专题1.1（1） 菱形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1 （1）菱形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳】 【知识点1】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【要点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【知识点2】菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【要点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【知识点3】菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【要点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】菱形性质与判定的理解...........................................2 【题型二】菱形角度的计算与证明...........................................3 【题型三】菱形线段的计算与证明............................................3 【题型四】菱形面积的计算..................................................4 【拓展延伸】 【题型五】菱形+一次函数合................................................5 【题型六】菱形+新定义问题................................................6 【题型七】菱形+动点路径+函数图象.........................................7 【题型八】菱形+折叠对称变换..............................................9 【题型九】菱形+最值问题..................................................9 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】菱形性质与判定的理解 ★【例题1】（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． ★【变式1】（2025·浙江·模拟预测）对一个四边形的特征描述如下：①有一组邻边相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直．选择其中两个特征作为题设，余下的特征作为结论组成一个命题，其中真命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 ★【变式2】（2025八年级下·内蒙古·专题练习）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连结、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数共有 个 【题型二】菱形角度的计算与证明 ★【例题2】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求的度数． ★【变式1】（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，是菱形的对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，画直线交于点，若，则 ． ★【变式2】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    【题型三】菱形线段的计算与证明 ★【例题3】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，在四边形中，，点在边上，且． （1）求证：． （2）若，，，，求线段的长． ★【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图，平行四边形中，的平分线交边于点交边于点，则的长为（   ） A．3 B． C．6 D． ★【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，菱形，点为上一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交于点，若4，，则 ． 【题型四】菱形面积的计算 ★★【例题4】（2025·江西宜春·模拟预测）【课本再现】 思考 我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 四条边相等的平行四边形是菱形． 【定理证明】 （1）如图1，已知在四边形中，，求证：四边形是菱形． 【知识应用】 （2）如图2，在四边形中，，，，，对角线和相交于点O． ①求证：四边形是菱形； ②若，，求：四边形面积． ★【变式1】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．8 C． D． ★【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，，，过点作，垂足为，则的长为 ． 【拓展延伸】 【题型五】菱形+一次函数合 ★★【例题5】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D． （1）求a和k的值； （2）如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标； （3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标． ★★【变式1】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如下图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，对角线与x轴平行，直线与x轴、y轴分别交于点E、F．将菱形沿x轴向左平移m个单位，当点D落在的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ★★【变式2】（2025·江西吉安·一模）如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 ． 【题型六】菱形+新定义问题 ★★【例题6】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． （1）写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； （2）如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． ★★【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义如下变换：将点的横坐标除以2，纵坐标取相反数，得到点，则称是的半距点．以下说法正确的是（    ） ①若点，则点的半距点的坐标是； ②若点的半距点位于第四象限，则，； ③若把的半距点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到坐标，则的坐标是； ④若点的半距点到轴的距离与到轴的距离之和为3，则所有符合条件的点围成的图形的面积是36． A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④ ★★【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 设菱形相邻两个内角的度数分别为m，n． （1）若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度” ； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形． 【题型七】菱形+动点路径+函数图象 ★★【例题7】（23-24九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，是菱形边上的一动点，它从点出发沿的路径匀速运动到点，点是边的中点，点，点分别是线段，的中点，设点运动时间为，的长为，则关于的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． ★★【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在矩形中，边长，边长，对角线的垂直平分线分别与相交于点和相交于点O，动点分别从两点出发，分别绕和运动，点P的速度为，路径为．点Q的速度为，路径为两个动点返回起点后均停止运动．若点P和点Q同时出发，当四边形为平行四边形时，所用时间为 s． ★★【变式2】（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿的路径，以的速度匀速运动至点停止．在此过程中，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则当时，的值为（     ）    A． B． C． D． 【题型八】菱形+折叠对称变换 ★★【例题8】（21-22八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ． ★★【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是 ． ★★【变式2】（2025·河南信阳·三模）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 【题型九】菱形+最值问题 ★★【例题9】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，菱形边长为，，是的中点，，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则 ，的最小值是 ． ★★【变式1】（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 ★★【变式2】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1（1） 菱形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳】 【知识点1】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【要点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【知识点2】菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【要点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【知识点3】菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【要点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】菱形性质与判定的理解...........................................2 【题型二】菱形角度的计算与证明...........................................5 【题型三】菱形线段的计算与证明............................................8 【题型四】菱形面积的计算.................................................12 【拓展延伸】 【题型五】菱形+一次函数合...............................................15 【题型六】菱形+新定义问题...............................................20 【题型七】菱形+动点路径+函数图象........................................25 【题型八】菱形+折叠对称变换.............................................29 【题型九】菱形+最值问题.................................................33 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】菱形性质与判定的理解 ★【例题1】（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． ★【变式1】（2025·浙江·模拟预测）对一个四边形的特征描述如下：①有一组邻边相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直．选择其中两个特征作为题设，余下的特征作为结论组成一个命题，其中真命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定及性质，根据平行四边形的判定、菱形的判定及性质逐一判定即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 解：①②为条件，③为结论时为真命题：对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组邻边相等的平行四边形为菱形，菱形的对角线互相垂直，故①②为条件，③为结论时为真命题； ①③为条件，②为结论时为假命题：由对角线互相垂直及一组邻边相等不能推出对角线互相平分，故①③为条件，②为结论时为假命题； ②③为条件，①为结论时为真命题：对角线互相垂直且对角线互相平分的四边形是菱形，菱形的邻边相等，故②③为条件，①为结论时为真命题； 综上，真命题的个数为个， 故选：． ★【变式2】（2025八年级下·内蒙古·专题练习）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连结、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数共有 个 【答案】4 【分析】如图延长交的延长线于，取的中点连接．想办法证明，，四边形是菱形即可解决问题； 解： 如图，延长 交的延长线于点，取的中点，连接． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．故②正确． ∵， ∵ ∴ ， ∵， ∴， ，故③正确； ∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，     ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：4． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形判定和性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是一道四边形综合题型，解题关键是熟练掌握四边形和三角形相关知识点． 【题型二】菱形角度的计算与证明 ★【例题2】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质成为解题的关键． （1）根据三角形中位线的性质可得、，即；再说明、，证得可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先证明平行四边形BEFC是菱形，再利用菱形的性质即可求解． 解：（1）证明：点D，E分别是边的中点， ，， ， ∵点O是边的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 平行四边形BEFC是菱形， ，， ． ★【变式1】（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，是菱形的对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，画直线交于点，若，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，理解尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．利用菱形的性质得到，，结合得到，由作图可知，点在线段的垂直平分线上，则有，利用等边对等角即可求解． 解：菱形， ，， ， ， 由作图可知，点在线段的垂直平分线上， ， ． 故答案为：20． ★【变式2】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长、交于H，连接，求证平行四边形为菱形，得出，为全等的等边三角形，证明，即可得出答案． 解：延长、交于H，连接，   ，， 四边形为平行四边形， ，平分， ，，， 为等腰三角形， ， 平行四边形为菱形， ，且均为等边三角形， ，， ， ， 为等腰三角形， 又四边形为平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型三】菱形线段的计算与证明 ★【例题3】（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，在四边形中，，点在边上，且． （1）求证：． （2）若，，，，求线段的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）线段的长为 【分析】（1）由平行线的判定定理得到，再由平行四边形的判定与性质即可得证； （2）由菱形的判定得到是菱形，设菱形的边长为，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 解：（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ， 是菱形， 设菱形的边长为， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得，即， 解得，则线段的长为． 【点拨】本题考查四边形综合，涉及平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识．熟练掌握平行四边形的判定、菱形的判定与性质是解决问题的关键． ★【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图，平行四边形中，的平分线交边于点交边于点，则的长为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先证明四边形是菱形，再利用勾股定理求出． 解：连结， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． ★【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，菱形，点为上一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交于点，若4，，则 ． 【答案】 【分析】证明在上取点，使，连接，过作于点．则为等边三角形．证明，得到．，勾股定理求出则，再用勾股定理即可求出答案． 解：四边形为菱形， ． ． ． 在上取点，使，连接，过作于点． 则为等边三角形． ． ． 由旋转，得． ， ． ． ． ． ． ． 故答案为：． 【点拨】此题考查了菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识， 熟练掌握菱形的性质、旋转的性质是关键． 【题型四】菱形面积的计算 ★【例题4】（2025·江西宜春·模拟预测）【课本再现】 思考 我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 四条边相等的平行四边形是菱形． 【定理证明】 （1）如图1，已知在四边形中，，求证：四边形是菱形． 【知识应用】 （2）如图2，在四边形中，，，，，对角线和相交于点O． ①求证：四边形是菱形； ②若，，求：四边形面积． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；② 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是菱形； （2）①由平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，最后根据即可证明； ②根据勾股定理得到，，求出的面积，乘4即可. 解：（1）如图1，在四边形中， ，， ∴四边形是平行四边形． 又， 是菱形． （2）①证明：， ， 又，， ， ， ∵ ∴四边形是菱形． ②在中，，， ，，的面积， ∴四边形面积的面积． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，三角函数，熟练掌握各知识点是解题的关键. ★【变式1】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质及面积，含度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及面积是解题的关键．根据菱形的性质得，，再利用已知条件求，根据勾股定理求出，然后根据菱形的面积计算公式进行求解即可． 解：四边形是菱形，， ，，， ， ． 在中根据勾股定理得∶ ， ， ． 故选：C． ★【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，，，过点作，垂足为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，由菱形面积的两种计算方法得出结果是解决问题的关键．设交于，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，再由菱形面积的两种计算方法，即可求出的长． 解：设交于，，如图所示： 四边形是菱形，，， ，，， ， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 【拓展延伸】 【题型五】菱形+一次函数合 ★★【例题5】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D． （1）求a和k的值； （2）如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标； （3）直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3）或或 【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式即可求得的值，从而确定点是坐标，再将点的坐标代入即可求得值； （2）首先得到直线的解析式，然后得到点的坐标，根据的面积，求得或，代入直线的解析式即可求得答案； （3）设点的坐标为，根据点、的坐标，得到，然后分①当是边时和②当是对角线时，则的中点，即为的中点，且轴，进而求解． 解：（1）解：将点的坐标代入并解得：， 故点， 将点的坐标代入，得， 解得：， ，； （2）解：由（1）得直线的表达式为：， 则点， 的面积， 解得：或， 故点的坐标为或； （3）解：设点的坐标为， ∵， ∴当时，， ∴， ∵ ∴， 当，是边时， 当点在点的上方时，则，即， 解得， 则点的坐标为或； 点在点的正下方个单位， 则点或； 当为对角线时，则的中点坐标为， ∴点纵坐标为，即：， ∴， ∴， ∵的中点也为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、待定系数法，菱形的判定与性质等，解答的关键是注意分类求解，避免遗漏． ★★【变式1】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如下图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，对角线与x轴平行，直线与x轴、y轴分别交于点E、F．将菱形沿x轴向左平移m个单位，当点D落在的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图中，连接交于K，延长交于G．求出点G、D的坐标，求出即可解决问题． 解：如图，连接交于K，延长交于G ∵菱形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，对角线与x轴平行， ∴， ∴点D的坐标为， 当时，， 解得， ∴点G的坐标为， ∴， ∴当时，点D落在的内部（不包括三角形的边）． 故选：A． 【点拨】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，求出点D、点G的坐标是解题的关键． ★★【变式2】（2025·江西吉安·一模）如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形及菱形的判定，分情况：①是邻边，点F在射线上时；②是邻边，点F在射线上时；③是对角线时，作垂直平分线交射线于点；④是对角线时，的垂直平分线经过点，分别求出即可． 解：连接， 在中，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，把， 代入， ， 解得：， 直线的解析式为， ①是邻边，点F在射线上时，， 所以点F与B重合， 即，由题意舍去 ②是邻边，点F在射线上时， ∴M在射线上，且垂直平分， ∴， ∴； ③是对角线时，作垂直平分线交射线于点， 设 的中点 在中， ， 解得：， ④是对角线时，的垂直平分线经过点， 设 的中点 在中， ， 解得：或（不合题意舍去） 综上所述，所有符合条件的点F的坐标为或或或． 故答案为：或或 【题型六】菱形+新定义问题 ★★【例题6】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． （1）写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； （2）如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【答案】（1）鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等；（2）见分析；（3） 【分析】（1）在和中，即可得出结论； （2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可； （3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解． 解：（1）解：垂直平分， ， 在和中， ， ， ，， 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等； 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； （2）证明：如图，连接相交于点， 由（1）可得， 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是菱形； （3）解：如图，连接与相交于点，设相交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，菱形的判定与性质，解本题的关键是理解“鹞形”的定义． ★★【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义如下变换：将点的横坐标除以2，纵坐标取相反数，得到点，则称是的半距点．以下说法正确的是（    ） ①若点，则点的半距点的坐标是； ②若点的半距点位于第四象限，则，； ③若把的半距点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到坐标，则的坐标是； ④若点的半距点到轴的距离与到轴的距离之和为3，则所有符合条件的点围成的图形的面积是36． A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下求点的坐标，平移的坐标表示等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． ①根据新定义求解； ②根据新定义和象限点的特征列不等式求解； ③根据新定义列方程求解； ④根据新定义和菱形的面积公式求解． 解：①点的半距点的坐标是，故①正确； ②点的半距点为， ∴，， ∴，故②错误； ③设，则，， 解得：， ∴，故③正确； ④设，则， ∴或或或， ∴四条直线围成一个菱形，且对角线长为12和6， ∴面积为36，故④正确． 故选：B． ★★【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 设菱形相邻两个内角的度数分别为m，n． （1）若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度” ； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及新定义，利用“接近度”定义求出是解题关键． （1）利用菱形的“接近度”定义为，进而代入求出即可； （2）根据当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，进而得出答案． 解：（1）若菱形的一个内角为， 该菱形的相邻的另一内角的度数， “接近度”等于； （2）当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度， 则菱形是正方形； 故答案为：；1． 【题型七】菱形+动点路径+函数图象 ★★【例题7】（23-24九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，是菱形边上的一动点，它从点出发沿的路径匀速运动到点，点是边的中点，点，点分别是线段，的中点，设点运动时间为，的长为，则关于的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线的判定与性质、动点问题的函数图象等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线的性质得出，根据、是定点得出是定值可得是定值，即可判断关于的函数图像． 解：如图所示，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴MN是的中位线． ∴，即点在符合条件的运动过程中，始终有． ∴， ∵、是定点， ∴是定值． ∴是定值，与点运动的时间无关， ∴关于的函数图像为平行于轴的射线， 故选：D． ★★【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在矩形中，边长，边长，对角线的垂直平分线分别与相交于点和相交于点O，动点分别从两点出发，分别绕和运动，点P的速度为，路径为．点Q的速度为，路径为两个动点返回起点后均停止运动．若点P和点Q同时出发，当四边形为平行四边形时，所用时间为 s． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨论，画出图形，运用平行四边形的性质才能得出结果． 证明，得出，再根据，证明四边形是菱形．设菱形的边长，则．在中，由勾股定理，算出，即得到，由作图可以知道，点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上，也不可能构成平行四边形．只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形．即可确定当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，，由此列方程即可； 解：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵垂直平分， ∴． 在和中， ， ， ∴． ， ∴四边形是菱形． 设菱形的边长，则． 在中，， 由勾股定理，得， 解得． ， 由作图可以知道，点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上，也不可能构成平行四边形． ∴只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形． 当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． ∵点的速度为，点的速度为，运动时间为， ， ， 解得． ∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． ★★【变式2】（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿的路径，以的速度匀速运动至点停止．在此过程中，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则当时，的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，当时，点到达边的中点，然后根据分割法求的值． 解：设菱形的边长为，过点作于，如图，   ， 则， ， ， ，， 由图可知，当点在点时，的面积最大， 此时， 解得：或（舍去）， ，， 当点到达点时，， ， ， 点的速度为， 当时，点到达边的中点，如图所示：   ， 则， 在菱形中，， ，， 是等边三角形， ，， 故选：B． 【点拨】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键． 【题型八】菱形+折叠对称变换 ★★【例题8】（21-22八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况①当时， 连接， 作于，由菱形的性质得出，求出，， 证明，得出， 证出、、三点共线， 设， 在中， 由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时， ， 得到 是等边三角形， 即可解题． 解：分两种情况： ①当时， 连接， 作于，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，，∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质得： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴、、三点共线， 设则， 在中， 由勾股定理得：， 解得： ，即； ②当时，，此时点与重合，与点重合，如图所示： 则是等边三角形，（含这种情况）； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． ★★【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 根据菱形性质，证明，结合全等三角形性质和判定，折叠的性质推出，再利用三角形内角和定理求解，即可解题． 解：四边形是菱形，， ， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案为：． ★★【变式2】（2025·河南信阳·三模）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，连接，，设的边上的高为h，与于点O，先证明，得出，则可证明四边形是菱形，得出，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 解：连接，，设的边上的高为h，与于点O， ∵折叠，使点C与点A重合， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即的边上的高是， 故选：A． 【题型九】菱形+最值问题 ★★【例题9】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，菱形边长为，，是的中点，，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则 ，的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理得出，进而根据，即可得出的长；延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接，证明，得到，同理证明：，为等边三角形，继而可得是的垂直平分线，则，由，即可确定最小值． 解：如图，连接，过点作于点， ∵菱形边长为，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是的中点，菱形边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理证明：， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：，． 【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，难度较大，解题的关键在于转化思想的运用． ★★【变式1】（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键． 找出点关于的对称点，连接交于，则就是的最小值，求出即可． 解：连接，交于，连接交于P， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ∴， 即就是的最小值． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴（等腰三角形三线合一的性质）． 在中， ． 即的最小值为． 故选B． ★★【变式2】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，设交于点，根据菱形的性质得，证明为等边三角形，得，继而得到，，进一步得，则当点、、三点共线且垂直时，的值最小，即可得解． 解：如图，过点作于点，过点作于点，设交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当点、、三点共线且垂直时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$