专题1.1 集合及其表示方法（高效培优讲义）数学沪教版2020高一必修第一册

专题1.1 集合及其表示方法 教学目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系．(重点) 2.掌握用列举法和描述法表示集合； 3.能够用区间表示集合． 教学重难点 1.列举法和描述法 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合 知识点01 集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 【即学即练1】在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 知识点02 元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【即学即练2】集合，则 .（用“”或“”连接） 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，若，求出m、n的值，验证是否符合条件即可. 【详解】当时，有，满足. 所以. 故答案为： 知识点03 集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 【即学即练3】用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可. 【详解】. 故答案为： 知识点04 集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 【即学即练4】判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【答案】(1)有限集； (2)无限集； (3)空集； (4)无限集； (5)有限集． 【详解】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）不等式的解集，是无限集； （3）的实数解集，是空集； （4）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （5）方程的解集，是有限集． 题型01判断元素是否构成集合 【典例1】下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 【答案】C 【分析】根据组成集合的要素之确定性即可得解. 【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题不能确定，不能组成集合， 故选：C． 【变式1】下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【分析】结合集合中元素的“确定性”、“互异性”逐一分析即可. 【详解】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合； 故答案为：（1）（3） 【变式2】下列对象能组成集合的是 ①桃浦中学一部分学生 ②倒数等于自身的实数 ③超过100页的书 ④世界知名艺术家 ⑤方程的全体解 【答案】②③⑤. 【分析】根据集合元素的三要素，确定性、互异性和无序性可判断. 【详解】①桃浦中学一部分学生不符合确定性，不能构成集合； ②倒数等于自身的实数有和1，可构成集合； ③超过100页的书符合集合元素的特征，可以构成集合； ④世界知名艺术家，“知名”没有确定性，不能构成集合； ⑤方程无解，可构成空集. 因此，能构成集合的为②③⑤. 故答案为：②③⑤. 【变式3】判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 【答案】(1)能，理由见解析； (2)能，理由见解析； (3)不能，理由见解析. 【分析】（1）（2）（3）根据集合的定义判断即可. 【详解】（1）能构成集合，元素是确定的且个数有限，该集合是有限集. （2）能构成集合，元素是确定的且个数无限，该集合是无限集. （3）不能构成集合，元素无法确定. 题型02 判断元素与集合的关系 【典例1】集合则 A. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】由可得，所以, 故答案为： 【变式1】用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 【分析】根据集合定义，确定元素与集合关系. 【详解】（1）不是自然数，则； （2）是整数，则； （3）是无理数，则； （4）是实数，则. 故答案为：（1）（2）（3）（4） 【变式2】用符号“”或“”填空． （1）0 ；    （2）0 ； （3） ；    （4） ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 【变式3】已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 题型03 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】已知集合，且.求实数的值. 【答案】或0 【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，再进行检验即可得解. 【详解】因为，， 所以或，解得或或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当或，或，满足题意； 综上，实数的值为或0. 【变式1】已知集合，若，则的值为 . 【答案】 【分析】分类讨论和，注意元素的互异性. 【详解】因为，所以或， 当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意， 综上可知，， 故答案为：. 【变式2】若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证． 【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，解得或4， 当时，不符合题意， 当时，集合为，符合题意, 所以． 故答案为：． 【变式3】已知集合，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可知当时满足，当时，两方程联立可求解. 【详解】根据题意可知集合，且， 所以当时满足，且当时满足， 联立，解之可得或. 实数的取值范围是或. 故答案为： 【变式4】设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先写出，将代入解不等式即可. 【详解】由得， 因为，所以，即. 故答案为： 注意回代检验答案是否满足集合元素的互异性。 题型04 根据集合中元素的个数求参数 【典例1】若集合的子集只有两个，则实数 . 【答案】0或 【分析】由题意知中只含有一个元素，分和两种情况讨论即可； 【详解】因为集合的子集只有两个，所以中只含有一个元素． 当时，； 当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式得． 综上，当或时，集合只有一个元素． 故答案为：或． 【变式1】已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求， 当时，需要，解得， 综上，或. 故答案为：或 【变式2】已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知：有2个不同的实数根，利用判别式列式求解即可. 【详解】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 【变式4】已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 当最高项系数含参数时，容易忽略考虑最高项系数为0时的情况。 题型05 根据集合中元素的互异性求参数 【典例1】已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 【变式1】已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 【变式2】已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以. 故答案为：. 【变式3】集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 【变式4】若，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查集合元素的特征，注意检验互异性. 【详解】，则或， 当解得，代入检验不成立； 当解得或，分别代入检验知：满足. 故答案为： 题型06 列举法表示集合 【典例1】设集合，则用列举法表示集合为 . 【答案】 【分析】根据、求出的可能取值，即可得出集合. 【详解】当时，则，可得， 因为，则，则，故. 故答案为：. 【变式1】已知集合，用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【变式2】已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 【答案】 【分析】由条件可得为的正约数，且，由此确定结论. 【详解】因为， 所以为的正约数，且， 所以或或或， 所以或或或， 所以. 故答案为：. 【变式3】设，，用列举法表示所有可能取值组成的集合，结果是 . 【答案】 【分析】根据，的符号，分情况去绝对值即可. 【详解】根据，的符号，分情况去绝对值： 若，，；若，，； 若，，；若，，. 所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 【变式4】用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据，对列举求解即可. 【详解】， ， ， 故答案为：. 题型07 描述法表示集合 【典例1】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 【变式1】下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】由解得或， 所以，C正确； 选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集， 故选：C 【变式2】用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合 . 【答案】 【分析】根据被7除余3的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设被除7的商为，余数为3，这个数可表示为，所以设被7除余3的自然数组成的集合为. 故答案为： 题型08 区间与集合的转化 【典例1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. 【变式1】若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 【变式2】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】由区间的书写形式即可求解． 【详解】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 【变式3】用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据区间的定义直接求解即可. 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 1．已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到方程无实根，结合，即可求解. 【详解】由，可得方程无实根， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 故答案为：. 2．已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 3．已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 4．已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 5．已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【详解】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 6．设集合，且，则实数m的值为 ． 【答案】5 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 7．用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】由可列举出符合题意的的值，进而表示出集合． 【详解】集合 所以可以取的值为，1，2，3，所以． 故答案为：． 8．已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 9．集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，新以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 10．设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】化简，由中元素结构即可判断. 【详解】，， 对比集合中元素的系数可得，， 故选：A 11．集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 12．方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 13．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 14．已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合及其表示方法 教学目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系．(重点) 2.掌握用列举法和描述法表示集合； 3.能够用区间表示集合． 教学重难点 1.列举法和描述法 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合 知识点01 集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 【即学即练1】在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 知识点02 元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【即学即练2】集合，则 .（用“”或“”连接） 知识点03 集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 【即学即练3】用列举法表示集合 . 知识点04 集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 【即学即练4】判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 题型01判断元素是否构成集合 【典例1】下列各组对象中不能组成集合的是（    ）． A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著 C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市 【变式1】下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【变式2】下列对象能组成集合的是 ①桃浦中学一部分学生 ②倒数等于自身的实数 ③超过100页的书 ④世界知名艺术家 ⑤方程的全体解 【变式3】判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 题型02 判断元素与集合的关系 【典例1】集合则 A. 【变式1】用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【变式2】用符号“”或“”填空． （1）0 ；    （2）0 ； （3） ；    （4） ． 【变式3】已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 题型03 根据元素与集合的关系求参数 【典例1】已知集合，且.求实数的值. 【变式1】已知集合，若，则的值为 . 【变式2】若，则实数 ． 【变式3】已知集合，且，则实数的取值范围是 . 【变式4】设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 注意回代检验答案是否满足集合元素的互异性。 题型04 根据集合中元素的个数求参数 【典例1】若集合的子集只有两个，则实数 . 【变式1】已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 【变式2】已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【变式3】若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【变式4】已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 当最高项系数含参数时，容易忽略考虑最高项系数为0时的情况。 题型05 根据集合中元素的互异性求参数 【典例1】已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【变式1】已知，则实数 . 【变式2】已知集合，，且，则实数的值为 . 【变式3】集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【变式4】若，则实数 ． 题型06 列举法表示集合 【典例1】设集合，则用列举法表示集合为 . 【变式1】已知集合，用列举法表示集合 ． 【变式2】已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 【变式3】设，，用列举法表示所有可能取值组成的集合，结果是 . 【变式4】用列举法表示集合 . 题型07 描述法表示集合 【典例1】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【变式1】下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合 . 题型08 区间与集合的转化 【典例1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式1】若为一确定区间，则的取值范围为 . 【变式2】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【变式3】用区间表示下列集合： (1)； (2)． 1．已知，则实数的取值范围是 ． 2．已知集合，则实数a的值为 ． 3．已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 4．已知集合，，记且.则 ， . 5．已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 6．设集合，且，则实数m的值为 ． 7．用列举法表示集合 ． 8．已知集合，，若，则实数 . 9．集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 10．设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 13．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 14．已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$