模型讲义 新定义模型-2026届高三数学一轮复习

模型16  新定义模型 【模型归纳】 【典例1】（维立方体+河北沧州市沧衡名校联盟2025高三联考）现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，并称其为“维立方体”，其中.请根据以上定义和基本事实回答下面问题： (1)若“维立方体”的顶点个数为，“维立方体”的顶点个数为，求的值； (2)记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求的分布列和数学期望. 【思路分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数； （2）首先确定的可能取值，再结合组合数公式求取各值的概率，即可求确定分布列和数学期望； 【详细解析】（1）设“维立方体”的顶点坐标为， 由已知的取值有两种选择或， 所以“维立方体”的顶点坐标个数， 所以 “维立方体”的顶点个数， 所以. （2）由题意得，可取， 当时，对于点与点， 其中使的的个数为，则满足的的个数为， 此时所对应情况数为， 则， 故的分布列为 1 2 数学期望①， 又， 所以②， ①②可得，， 所以. 【典例2】（极值可差比函数+上海市实验学校2025高三检测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 【思路分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【详细解析】（1）当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【题后反思】求解新定义问题的方法： 第一步：提取信息.对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号. 第二步：加工信息：细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息=进行加工，探求解题方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点. 第三步：迁移转化：如果是新定义的运算，直接按照运算法则计算即可；如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（等量关系、图形的位置关系等） 第四步：结合题意进行严密的逻辑推理，计算得到结论. （等差椭圆+河南南阳六校2025联考） 1．焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. (1)如果椭圆：是等差椭圆，求的值； (2)对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. （混合积+福建福州十校2025联考） 2．新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. （函数+江西南昌市第二中学2025检测） 3．若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． (1)试判断函数是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数是“函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． （直角距离） 4．现代城市大多是棋盘式布局，许多城市的道路几乎都是东西和南北走向．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离，而是实际路程，也叫“直角距离”．如图，在平面直角坐标系内，我们定义，两点间的“直角距离”为． (1)求到定点的“直角距离”为2的点的轨迹方程，并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均为整数的点）． (2)求到两定点，的“直角距离”和为定值的动点的轨迹方程，并在平面直角坐标系内作出该动点的轨迹．（在以下三个条件中任选一个作答，多答不计分） ①，，；②，，；③，，． （的特征根+河北邢台市质检联盟2025联考） 5．在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． (1)求点的坐标； (2)设，求数列的前项和； (3)若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型16  新定义模型 【模型归纳】 【典例1】（维立方体+河北沧州市沧衡名校联盟2025高三联考）现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，并称其为“维立方体”，其中.请根据以上定义和基本事实回答下面问题： (1)若“维立方体”的顶点个数为，“维立方体”的顶点个数为，求的值； (2)记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求的分布列和数学期望. 【思路分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数； （2）首先确定的可能取值，再结合组合数公式求取各值的概率，即可求确定分布列和数学期望； 【详细解析】（1）设“维立方体”的顶点坐标为， 由已知的取值有两种选择或， 所以“维立方体”的顶点坐标个数， 所以 “维立方体”的顶点个数， 所以. （2）由题意得，可取， 当时，对于点与点， 其中使的的个数为，则满足的的个数为， 此时所对应情况数为， 则， 故的分布列为 1 2 数学期望①， 又， 所以②， ①②可得，， 所以. 【典例2】（极值可差比函数+上海市实验学校2025高三检测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 【思路分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【详细解析】（1）当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【题后反思】求解新定义问题的方法： 第一步：提取信息.对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号. 第二步：加工信息：细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息=进行加工，探求解题方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点. 第三步：迁移转化：如果是新定义的运算，直接按照运算法则计算即可；如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（等量关系、图形的位置关系等） 第四步：结合题意进行严密的逻辑推理，计算得到结论. （等差椭圆+河南南阳六校2025联考） 1．焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. (1)如果椭圆：是等差椭圆，求的值； (2)对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）由新定义得出的关系，结合可求得； （2）由题意求出椭圆的方程，联立直线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简即可得解. 【详解】（1）因为椭圆是等差椭圆，所以， 所以，又， 所以， 化简得. （2）由且可知，，. 所以椭圆方程为，如图， 联立直线得， ，，设，， 则，， ，， ，，， 把，代入，得， 所以存在实数，使得. （混合积+福建福州十校2025联考） 2．新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据混合积的定义与性质结合空间向量叉积的运算法则计算即可； （2）设与都垂直的向量，利用空间向量数量积的坐标表示计算，利用点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量的线性运算及（2）的结论，结合空间向量共线的充要条件计算即可. 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 故与是异面直线. （2）设与都垂直的向量， 由，可取， 则的长的最小值为. （3）由题意可设， ， 则， 由（2）得共线，则，解得， 故. 【点睛】思路点睛：第二问，异面直线的距离可转化为点到面的距离，求出法向量计算即可；第三问，利用空间向量的线性运算结合向量共线计算即可. （函数+江西南昌市第二中学2025检测） 3．若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． (1)试判断函数是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数是“函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】(1)函数不是“函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【详解】（1）对于，取， 则，． 因为，不满足， 故不是“函数”； （2）因为函数是“函数”， 所以对于任意的， 有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故， 则， 则，即，即实数的取值范围为 （3）由函数为“函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故， 即. 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. （直角距离） 4．现代城市大多是棋盘式布局，许多城市的道路几乎都是东西和南北走向．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离，而是实际路程，也叫“直角距离”．如图，在平面直角坐标系内，我们定义，两点间的“直角距离”为． (1)求到定点的“直角距离”为2的点的轨迹方程，并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均为整数的点）． (2)求到两定点，的“直角距离”和为定值的动点的轨迹方程，并在平面直角坐标系内作出该动点的轨迹．（在以下三个条件中任选一个作答，多答不计分） ①，，；②，，；③，，． 【答案】(1)，，，，，，，，． (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意可得轨迹方程为，进而分析格点； （2）根据题意求轨迹方程，分析其对称性，分类讨论去绝对值化简轨迹方程，进而可得轨迹. 【详解】（1）到定点的“直角距离”为2的点的轨迹方程为， 因为，则，解得， 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 综上所述：满足条件的格点为，，，，，，，． （2）若选择条件①：该动点的轨迹方程为． 用替换，方程不变，可知轨迹关于y轴对称； 用替换，方程不变，可知轨迹关于x轴对称； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为； 根据对称性作图，如图所示． 若选择条件②，该动点的轨迹方程为． 用替换，方程不变，可知轨迹关于y轴对称； 用替换，方程不变，可知轨迹关于x轴对称； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为； 根据对称性作图，如图所示． 若选择条件③，该动点的轨迹方程为． 用替换，方程不变，可知轨迹关于y轴对称； 用替换，方程不变，可知轨迹关于x轴对称； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为． 根据对称性作图，如图所示． （的特征根+河北邢台市质检联盟2025联考） 5．在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． (1)求点的坐标； (2)设，求数列的前项和； (3)若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 【答案】(1)， (2) (3)和 【分析】（1）根据特征方程和特征根的定义求解即可； （2）由（1）知，化简，再利用裂项相消法求解即可； （3）求得，设，分别求出，再根据特征方程和特征根的定义即可得出答案. 【详解】（1）因为点列的特征根为和， 所以点列的特征方程为， 所以， 则，即， 所以， 所以的坐标为， 由， 得，即， 所以， 所以的坐标为； （2）由（1）知， ， 所以； （3）因为， 所以， 所以， 设， 则， ， ， 设， 则①， ②， 由①②得，即， 将代入②得， 因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数， 所以， 又，所以，得， 又， 所以点列的特征方程为，特征根为和. 【点睛】关键点点睛：理解特征方程和特征根的定义是解决本题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$