题 ★★【例题16】（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在中，，，，是的角平分线． 初步分析：（1）求线段的长； 深入探究：（2）如图2，将从图1的位置开始沿方向平移得到，当点的对应点落在边上，求平移的距离； 拓展延伸：（3）将从图1的位置开始绕点顺时针旋转，得到（点，的对应点分别是点，），旋转角为．在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使点到，两点的距离相等？若存在，请直接写出此时点到直线的距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1）的长为；（2）平移的距离为；（3）存在点到，两点距离相等的点的时刻，点到直线的距离为或 【分析】（1）过点作于点，利用勾股定理，求出的值，利用角平分线的性质，得，设，通过构建一元一次方程，解方程即可求解； （2）连接，利用平移的性质推得、，设，根据构建一元一次方程，解方程，即可求解． （3）存在点到，两点距离相等的点的时刻，需分类讨论：当绕点顺时针旋转，得到，过点作于点，过点作于点，①通过等腰三角形的性质“三线合一”得，利用矩形的性质，推得，结合勾股定理求出的值，通过即可求解；②同理可得第二种情况的，通过即可求解． 解：（1）如图，过点作于点， 在中，，且，， ， 是的角平分线，且，， ， ， 设，则， ，， ，解得：． ． （2）如图，连接， 沿方向平移得到， 根据平移的性质，得：，， ， ， 由（1）得：，，且， 设，， ， ， ，解得：． 平移的距离为． （3）存在点到，两点距离相等的点的时刻，理由如下： ①如图，当绕点顺时针旋转，得到， 过点作于点，过点作于点， 由（2）得：，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 绕点顺时针旋转，得到， ， 在中，， ， ； ②如图，当绕点顺时针旋转，得到， 过点作于点，过点作于点， 由（2）得：，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 绕点顺时针旋转，得到， ， 在中，， ， ． 综上所述，存在点到，两点距离相等的点的时刻，点到直线的距离为或． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，解一元一次方程，平移的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，理解题意、分类讨论是解题关键． ★★【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在数学活动课上，小雨同学的数学活动报告单部分信息如下表，根据表中信息可知小雨同学所得的结论中正确的个数是（   ） 主题 矩形纸片折叠后相关结论探究 方案 如图，沿折痕折叠纸片，使点恰好落在边上的点，点的对应点为点． 结论 （）；（）；（）为等腰三角形；（）若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形的性质和折叠的性质可判断（）（），再由平行线的性质和等腰三角形的判定可判断（），设，，由勾股定理和线段和差可判断（）． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 由折叠性质可知，，，，，，故（）正确； ∴，，故（）正确； ∴， ∴为等腰三角形，故（）正确； 由， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 综上可知：（）（）（）（）正确，共个， 故选：． ★★【变式2】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：分别以点B，C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点O，连接；将沿翻折，点B的对应点落在点P处，作射线交于点Q，在矩形中，，，则线段的长为 ． 【答案】 解：本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可． ∴，， 由作图知， 由翻折的性质知，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2（1） 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳】 【知识点1】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点3】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【知识点4】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【要点说明】 （1） 直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形 对一般三角形不可使用. （2） 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【考点一】矩形的性质 【题型一】矩形性质的理解................................................2 【题型二】利用矩形的性质求角度..........................................3 【题型三】根据矩形的性质求线段长........................................4 【题型四】根据矩形的性质求面积..........................................4 【题型五】利用矩形的性质证明............................................5 【题型六】斜边的中线等于斜边的一半......................................6 【考点二】矩形的判定 【题型七】矩形的判定定理理解............................................7 【题型八】证明四边形是矩形..............................................7 【题型九】添一条件使四边形是矩形........................................8 【考点三】矩形的性质与判定 【题型十】根据矩形的性质与判定求角度....................................9 【题型十一】根据矩形的性质与判定求线段长................................9 【题型十二】根据矩形的性质与判定求面积.................................10 【拓展延伸】 【题型十三】矩形性质与判定与折叠变换...................................11 【题型十四】矩形性质与判定与旋转变换...................................12 【题型十五】矩形性质与判定与动点问题...................................13 【题型十六】矩形性质与判定与探究性问题.................................14 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【考点一】矩形的性质 ★【题型一】矩形性质的理解 【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下面性质中，矩形不一定具有的是（   ）． A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直 ★【变式1】（2025·江苏无锡·二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 ★【变式2】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）下列性质中矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．每条对角线平分一组对角 【题型二】利用矩形的性质求角度 ★【例题2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． ★【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则 ． ★【变式2】（2024·广东梅州·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，C、D在同一直线上，，现将调整为，保持不变，则图中应为 ． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 ★【例题3】（2025·广东汕头·一模）已知矩形的两边长分别为6，8，那么该矩形的对角线的长为（    ） A．11 B．10 C．7 D． ★【变式1】（2025·广东佛山·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C． D．9 ★【变式2】（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，且，点F为的中点，则的最大值为 ． 【题型四】根据矩形的性质求面积 ★【例题4】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，，点、、分别是各边的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则四边形的面积为__________． ★【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，O为对角线交点，的平分线交于点F，交于点E，，，则的面积为（    ） A．2 B． C．2 D． ★【变式2】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 【题型五】利用矩形的性质证明 ★【例题5】（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，在矩形中，点在边上，平分交边于点，，延长交于点F，连接．求证：四边形是菱形． ★【变式1】（2025·山东东营·三模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． ★【变式2】．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是 ．（填写序号） 【题型六】斜边的中线等于斜边的一半 ★【例题6】（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的长． ★【变式1】（2025年浙江省宁波市九年级三模数学试卷）如图，在中，，为的中点，若为上一点，使得，且，则 ． ★【变式2】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接． （1）求的度数； （2）取的中点，连接．若，，求的长． 【考点二】矩形的判定 【题型七】矩形的判定定理理解 ★【例题7】（24-25九年级下·重庆巴南·期中）满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 ★【变式1】（24-25九年级下·江苏南京·期中）能够判定一个四边形是矩形的条件为（   ） A．四条边都相等 B．对角线互相平分 C．四个角都相等 D．对角线互相垂直 ★【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） ★【题型八】证明四边形是矩形 ★【例题8】（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，，，且． （1）求证：；（2）若，判定四边形的形状，并说明理由． ★【变式1】（24-25八年级下·吉林延边·期中）如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为 ． ★【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）四边形中，对角线，相交于点O，给出下列三组条件：①，；②；③，；其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 ．（填写所有正确条件的序号） 【题型九】添一条件使四边形是矩形 ★【例题9】（2025·青海西宁·二模）如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． （1）求证：； （2）若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． ★【变式1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【考点三】矩形的性质与判定 ★【题型十】根据矩形的性质与判定求角度 【例题10】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． ★【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． ★【变式2】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【题型十一】根据矩形的性质与判定求线段长 【例题11】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设． （1）用含x的代数式表示的长； （2）请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ ★【变式1】（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．若，则的长是（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在矩形中，，，E为的中点，点P从点A出发沿运动，连接，，，当为直角三角形时，的长为 ． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求面积 ★【例题12】（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． ★【变式1】（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 ★【变式2】（2025·江苏徐州·一模）如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 【拓展延伸】 【题型十三】矩形性质与判定与折叠变换 ★★【例题13】（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在长方形中，E是边上一点（不与点A，D重合），将长方形沿折叠后点A落在点F处，的平分线交直线于点M，交的延长线于点G，的平分线交直线于点N，交于点O． （1）求的度数． （2）是否存在是等腰三角形？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． ★★【变式1】（2025·四川内江·模拟预测）如图，在长方形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，则的长为（ ） A．3.8 B．3.6 C．3.5 D．3.4 ★★【变式2】（2025·黑龙江·二模）在矩形中，，E是的中点，点M在线段上，点N在直线上，将沿折叠，使点A与点E重合，连接．当时，的长为 ． 【题型十四】矩形性质与判定与旋转变换 ★★【例题14】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知：在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接交于点H． （1）如图1，连接，求证：平分； （2）如图2，连接，若平分，判断与之间的数量关系，并说明理由． ★★【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知， ，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． ★★【变式2】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 【题型十五】矩形性质与判定与动点问题 ★★【例题15】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中有矩形，，． （1）如图1，矩形的顶点的坐标是________； （2）如图2，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，交轴于点．点是对角线上一动点，求的最小值： （3）点为轴负半轴上一动点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点坐标________． ★★【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，矩形中，为其对角线，一动点P从D出发，沿着的路径行进，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，为y，y与x的函数图像如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． ★★【变式2】（2025·河南漯河·二模）如图，矩形中，是边的中点，是边上的动点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【题型十六】矩形性质与判定与探究性问题 ★★【例题16】（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在中，，，，是的角平分线． 初步分析：（1）求线段的长； 深入探究：（2）如图2，将从图1的位置开始沿方向平移得到，当点的对应点落在边上，求平移的距离； 拓展延伸：（3）将从图1的位置开始绕点顺时针旋转，得到（点，的对应点分别是点，），旋转角为．在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使点到，两点的距离相等？若存在，请直接写出此时点到直线的距离；若不存在，说明理由． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在数学活动课上，小雨同学的数学活动报告单部分信息如下表，根据表中信息可知小雨同学所得的结论中正确的个数是（   ） 主题 矩形纸片折叠后相关结论探究 方案 如图，沿折痕折叠纸片，使点恰好落在边上的点，点的对应点为点． 结论 （）；（）；（）为等腰三角形；（）若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 ★★【变式2】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：分别以点B，C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点O，连接；将沿翻折，点B的对应点落在点P处，作射线交于点Q，在矩形中，，，则线段的长为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$