解析几何2:离心率问题求解策略-2026届高三数学一轮复习

叁精备考：精学、精练、精测 2026年高三数学一轮复习专题6 解析几何2：离心率问题　 [题型分析]　 圆锥曲线离心率求值及求范围问题是高考的热点题型,对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键,相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁. [微考点]　 考点1　椭圆及双曲线离心率求值问题 例1 (1)已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是(　　) A. B. C. D. (2)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆C的离心率为________. 方法提炼： 　1.求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解. (3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 变式1 (1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2.若AB∥PF1，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 例2 (1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. (2)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点.若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为________. 方法提炼： 　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 变式2（1）已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA|＝|FA|，则双曲线C的离心率为(　　) A.2 B. C. D. (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－， 则C的离心率为________. 考点2　利用定义求离心率的范围(最值) 例3 已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1(a1>0,b1>0)有共同的焦点F1,F2,P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点,且∠F1PF2=,其离心率分别为e1,e2,则3+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.6 D.12 方法提炼： 　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义,以及余弦定理或勾股定理,构造关于a,b,c的不等式或不等式组求解,要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围. 变式3 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF的周长不小于18,则双曲线C的离心率的取值范围为　　　　.  考点3　利用性质求离心率的范围 例4 若双曲线C:-=1(a>0)的右支上存在A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)到点P(5a,0)的距离相等,则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A.(1,) B.(,+∞) C.(1,) D.(,+∞) 方法提炼： 　利用圆锥曲线的性质,如:椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等,建立不等式(不等式组)求解. 变式4 已知P为椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆焦点,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 考点4　利用几何图形求离心率的范围 例5 椭圆的中心在坐标原点,A1,A2,B1,B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点,F2为其右焦点,直线B1F2与直线A2B2交于点P,若∠B1PA2为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 方法提炼：　 利用图形中几何量的大小,例如线段的长度、角的大小等,构造几何度量之间的关系. 变式5 已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若∠AEB<120°,则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A.(1,) B.(1,+1) C.(,+1) D.(+1,+∞) [考点精练] 一、单选题 1.已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C交于P，Q两点，若|PF1|＝2|PF2|＝5|F1Q|，则C的离心率是(　　) A. B. C. D. 2.椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C.[，－1，1) D. 3.若动直线mx+ny=2m+n(m,n∈R)始终与椭圆C:+=1(a>0且a≠)有公共点,则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4.椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若E上恰有4个不同的点P,使得△PF1F2为直角三角形,则E的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 5.设椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1的离心率分别为e1,e2,若e1∈,则e2的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6.已知斜率为3的直线l过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,且与C的左、右两支各有一个交点,则C的离心率的取值范围是(　　) A.(1,) B.(,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞) 7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,直线l分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点,F1,F2到直线l的距离和大于实轴长,则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A. B.(,+∞) C. D.(1,) 8.已知双曲线l:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,过A作x轴的垂线与E的渐近线交于M,N两点,若SMON≥c2,则E的离心率的取值范围是(　　) A. B. C.[,] D.[,2] 9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆C上存在一点M,使得△MF1F2的内切圆的半径为,则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 10.点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点,若△PQM是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.(2-,1) B. C. D. 二、多选题 11.已知双曲线C:-=1,则(　　) A.λ的取值范围是(-6,3) B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上 C.C的焦距为6 D.C的离心率e的取值范围为(1,3) 12.已知椭圆+=1(a1>b1>0)的离心率为e1,双曲线-=1(a2>0,b2>0)的离心率为e2,两曲线有公共焦点F1,F2,P是椭圆与双曲线的一个公共点,∠F1PF2=60°,以下结论正确的是(　　) A.-=- B.+=1 C.=3 D.若e2∈[,2],则e1∈ 13.已知O为坐标原点,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,l是C的一条渐近线,以F为圆心,a为半径的圆与l交于A,B两点,则(　　) A.过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点 B.双曲线C的离心率的最大值是 C.若·>0,则双曲线C的离心率的取值范围是 D.若=,则双曲线C的离心率为 14.已知双曲线C：－＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D.(1，) 三、填空题 15.已知椭圆C：＋＝1(0＜b＜2)的左焦点为F，M是C上的动点，点N(0，)，若|MN|＋|MF|的最大值为6，则C的离心率为______. 16.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________. 17.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),上顶点为A(0,b),直线x=上存在一点P满足(+)·=0,则椭圆的离心率的取值范围为　　　.  18.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,关于原点对称的点A,B在椭圆上,且满足|AB|=|F1F2|,若令∠F1AB=θ且θ∈,则该椭圆离心率的取值范围为　　　　.  19.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,点B(3a,0).若在双曲线E的渐近线上存在点P,使得·=0,则双曲线E的离心率的取值范围是　　　　.  第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$叁精备考：精学、精练、精测 2026年高三数学一轮复习专题6 解析几何2：离心率问题（解析）　 [题型分析]　 圆锥曲线离心率求值及求范围问题是高考的热点题型,对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键,相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁. [微考点]　 考点1　椭圆及双曲线离心率求值问题 例1 (1)已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　法一　无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，可得2b＝，即a2＝3b2，故a2＝3(a2－c2)，2a2＝3c2， 则e2＝，所以离心率e＝. 法二　无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，得tan 60°＝＝，所以＝，所以离心率e＝＝＝. (2)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆C的离心率为________. 答案　 解析　因为点M在椭圆C上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，则|MF1|＝2a－|MF2|(a－c≤|MF2|≤a＋c)， 所以|MF1|·|MF2|＝(2a－|MF2|)|MF2|＝－(|MF2|－a)2＋a2， 所以当|MF2|＝a时，|MF1|·|MF2|有最大值a2，当|MF2|＝a－c或|MF2|＝a＋c时， |MF1|·|MF2|有最小值a2－c2. 因为|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，所以a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2， 所以e2＝，所以离心率e＝. 方法提炼： 　1.求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解. (3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 变式1 (1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2.若AB∥PF1，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意，知A(－a，0)，B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，所以kAB＝. 因为AB∥PF1，所以kPF1＝kAB＝.将x＝c代入椭圆方程＋＝1中解得y＝±. 易知点P位于第一象限，所以P，所以kPF1＝，所以＝，即b＝2c， 两边平方，得b2＝4c2.又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝＝. 例2 (1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，|F1F2|＝＝m， 所以C的离心率e＝＝＝＝＝. (2)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点.若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为________. 答案　(＋1，＋∞) 解析　由已知得F1(－c，0)，F2(c，0)，A(a，0)，设P(x0，y0)， 所以直线PF1的方程为y＝(x＋c)，令x＝0得，y＝，所以Q. 因为AQ∥PF2，所以kAQ＝kPF2，即＝，解得x0＝. 因为点P在双曲线的右支上，且AQ∥PF2，所以点P不能在双曲线的顶点上， 所以x0>a，即>a，所以c2－ac>a2＋ac，所以c2－2ac－a2>0， 不等式两边同时除以a2，得e2－2e－1>0，解得e>1＋或e<1－， 又e>1，所以e>1＋，即双曲线E的离心率的取值范围是(＋1，＋∞). 方法提炼： 　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 变式2（1）已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA|＝|FA|，则双曲线C的离心率为(　　) A.2 B. C. D. 答案　A 解析　由题知F(c，0).又A(a，b)，|OA|＝|FA|，所以a＝c，所以双曲线C的离心率e＝＝2. (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－， 则C的离心率为________. 答案　 解析　法一　由题意可知F1(－c，0)，F2(c，0)， 设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0). 因为＝－，所以即所以A， ＝，＝(c，y0). 因为⊥，所以·＝0，即c2－y＝0，解得y＝4c2. 因为点A在双曲线C上，所以－＝1， 又y＝4c2，所以－＝1，即－＝1，化简得＝， 所以e2＝1＋＝，所以离心率e＝. 法二　由法一得A，y＝4c2，所以|AF1|＝ ＝＝＝，|AF2|＝ ＝＝＝， 由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，即－＝2a，即c＝a， 所以双曲线的离心率e＝＝＝. 考点2　利用定义求离心率的范围(最值) 例3 已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1(a1>0,b1>0)有共同的焦点F1,F2,P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点,且∠F1PF2=,其离心率分别为e1,e2,则3+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.6 D.12 答案　A 解析　设|PF1|=m>|PF2|=n,|F1F2|=2c,由椭圆和双曲线的定义可得 ∴ 在△PF1F2中,由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2==, 化为(a+a1)2+(a-a1)2-4c2=(a+a1)(a-a1),所以a2+3-4c2=0,即+=4. 所以3+=(3+)=≥=3, 当且仅当=,=时等号成立. 方法提炼： 　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义,以及余弦定理或勾股定理,构造关于a,b,c的不等式或不等式组求解,要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围. 变式3 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF的周长不小于18,则双曲线C的离心率的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由右焦点为F(2,0),点A的坐标为(0,1),可得|AF|==5. 因为△APF的周长不小于18,所以|PA|+|PF|的最小值不小于13. 设F2为双曲线的左焦点,可得|PF|=|PF2|+2a,故|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+2a, 当A,P,F2三点共线时,|PA|+|PF2|+2a取最小值,最小值为|AF2|+2a,即5+2a, 所以5+2a≥13,即a≥4. 因为c=2,所以e==≤. 又e>1,所以e∈. 考点3　利用性质求离心率的范围 例4 若双曲线C:-=1(a>0)的右支上存在A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)到点P(5a,0)的距离相等,则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A.(1,) B.(,+∞) C.(1,) D.(,+∞) 答案　A 解析　根据题意,结合双曲线的对称性可知, 存在以点P(5a,0)为圆心的圆与双曲线的右支有四个交点, 所以当双曲线上的点Q到点P的距离最小时,点Q不可为双曲线的右顶点, 设点Q(x0,y0),且点Q满足-=1,可得=4, 所以|PQ|2=(x0-5a)2+=-10ax0+25a2-4(x0>a), 要使|PQ|最小,x0≠a,则>a,解得a2>1, 所以e==<=,又因为双曲线中e>1,所以e∈(1,). 方法提炼： 　利用圆锥曲线的性质,如:椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等,建立不等式(不等式组)求解. 变式4 已知P为椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆焦点,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由P为椭圆+=1(a>b>0)上一点,可知|PF1|+|PF2|=2a. 又|PF1|=3|PF2|,所以|PF2|=,又a-c≤|PF2|≤a+c,即a-c≤≤a+c. 即得≤c,即e≥,又0<e<1,所以≤e<1. 考点4　利用几何图形求离心率的范围 例5 椭圆的中心在坐标原点,A1,A2,B1,B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点,F2为其右焦点,直线B1F2与直线A2B2交于点P,若∠B1PA2为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图, 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题意得A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),F2(c,0), 则=(a,b),=(-c,b). 因为∠B1PA2为向量与的夹角,且∠B1PA2为钝角,所以·<0,所以b2-ac<0. 又b2=a2-c2,所以a2-ac-c2<0,两边同时除以a2得1-e-e2<0,解得e<或e>, 因为e∈(0,1),所以<e<1. 方法提炼：　 利用图形中几何量的大小,例如线段的长度、角的大小等,构造几何度量之间的关系. 变式5 已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若∠AEB<120°,则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A.(1,) B.(1,+1) C.(,+1) D.(+1,+∞) 答案　B 解析　如图,由双曲线的对称性知,|AE|=|BE|,|AF|=|BF|, 所以∠AEF=∠AEB<60°,因为F为左焦点,设其坐标为(-c,0),所以A, 故在Rt△AFE中,|AF|==,|EF|=a+c,所以tan∠AEF===e-1<tan 60°=, 解得e<1+,又1<e,所以1<e<1+. [考点精练] 一、单选题 1.已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C交于P，Q两点，若|PF1|＝2|PF2|＝5|F1Q|，则C的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为|PF1|＝2|PF2|＝5|F1Q|，且|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝，|PF2|＝，|F1Q|＝，所以|PQ|＝，|F2Q|＝.所以|F2Q|2＝|PQ|2＋|PF2|2，即PF1⊥PF2. 所以|F1F2|＝2c＝＝a，所以椭圆C的离心率e＝＝. 2.椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C.[，－1，1) D. 答案　D 解析　法一　[通法]由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，而|FA|＝－c＝＝|PF|∈[a－c，a＋c]，于是∈[a－c，a＋c]， 即ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴又e∈(0，1)，故e∈. 法二　[优解](焦半径公式)设P点(x0，y0)，则有|PF|＝|FA|，即a－ex0＝－c， 解得x0＝＋a－，又因为x0∈[－a，a]，所以有－a≤＋a－≤a， 两边同时除以a，可以解得≤e<1. 3.若动直线mx+ny=2m+n(m,n∈R)始终与椭圆C:+=1(a>0且a≠)有公共点,则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由直线m(x-2)+n(y-1)=0得,直线过定点(2,1),由题意得,点(2,1)在椭圆上或椭圆内部, 所以+≤1,则a2≥6,所以椭圆焦点在x轴上,所以e==∈,故选C. 4.椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若E上恰有4个不同的点P,使得△PF1F2为直角三角形,则E的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设E的上顶点为A,因为E上恰有4个不同的点P,使得△PF1F2为直角三角形, 所以∠F1AF2<90°,则<1,所以c2<a2-c2,即<, 故E的离心率的取值范围为. 5.设椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1的离心率分别为e1,e2,若e1∈,则e2的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得e1===,e2==. 因为e1∈,所以<1-<1,所以0<<,所以1<1+<, 所以e2的取值范围是. 6.已知斜率为3的直线l过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,且与C的左、右两支各有一个交点,则C的离心率的取值范围是(　　) A.(1,) B.(,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞) 答案　B 解析　法一　设直线方程 y=3(x-c),与-=1(a>0,b>0)联立得(b2-9a2)x2+18a2cx-9a2c2-a2b2=0, 设两交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则解得b2-9a2>0,即>3, 离心率e=>. 法二　易知渐近线方程为y=±x,由题意得>3,离心率e=>, 故选B. 7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,直线l分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点,F1,F2到直线l的距离和大于实轴长,则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A. B.(,+∞) C. D.(1,) 答案　B 解析　设直线l经过A(-a,0),B(0,b),则直线l的方程为+=1, 即bx-ay+ab=0,则F1(-c,0),F2(c,0)到直线l的距离分别为,, 故+>2a,解得b>a, 故离心率e=>,故双曲线的离心率的取值范围是(,+∞). 8.已知双曲线l:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,过A作x轴的垂线与E的渐近线交于M,N两点,若SMON≥c2,则E的离心率的取值范围是(　　) A. B. C.[,] D.[,2] 答案　A 解析　由题意得A(a,0),渐近线y=±x,将x=a代入渐近线方程得M,N坐标为(a,±b), 所以|MN|=2b,因为MN⊥x轴,所以S△AOB=·a|MN|=ab, 由已知可得ab≥c2=(a2+b2),两边同时除以a2得≥, 所以-+≤0,即≤0,解得≤≤,所以≤≤3, 而双曲线的离心率e=∈,故选A. 9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆C上存在一点M,使得△MF1F2的内切圆的半径为,则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　△MF1F2的面积为|F1F2|·|yM|,因为△MF1F2的内切圆半径为, 所以△MF1F2的面积可表示为(2a+2c)·,所以·2c·|yM|=(2a+2c)·, 解得|yM|=,因为|yM|≤b,所以≤b,两边平方得≤b2, 又因为b2=a2-c2,整理得5c2+2ac-3a2≤0,因为e=,不等式两边同时除以a2, 得5e2+2e-3≤0,解得-1<e≤,又椭圆C的离心率e∈(0,1), 所以椭圆C的离心率的取值范围为. 10.点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点,若△PQM是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.(2-,1) B. C. D. 答案　D 解析　∵圆M与x轴相切于焦点F, ∴MF⊥x轴,可设M(c,y),∵M在椭圆上,∴+=1,解得y=±,∴圆M的半径为; 作MN⊥y轴,垂足为N,∵|MP|=|MQ|,∴∠PMN=∠NMQ, ∵△PMQ为锐角三角形,∴∠NMQ<,∴>c>×, ∴ac<a2-c2<ac,∴即e<1-e2<e,解得<e<, 即椭圆离心率的取值范围为. 二、多选题 11.已知双曲线C:-=1,则(　　) A.λ的取值范围是(-6,3) B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上 C.C的焦距为6 D.C的离心率e的取值范围为(1,3) 答案　AC 解析　对于A,∵-=1表示双曲线,∴(λ+6)(3-λ)>0,解得-6<λ<3,故A正确; 对于B,由A项可得-6<λ<3,故λ+6>0,3-λ>0,∴C的焦点只能在x轴上,故B错误; 对于C,设C的半焦距为c(c>0),则c2=λ+b+3-λ=9,∴c=3,即焦距为2c=6,故C正确; 对于D,离心率e=,∵-6<λ<3,∴0<<3, ∴e的取值范围是(1,+∞),故D错误. 12.已知椭圆+=1(a1>b1>0)的离心率为e1,双曲线-=1(a2>0,b2>0)的离心率为e2,两曲线有公共焦点F1,F2,P是椭圆与双曲线的一个公共点,∠F1PF2=60°,以下结论正确的是(　　) A.-=- B.+=1 C.=3 D.若e2∈[,2],则e1∈ 答案　BCD 解析　根据题意,设F1(-c,0),F2(c,0), 对于A,因为椭圆与双曲线有公共点焦点,可得所以-=+, 即-=+,所以A错误; 对于B,不妨设点P在第一象限,由椭圆和双曲线的定义,可得 所以|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,又由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 可得4c2=2+2-(-)=+3,所以+=+==1,所以B正确; 对于C,由-c2=3c2-3,可得=3,所以C正确;对于D,因为e2∈[,2],所以∈, 由+=1可得∈,所以e1∈,所以D正确. 13.已知O为坐标原点,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,l是C的一条渐近线,以F为圆心,a为半径的圆与l交于A,B两点,则(　　) A.过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点 B.双曲线C的离心率的最大值是 C.若·>0,则双曲线C的离心率的取值范围是 D.若=,则双曲线C的离心率为 答案　ACD 解析　对于A,因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A,B两点,所以过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点(如图),故选项A正确; 对于B,过点F作FD⊥l,垂足为D,易知|FD|=b,因为圆F与直线l相交,所以b<a, 又c2=a2+b2,所以c2<2a2, 即e2<2,又e>1,所以双曲线C的离心率的取值范围是(1,),故选项B错误; 对于C,若·>0,则0<∠AFB<,故0<∠AFD<,故<cos∠AFD<1, 所以<<1, 即<<1,即b<a<b,得<e2<2,所以e∈,故选项C正确; 对于D,因为=,所以A为线段OB的中点,设|AD|=m,则|OA|=2m,|OD|=3m, 在Rt△AFD和Rt△OFD中,由勾股定理得,消去m2得c2=9a2-8b2, 即17a2=9c2,所以e=,故选项D正确. 14.已知双曲线C：－＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D.(1，) 答案　B 解析　由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0， 又该圆的圆心为(c，0)，故圆心到渐近线的距离为， 则由题意可得<3，即b2c2<9(b2＋4)， 又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2，解得c2<13，即c<，则e＝＝<， 又e>1，故离心率的取值范围是. 三、填空题 15.已知椭圆C：＋＝1(0＜b＜2)的左焦点为F，M是C上的动点，点N(0，)，若|MN|＋|MF|的最大值为6，则C的离心率为______. 答案　 解析　设椭圆C的右焦点为F′，由椭圆的定义，得|MF|＋|MF′|＝2a＝4， 所以|MF|＝4－|MF′|，所以|MN|＋|MF|＝|MN|－|MF′|＋4≤|NF′|＋4， 当且仅当M，N，F′三点共线时等号成立，则由题意，知此时|NF′|＋4＝6， 即|NF′|＝＝2，解得c＝1，所以e＝＝. 16.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________. 答案　 解析　取AP的中点Q，则＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0， 所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a. 因为点P在直线x＝上，所以|FP|≥－c，即a≥－c， 所以≥－1，所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤. 又0<e<1，故≤e<1. 17.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),上顶点为A(0,b),直线x=上存在一点P满足(+)·=0,则椭圆的离心率的取值范围为　　　.  答案　 解析　取AP的中点Q,则=(+),所以(+)·=2·=0, 所以FQ⊥AP,所以△AFP为等腰三角形,即|FA|=|FP|,且|FA|==a. 因为点P在直线x=上,所以|FP|≥-c,即a≥-c, 所以≥-1,所以e2+e-1≥0,解得e≥或e≤. 又0<e<1,故≤e<1. 18.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,关于原点对称的点A,B在椭圆上,且满足|AB|=|F1F2|,若令∠F1AB=θ且θ∈,则该椭圆离心率的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由已知可得AB=2c,且四边形AF1BF2为矩形. 所以|BF1|=2c·sin θ,|AF1|=2c·cos θ=BF2,又因为|BF1|+|BF2|=2a, 所以2c·sin θ+2c·cos θ=2a,得离心率e===. 因为θ∈,所以θ+∈,可得sin∈,从而e∈. 19.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,点B(3a,0).若在双曲线E的渐近线上存在点P,使得·=0,则双曲线E的离心率的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由题意得双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0, ·=0,即PA⊥PB,∴点P为以AB为直径的圆与双曲线渐近线的交点,圆心为AB中点(2a,0),半径为r=a,依题意,渐近线与该圆有公共点,故≤a,即3b2≤a2, 即3(c2-a2)≤a2,即3c2≤4a2,∴1<e≤. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$