预习12 曲线与方程（4知识点+6题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习12 曲线与方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1．曲线上的点的坐标都是方程的解； 2．以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 知识点 2 ：两曲线的交点 己知两条曲线和的方程分别为，求两条曲线和的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到． 知识点 3 ：点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程．知识点 4 ：求动点轨迹方程的一般步骤 1．设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2．写出要满足的几何条件，并将该几何条件用的坐标表示出来； 3．化简并检验所得方程是否为的轨迹方程． 求轨迹常见的方法——相关点法： 已知点在已知曲线上，动点随的变化而变化，形成轨迹，把称作主动点，点称作被动点． 求动点轨迹方程的＂相关点法（代入法）＂步骤： （1）设点：的坐标为，点的坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用表示； （3）代入（换）：将代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程． 【题型1 曲线方程的概念】 1．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 2．条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程的解”；条件乙：“曲线C是的图形”，则甲是乙的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型2 点与曲线的位置关系】 4．曲线经过的一点是（   ） A． B． C． D． 5．若点在方程的曲线上，则 ． 6．已知曲线C的方程是：，，，，为直角坐标平面上的四点，其中在曲线C上的点为 ． 7．分别判断点是否在方程的曲线上． 【题型3 由方程求曲线的图形】 8．方程表示的曲线是（    ） A．轴上方的半圆 B．轴下方的半圆 C．轴左侧的半圆 D．轴右侧的半圆 9．方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 10．方程的曲线是（    ） A．一个点 B．一个点和一条直线 C．一条直线 D．两条直线 11．方程表示的图形是（    ） A．两条直线 B．四条直线 C．两个点 D．四个点 12．方程表示的图形是 . 13．方程表示的曲线的形状是 ． 【题型4 由方程研究曲线的性质】 14．曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（   ） ①当时，曲线是轴对称图形 ②当时，曲线关于中心对称 ③当时，曲线所围成的面积大于 ④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（多选）已知曲线C的方程为，则关于曲线C，下列说法正确的是（   ） A．曲线C关于x轴对称 B．若曲线C上的任意一点P的横坐标的取值集合为A，则 C．曲线C经过第一、二、三和四象限，且与坐标轴只有一个公共点 D．曲线C与直线有3个交点 16．（多选）设曲线C：，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C的图象仅在第一、第三象限内 B．曲线C关于直线对称 C．若点在曲线C上，则 D．若直线l与曲线C没有交点，则直线l的斜率为1 17．（多选）我国知名品牌小米公司的Logo（如图）具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）．则下列有关曲线的说法中正确的是（    ） A．对任意的且，曲线总关于原点对称 B．当，时，曲线与坐标轴的交点个数为5个 C．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 D．当时，曲线与直线交于，两点，则的最小值为30 18．（多选）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．曲线经过的整数点个数为3个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 19．（多选）如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线就是其中之一，下列结论正确的是（   ） A．曲线上的点的横坐标取值范围是 B．曲线上的点到原点的距离最大值为 C．曲线恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D．曲线所围成的“心形”区域面积大于3 【题型5 两曲线的交点问题】 20．已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 21．作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（    ） A．曲线不经过第三象限 B．曲线关于直线y = x对称 C．曲线与直线x + y =－1有公共点 D．曲线与直线x + y =－1没有公共点 22．曲线和公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 23．直线与曲线交点的坐标为 ． 24．方程有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是 ． 25．曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是 ． 【题型6 求平面轨迹方程】 26．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 27．（多选）已知点，点是曲线上任意一点，直线与直线的斜率之和为常数，则（    ） A．曲线经过点 B．曲线关于原点对称 C．直线与曲线无交点 D．点到原点的距离有最小值 28．在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 29．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(162015·1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为 . 30．中，为边上的高且，动点P满足，则点P的轨迹一定过的 31．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 一、单选题 1．已知A，B两点的坐标分别是，直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知曲线的方程为，则曲线关于（    ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 4．在平面内，设是直线的法向量，、为两个定点，，为一动点，若点满足：，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 5．已知曲线C方程为，则曲线C关于（    ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．对称 6．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（    ） A． B． C． D． 8．已知曲线，若点在上，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线，若到点与直线的距离之和等于10的点的轨迹记为曲线.给出下列四个结论，其中正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．若点在曲线上，则 C．若点在曲线上，则 D．若点在曲线上，则 10．下列关于曲线性质的描述正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．所围成的图形的面积小于12 三、填空题 11．已知曲线，则该曲线的一条对称轴方程为 .（写出满足条件的一个方程即可） 12．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 13．2022年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美.曲线是“双纽线”，若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 14．如图，已知等腰三角形中，是的中点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求. 15．在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．求E的方程. 16．已知曲线的方程是，曲线的方程是，判断与是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由． 17．已知点P为圆C：上的动点，点A的坐标为，若 (1)当时，求B的轨迹方程； (2)讨论B的轨迹与C的位置关系． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习12 曲线与方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1．曲线上的点的坐标都是方程的解； 2．以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 知识点 2 ：两曲线的交点 己知两条曲线和的方程分别为，求两条曲线和的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到． 知识点 3 ：点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程．知识点 4 ：求动点轨迹方程的一般步骤 1．设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2．写出要满足的几何条件，并将该几何条件用的坐标表示出来； 3．化简并检验所得方程是否为的轨迹方程． 求轨迹常见的方法——相关点法： 已知点在已知曲线上，动点随的变化而变化，形成轨迹，把称作主动点，点称作被动点． 求动点轨迹方程的＂相关点法（代入法）＂步骤： （1）设点：的坐标为，点的坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用表示； （3）代入（换）：将代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程． 【题型1 曲线方程的概念】 1．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 【答案】C 【详解】对ABD，根据题意可以举例方程为， 曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分， 则曲线上的点的坐标不是都满足方程，故A错误； 坐标不满足的点可以在曲线上，故B错误； 不在曲线上的点的坐标都不满足，故D错误； 对C，而不在曲线上的点的坐标必不满足，故C正确． 故选：C. 2．条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程的解”；条件乙：“曲线C是的图形”，则甲是乙的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】解：若曲线是的图形， 则曲线上的点的坐标都是方程的解， 甲是乙的必要条件； 而曲线上的点的坐标都是方程的解， 则还有可能出现符合方程的点不在曲线上， 如曲线上的点的坐标都是方程的解，而方程对应的曲线为直线， 则甲是乙的必要不充分条件， 故选：D． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合曲线方程和方程曲线的关系是解决本题的关键，属于基础题． 3．下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A：过原点，而不过原点，不是同一曲线； B：，显然与不是同一曲线； C：由，即有，故为同一曲线； D：由，而中，故不是同一曲线. 故选：C 【题型2 点与曲线的位置关系】 4．曲线经过的一点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，， 只有A满足． 故选：A． 5．若点在方程的曲线上，则 ． 【答案】2或 【详解】将点代入方程 得 解得：或 故答案为：2或. 6．已知曲线C的方程是：，，，，为直角坐标平面上的四点，其中在曲线C上的点为 ． 【答案】， 【详解】将代入中，，故在曲线C上； 将代入中，无意义，故不在曲线C上； 将代入中，，故在曲线C上； 将代入中，，故不在曲线C上. 故答案为：， 7．分别判断点是否在方程的曲线上． 【答案】、在所给方程的曲线上，、不在所给方程的曲线上. 【详解】由方程可得，， 将点代入曲线方程，成立， ∴在所给方程的曲线上， 将代入曲线方程，， ∴不在所给方程的曲线上， 将点代入曲线方程，成立， ∴在所给方程的曲线上， 将代入曲线方程，， ∴不在所给方程的曲线上. 【题型3 由方程求曲线的图形】 8．方程表示的曲线是（    ） A．轴上方的半圆 B．轴下方的半圆 C．轴左侧的半圆 D．轴右侧的半圆 【答案】B 【详解】， 表示的是以为圆心，为半径的圆， 又 ， 故方程表示的曲线是轴下方的半圆， 故选：B． 9．方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 【答案】C 【详解】由方程， 得:或且满足， 即或且满足， 所以方程表示半个圆和一条线段， 故选：C 10．方程的曲线是（    ） A．一个点 B．一个点和一条直线 C．一条直线 D．两条直线 【答案】D 【详解】方程，化为，则或， 所以方程的曲线是直线和直线. 故选：D 11．方程表示的图形是（    ） A．两条直线 B．四条直线 C．两个点 D．四个点 【答案】A 【详解】因为，则，解得 ，解得， 其表示的两条图形为两条直线. 故选：A. 12．方程表示的图形是 . 【答案】直线或单位圆 【详解】由方程即可求解. 由方程可得：或， 所以方程表示的曲线是直线或单位圆， 故答案为：直线或单位圆. 13．方程表示的曲线的形状是 ． 【答案】两条线段 【详解】由已知方程两边平方得， 结合. ∴方程表示的曲线是两条线段． 故答案为：两条线段. 【题型4 由方程研究曲线的性质】 14．曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（   ） ①当时，曲线是轴对称图形 ②当时，曲线关于中心对称 ③当时，曲线所围成的面积大于 ④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】对于①，点关于直线的对称点为，由，则，故①正确； 对于②，由点关于点的对称点为，且，则，故②正确； 对于③，圆的面积为，曲线，易知， 当时，，由，，则， 易知圆与曲线都是关于原点成中心对称， 当时，曲线上的点都在圆外， 当时，曲线与圆存在公共点， 所以曲线围成的图形的面积必定大于，故③正确； 对于④，圆上的每一个点到原点的距离为， 当时，由，则，由，，则； 当时，由，则， 综上当时，曲线上的点在圆外， 当或时，由，则曲线与圆有公共点为，故④正确. 故选：D. 15．（多选）已知曲线C的方程为，则关于曲线C，下列说法正确的是（   ） A．曲线C关于x轴对称 B．若曲线C上的任意一点P的横坐标的取值集合为A，则 C．曲线C经过第一、二、三和四象限，且与坐标轴只有一个公共点 D．曲线C与直线有3个交点 【答案】BD 【详解】若点在曲线C上，将代入曲线方程得，与原方程不等，故A错误； 因为，所以，即，所以，B正确； 或时方程仅成立，所以曲线C与坐标轴只有原点一个公共点，且不属于第一、二、三和四象限，C错误； 代入得，令，方程为， 令，， 因为在上单调递增，且，所以存在使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为，所以有且仅有一个使得，对应， 所以曲线C与直线有3个交点：，D正确. 故选：BD 16．（多选）设曲线C：，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C的图象仅在第一、第三象限内 B．曲线C关于直线对称 C．若点在曲线C上，则 D．若直线l与曲线C没有交点，则直线l的斜率为1 【答案】BCD 【详解】对于A，显然曲线C经过坐标原点O，而坐标原点不在任一象限内，A错误； 对于B，对曲线上任意一点，则也满足， 也满足，即均在曲线上，曲线关于直线对称，B正确； 对于C，依题意，得， 若，则，，此时，满足；若， 则，，当时，，有，矛盾，因此，C正确； 对于D，由选项C知，曲线有两条渐近线，分别为及， 若直线与曲线没有交点，则与渐近线平行或重合，则的斜率为1，D正确. 故选：BCD 17．（多选）我国知名品牌小米公司的Logo（如图）具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）．则下列有关曲线的说法中正确的是（    ） A．对任意的且，曲线总关于原点对称 B．当，时，曲线与坐标轴的交点个数为5个 C．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 D．当时，曲线与直线交于，两点，则的最小值为30 【答案】ACD 【详解】对于选项A：取曲线C上点，则曲线， 点P关于原点对称点为，因为， 即点在曲线C上，故曲线C关于原点对称，故A正确； 对于选项B：当，，当时，曲线为,得，所以或， 所以曲线C于y轴有两个交点；当时，，得或， 所以曲线C与x轴有两个交点，综上，曲线C与坐标轴有4个交点，故选项B错误； 对于选项C：当，时，曲线的方程为，令，（为参数） 在曲线C上任取一点， 由 ， 因为，所以， 故曲线C上的点到原点的距离最小值为，故C正确； 对于选项D：当时，曲线为， 直线恒过点，此点正好是曲线C的上顶点， 故是直线与的一个交点，不妨设，另外一个交点为， 求的最小值即求点到直线这条直线的最小值再乘5， 设最小值为d，则， 故的最小值为，故选项D正确； 故选：ABD 18．（多选）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．曲线经过的整数点个数为3个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 【答案】CD 【详解】对于A，将，代入方程，可得，故A错误； 对于B，由A可知曲线，当时，，解得； 当时，，解得或0或1；同理可得当时，或0或1； 当，，时，，即， 由，则方程无解， 综上可得曲线经过的整数点有，，，，，， ，，共个，故B错误； 对于C，将曲线的方程等价转化为关于的一元二次方程， 则，解得， 同理可得，故C正确； 对于D，，当且仅当时，等号成立， 由，则，即的最大值为，所以圆的面积最大值为，故D正确. 故选：CD. 19．（多选）如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线就是其中之一，下列结论正确的是（   ） A．曲线上的点的横坐标取值范围是 B．曲线上的点到原点的距离最大值为 C．曲线恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D．曲线所围成的“心形”区域面积大于3 【答案】BCD 【详解】对于A，根据题意，曲线， 当时，曲线的方程为， 移项可得， 关于的一元二次方程的判别式， 解得，又因为，所以， 当时，曲线的方程为， 则曲线关于轴对称， 所以曲线上的点的横坐标取值范围是，故A错误； 对于B，当时，曲线的方程为， 则有，变形可得，当且仅当时等号成立， 又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足， 曲线上的点到原点的距离最大值为，故B正确； 对于C，曲线， 当时，，所以，即曲线经过，； 当时，方程为，有， 解得，所以只能取整数1， 当时，有，解得或，即曲线经过，， 根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，C正确； 对于D，因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，， ，围成的矩形面积， 在轴下方，图形面积大于三点，， 围成的等腰直角三角形的面积， 故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，D正确； 故选：BCD 【题型5 两曲线的交点问题】 20．已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】显然与交于点，由，得，得或，设另外两个点为，则，不妨设，已知一个交点平分另两个交点连成的线段， 当时，，此时，则，不合题意； 当时，，得，解得. 又，所以不成立， 故选：A. 21．作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（    ） A．曲线不经过第三象限 B．曲线关于直线y = x对称 C．曲线与直线x + y =－1有公共点 D．曲线与直线x + y =－1没有公共点 【答案】C 【详解】当，则方程为 对于A：若，则， 所以，即曲线不经过第三象限，故A正确； 对于B：将点代入方程得， 所以曲线关于直线y = x对称，故B正确； 对于C、D：联立方程， 由可得， 将代入方程可得， 所以方程组无解，即曲线与直线x + y =－1没有公共点， 故C错误，D正确； 故选：C. 22．曲线和公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，曲线表示圆的上半圆， 如下图所示： 因为原点到直线的距离为， 所以，曲线与直线相切，且切点在第一象限. 故选：C. 23．直线与曲线交点的坐标为 ． 【答案】和. 【详解】将直线方程与曲线方程联立得：， 解得，或， 当时，； 当时，， 因此直线与曲线交点坐标为：和. 故答案为：和 24．方程有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得， 所以，曲线与曲线有两个公共点，它们关于y轴对称， 对于曲线，，可得， 整理可得，由可得， 即曲线为圆的下半圆， 由可得，其中， 联立可得， 若方程在时有唯一根，则， 此时方程只有唯一的实根，不合乎题意， 所以，方程在只有唯一的根， 因为二次函数在时单调递减， 只需，解得. 故答案为：. 25．曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得与有两个不同的交点， 联立，可得. 易知，故， 要与有两个不同的交点，可得,解得. 故答案为:. 【题型6 求平面轨迹方程】 26．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 27．（多选）已知点，点是曲线上任意一点，直线与直线的斜率之和为常数，则（    ） A．曲线经过点 B．曲线关于原点对称 C．直线与曲线无交点 D．点到原点的距离有最小值 【答案】BCD 【详解】由题意可得，因为，所以，则可化简为，， 对于，把代入， 得 ，故曲线经过点， 故错误； 对于，设是曲线上的点，代入可得化为， 则也在曲线上，故曲线 关于原点对称，故 正确； 对于 ，联立 ，得 ，无解， 故直线 与曲线无交点，故 正确； 对于 ， ， 当时等号成立； 故 的最小值为 ，故 正确. 故选： . 28．在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设线段的中点为，点的坐标为. 因为是的中点，所以可得，即. 因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得： 故答案为：. 29．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(162015·1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为 . 【答案】 【详解】如图，以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， 因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 则其方程为. 故答案为：. 30．中，为边上的高且，动点P满足，则点P的轨迹一定过的 【答案】外心 【详解】设以H为原点，、方向为轴正方向如图建立平面直角坐标系， 因为，所以 则则， 设，则，∵，∴，即， 即点P的轨迹方程为，而直线，平分线段， 即点P的轨迹为线段的垂直平分线， 根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过的外心. 故答案为：外心. 31．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】因为点，在椭圆：上，所以， 两式相加可得，即， 又因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 所以， 设中点为，则，， 所以，即， 即中点的轨迹方程为， 故答案为： 一、单选题 1．已知A，B两点的坐标分别是，直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线AM、BM相交于点M，不妨设， 因为当时，两直线重合，不合题意，所以， 则， 因为直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍， 所以， 整理得. 故选：C. 2．已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴三点共线，且 又∵轴， ∴设，则，， ∵点在上， ∴，即. 故选：B. 3．已知曲线的方程为，则曲线关于（    ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 【答案】B 【详解】曲线的方程为， 将换为不变，原方程仍为，所以曲线关于轴对称； 将换为不变，原方程变为，所以曲线不关于轴对称； 将换为换为，原方程变为，所以曲线不关于原点对称； 将换为换为，原方程变为， 所以曲线不关于直线对称． 故选:B． 4．在平面内，设是直线的法向量，、为两个定点，，为一动点，若点满足：，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【详解】由题意知，以为原点，为轴建立直角坐标系， 设，，，， 则，， 因为， 则， 整理可得，， 可知动点的轨迹为抛物线. 故选：B 5．已知曲线C方程为，则曲线C关于（    ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．对称 【答案】B 【详解】用替换方程中的y，方程变为， 与原方程不同，故曲线C不关于轴对称，故A错误； 用替换方程中的x，方程可化为为， 与原方程相同，故曲线C关于轴对称，故B正确； 用和替换方程中的和，化简后方程变为， 故曲线C不关于原点对称，故C错误； 用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程变为， 故C不关于直线对称，故D错误. 故选：B. 6．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 7．曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，设，线段的中点为， 因为曲线关于点对称， 所以可将曲线与轴，轴围成的区域割补为直角三角形的区域， 于是曲线与轴，轴围成的区域面积就是直角三角形的面积， 即； 根据对称性，可得曲线与轴，轴围成的区域面积为， 又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为， 所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于. 故选：C. 8．已知曲线，若点在上，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以曲线关于轴，轴，原点对称，且时，曲线， 所以， 由对称性，作出曲线的大致图形如图所示， 当时，，所以原点到圆上的距离最大值为，所以的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线，若到点与直线的距离之和等于10的点的轨迹记为曲线.给出下列四个结论，其中正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．若点在曲线上，则 C．若点在曲线上，则 D．若点在曲线上，则 【答案】CD 【详解】设动点，根据点到点与直线的距离之和等于10， 所以，即， 化简得，当时，， 当时，，图象如下，    选项A,根据图象得，曲线不关于轴对称，故A错误； 选项B,若点在曲线上, 则，所以，由，得 ，所以,故B错误;选项C, 若点在曲线上，则，C正确； 选项D, 若点在曲线上， 当时，，得，故 当时，，得，故 所以，D正确，故CD正确. 故选：CD 10．下列关于曲线性质的描述正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．所围成的图形的面积小于12 【答案】ABD 【详解】把曲线中的同时换成， 方程变仍为，所以曲线关于轴对称，故A对； 把曲线中的，同时换成， 方程变仍为，所以曲线关于原点对称，故B对； 把曲线中的，同时换成， 方程变为：，所以曲线不关于直线对称，故C错； 由可得，， 所以所围成的图形的面积小于12，故D对， 故选：ABD 三、填空题 11．已知曲线，则该曲线的一条对称轴方程为 .（写出满足条件的一个方程即可） 【答案】（答案不唯一､均可） 【详解】用替换所得方程不变，所以曲线关于轴对称； 用替换所得方程不变，所以曲线关于轴对称； 将互换所得方程不变，所以曲线关于轴对称； 用替换同时用替换所得方程不变，所以曲线关于轴对称. 故答案为：（答案不唯一､均可） 12．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动， ， 即点的轨迹方程为． 故答案为： 13．2022年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美.曲线是“双纽线”，若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为直线与曲线必有公共点， 联立，可得， 由题意可知，解得或，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 14．如图，已知等腰三角形中，是的中点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知， 即， 整理可得， 即点的轨迹的方程为 （2）如下图所示: 由题意可得，当到距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时； 所以所在直线方程为 圆心到直线的距离 可得. 15．在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．求E的方程. 【答案】. 【详解】解：设圆心，半径为， 因为圆心为C的动圆过点，所以， 又圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，可得， 由上面两式消去，可得，即， 所以曲线E是抛物线其方程为：. 16．已知曲线的方程是，曲线的方程是，判断与是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由． 【答案】与有三个交点，交点坐标为、、 【详解】解：联立两个方程得方程组， 解方程组可得或或， 因此与有三个交点，且交点坐标为、、. 17．已知点P为圆C：上的动点，点A的坐标为，若 (1)当时，求B的轨迹方程； (2)讨论B的轨迹与C的位置关系． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设，，，， 由，可得，，， 又因为，可得B的轨迹方程为： （2）由，可得，，， 代入，可得B的轨迹方程为：， 所以B的轨迹是以为圆心设为，为半径的圆， 所以当时，，两圆外离； 当时，，两圆外切； 当时，，两圆相交． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$