24.1.3 弧 弦 圆心角 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.1.3 弧、弦、圆心角 第二十四章 圆 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 问题1 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? · 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心. · 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A ∠AOB为圆心角 概念： 圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。 ⌒ 4 www.czsx.com.cn 1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 ① ② ③ ④ 5 www.czsx.com.cn 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A1O1B1，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠ A1O1B1 ，那么，AB=A1B1 ，弦AB= A1B1. ⌒ ⌒ · O A B A1 · O1 B1 AB ＝ A'B' ⌒ ⌒ 几何语言： ∵∠AOB＝∠A'O'B' ∴AB＝A'B' · O A B B′ A′ 归纳总结：弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的也弦相等． 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，它们所对的圆心角和弦有什么关系？ 2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，它们所对的圆心角和弧有什么关系？ 深入思考 N O 新知探究 活动：探索圆的旋转角 N' 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度任意时刻∠NON'具有什么共同特点？ ∠NON'顶点始终在圆心处，只是角的大小有所变化而已 N O 新知探究 活动：探索圆的旋转角 N' 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度任意时刻∠NON'具有什么共同特点？ ∠NON'顶点始终在圆心处，只是角的大小有所变化而已 N O 新知探究 活动：探索圆的旋转角 N' 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度任意时刻∠NON'具有什么共同特点？ ∠NON'顶点始终在圆心处，只是角的大小有所变化而已 　　结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？ 思考 弧、弦、圆心角之间的关系定理 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 　　符号语言： ∠AOB＝∠A′OB′ 　　 ＝ 　　AB＝A′B′ B A B′ A′ O 13 　　定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等；圆心角所对的弦相等． 　　把题设中“圆心角相等”与两个结论中的任意一个交换，得到两个新命题，你能验证这两个命题的真假吗？ 　　命题1：在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等． 　　命题2：在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对的圆心角相等，弦所对的优弧和劣弧分别相等． 14 延伸 等对等定理整体理解： 1圆心角 2 弧 3弦 4弦心距 知一的三 知识小结 圆心角定理延伸--知一得三 ∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形． 又∵∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. · A B C O 例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ 证明：连接AB、AC、BC 新知探究 圆心角定理实际应用 ⌒ ⌒ ∵AB=AC O A B C D 如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º AB=BC=CD=DA(圆心角定理) 新知探究 知识延伸 如图，AB，CD是　O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么________，______________． ∠AOB=∠COD （2）如果 ，那么________，______________. （3）如果∠AOB=∠COD，那么_______，_________. AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD 概念巩固 18 例1　如图，在　O中， ，∠ACB=60°.　　　　 　　求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例题讲解 A B C O 19 ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．　 又 ∠ACB=60°, ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA． ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC． 证明： ⸪　　　　， A B C O 20 $$