专题06 函数的单调性与奇偶性（九大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019）

专题6 函数的单调性与奇偶性 题型1 求具体函数的单调性 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 2．（23-24高一下·全国·期中）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏·月考）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间 【分析】将写成分段函数判断即可. 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 4．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 5．（24-25高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间 【分析】由对勾函数的单调性求解即可. 【详解】函数为对勾函数， 由对勾函数的性质知，函数的单调递减区间为：，. 不能选C，因为不满足减函数的定义. 故选：D. 6．（24-25高一上·全国·月考）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和. 故选：B 7．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性. 【详解】解：函数对称轴为，开口向上， 所以函数，的单调减区间为. 故选：D 题型2 已知单调性求参数 8．若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的最值求参数 【详解】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，． 9．（24-25高一上·湖北·期末）若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】要考虑函数有意义，即根号下的式子恒大于等于0.然后根据复合函数单调性的判断方法来确定实数的取值范围. 【详解】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增. 且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为. 所以在上单调递增. 要使有意义，则在上恒成立. 当时，，因为，所以，满足，所以符合题意. 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为. 那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意. 综合以上三种情况，实数的取值范围是. 故选:C. 10．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、探求命题为真的充要条件、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 11．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 12．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 13．若是函数的单调递增区间，则实数a的值为 . 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】求出函数的单调递增区间，进而求出值. 【详解】函数的单调递增区间是， 依题意，，所以. 故答案为：0 14．（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将命题转化为关于的不等式组，即可得到答案. 【详解】命题等价于和同时成立. 分别解不等式，得到，，从而的取值范围是. 故答案为：. 题型3 判断函数的奇偶性 15．下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【详解】对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当时，，而当时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，令，无论x取何值都满足． 16．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项. 【详解】是偶函数，是奇函数，和是非奇非偶函数. 故选：B 17．（24-25高一下·山西大同·月考）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可. 【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 18．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 19．（多选题）下列给出的函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】A选项，得到，A错误；BC选项，定义域关于原点对称，且满足；D选项，定义域不关于原点对称，D错误. 【详解】A选项，的定义域为R，且， 所以为偶函数，A错误； B选项，的定义域为， ， 所以是奇函数，B正确； C选项，是定义在R上的分段函数， 当时，，； 当时，，， 且x＝0时，，所以是奇函数，C正确； D选项，的定义域为且，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数，D错误. 故选：BC. 20．（24-25高一下·广东·月考）（多选题）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在内单调递减 D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】令分母不为解出定义域判断A，利用函数奇偶性的定义判断B，举反例判断C，利用函数的运算性质判断D即可. 【详解】对于A，令，解得，则的定义域为，故A正确， 对于B，因为，所以，得到为偶函数，故B错误， 对于C，因为，，所以，则在内不可能单调递减，故C错误， 对于D，因为，所以，，则，故D正确. 故选：AD 题型4 已知奇偶性求参数 21．（24-25高一下·陕西西安·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的性质定义域关于原点对称和可得. 【详解】由题意可得， 又, 则， 所以. 故选：B 22．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 23．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，进而计算即可. 【详解】是定义在上的偶函数， 所以其定义域关于原点对称，即，所以， 因为，所以， 所以恒成立，则， 所以， 故选：C． 24．（24-25高三上·广西河池·期末）已知为奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用求出值并验证即可. 【详解】函数的定义域为，而为奇函数，则， 此时，，即为奇函数， 所以. 故选：B 25．（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义求出b的值，从而可得的值． 【详解】∵函数是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，得，即， ∴，又函数是偶函数， ∴，即，即，可得． 故 故答案为：． 26．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是偶函数，则实数的值为 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的性质有、求参数，即可得. 【详解】由题设，则，得恒成立，故， 由偶函数的定义域关于原点对称，则，可得， 所以. 故答案为：3 27．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质可求的值，故可求. 【详解】因为是奇函数，故， 故恒成立，故，或， 当时，函数定义域为，不关于原点对称，舍， 故，此时，故， 故答案为：. 28．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的奇函数，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由奇函数的性质有求参数，注意验证是否满足题设. 【详解】由题意，则，所以，且定义域为R， 而，是奇函数，满足题设. 故答案为：2 题型5 由奇偶性，求解析式 29．（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 30．已知偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】设，可得出，求出的表达式，利用偶函数的性质可得出函数在时的解析式. 【详解】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，． 故选：D. 31．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 32．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、根据图像判断函数单调性、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 33．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 34．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）令，则，再根据已知结合函数的奇偶性即可得解； （2）根据单调性的定义即可求解. 【详解】（1）当时，则， 又因为为奇函数，则， 所以当时，； （2）函数在单调递增， 证明如下：当时，， 对任意的且， ， 因为且，则， 所以，即， 所以函数在单调递增. 35．（24-25高一上·四川宜宾·期末）定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． (1)求的解析式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题、对勾函数求最值 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，进而代入求出，得到解析式，验证后满足要求； （2）先求出在上的最大值，从而得到，求出答案. 【详解】（1）是R上的奇函数， ， ∴， 又， ∴， ， 此时，满足是定义在R上的奇函数； （2），， ∴当时，， 由对勾函数性质可得，在上单调递减， 故， ∴， 又是奇函数， ， ，， 或. 题型6 由奇偶性，求函数值 36．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、奇偶函数对称性的应用 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 37．（24-25高一上·北京·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（   ） A．减函数且最小值是4 B．减函数且最大值是4 C．增函数且最小值是4 D．增函数且最大值是4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】奇偶函数对称性的应用、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反求解即可. 【详解】偶函数在上是减函数且最小值是4，所以， 则在上是增函数且最小值为， 故选：C 38．（23-24高三下·陕西安康·月考）已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】奇偶函数对称性的应用、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案. 【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案. 39．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】将函数解析式化为，令，判断的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】， 令，则其定义域为，又， 所以为奇函数，则， 所以，则. 故选：B. 40．（24-25高一下·云南昆明·期末）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、奇偶函数对称性的应用 【分析】将函数解析式变形为，设，知其为奇函数，从而易推得，代入计算即得. 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 41．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可. 【详解】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以. 故答案为：4. 题型7 由单调性与奇偶性，解不等式 42．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及单调性脱去法则“f”求解不等式. 【详解】由是定义在上的偶函数，得， 又在上单调递减，因此，整理得，解得， 所以满足不等式的的取值范围是. 故选：C 43．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得. 【详解】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D 44．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，求解即得的取值范围. 【详解】因是定义在上的奇函数， 由可得， 又在单调递增，则函数在上单调递增， 则得，解得. 故选：B 45．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由题可得在R上的单调性，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】是定义域为的奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在R上单调递减. 又，则， 则. 故选：C 46．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【详解】由题意得．关于x的不等式，即，所以．又定义在上，且当时，单调递增，所以，解得或． 易错警示 解题中易忽视函数的定义域． 47．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇偶性单调性得到，求解即可. 【详解】由题意， 等价于， 又奇函数在上单调递增， 可知在R单调递增， 所以可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 题型8 由单调性与奇偶性，比较大小 48．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据偶函数性质得，，再利用其单调性即可比较出大小. 【详解】因为偶函数，则，， 又因为其在区间上单调递减，则， 即. 故选：A. 49．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）内单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】比较函数值的大小关系、奇偶函数对称性的应用 【分析】利用函数为偶函数以及在[0，+∞）内单调递减即可判断函数值的大小， 【详解】解∶∵f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)在[0，+∞）内单调递减， 由，∴ 故选∶D． 50．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数在上单调递减，将各函数值转化到定义在上的函数值， 由偶函数的定义可得，即可由单调性比较得出． 【详解】因为是上的偶函数，所以，而在上单调递减，所以 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题． 51．已知函数的图象的对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】比较函数值的大小关系、二次函数的图象分析与判断 【解析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为，可得，且函数在上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解. 【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为， 且函数在上递增， 根据二次函数的对称性可知， 又，所以， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的单调性以及对称性比较函数值的大小，属于基础题. 52．（24-25高一上·广东珠海·期末）已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可. 【详解】因为是上的偶函数，在上单调递增， 所以在上单调递减，. 又因为， 因为，在上单调递减, 所以， 即. 故选：B. 题型9 抽象函数的单调性与奇偶性 53．（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的应用 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 54．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解. 【详解】由，用代换，可得， 联立方程组，可得，即， 又由函数为偶函数，且，可得与同号， 所以，可得函数是周期为的函数， 因为，与同号，则， 令，可得，所以， 则. 故选：C. 55．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解. 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据所给函数性质，灵活赋值，恰当变形是解决问题的关键. 56．已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性 【分析】利用特殊值，令，，或令，代入计算判断A；令，根据函数单调性的定义判断B；利用判断C；利用特殊值结合函数奇偶性的定义判断D. 【详解】选项A：解法一：令，，则由题意得， 将代入解得，A说法正确； 解法二：令，则由题意得，即，解得， 若，令，，则，得，与矛盾，故，A说法正确； 选项B：令，则由题意得， 将代入得，故不是减函数，B说法错误； （另解：也可以根据，直接判断不是减函数） 选项C：由B可知， 所以，C说法正确； 选项D：令，，则由题意可得， 将，代入解得， 令，则①， 由B可知，所以， 代入①式可得，即， 所以为奇函数，D说法正确； 故选：ACD 57．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．是偶函数 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性 【分析】利用赋值法、特殊值法结合函数的奇偶性一一判定选项即可. 【详解】令，可得，解得，故C错误； 令，，则，由偶函数的定义知，是偶函数，故D正确； 令，则， 由是偶函数，则①， 令，则②， ①②可得， 又，则，代入①可得，，故AB正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛，本题的关键是结合选项对抽象函数的等式给出不同的赋值，从而判断选项的正误. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 函数的单调性与奇偶性 题型1 求具体函数的单调性 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·期中）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 3．（24-25高一上·江苏·月考）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 5．（24-25高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 6．（24-25高一上·全国·月考）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 7．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 题型2 已知单调性求参数 8．若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 9．（24-25高一上·湖北·期末）若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 12．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 13．若是函数的单调递增区间，则实数a的值为 . 14．（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 题型3 判断函数的奇偶性 15．下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 16．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·山西大同·月考）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 19．（多选题）下列给出的函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·广东·月考）（多选题）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在内单调递减 D． 题型4 已知奇偶性求参数 21．（24-25高一下·陕西西安·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 22．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 24．（24-25高三上·广西河池·期末）已知为奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 25．（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 26．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是偶函数，则实数的值为 . 27．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数是奇函数，则 ． 28．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的奇函数，则 ． 题型5 由奇偶性，求解析式 29．（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 30．已知偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 32．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 33．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 34．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 35．（24-25高一上·四川宜宾·期末）定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． (1)求的解析式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围． 题型6 由奇偶性，求函数值 36．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 37．（24-25高一上·北京·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（   ） A．减函数且最小值是4 B．减函数且最大值是4 C．增函数且最小值是4 D．增函数且最大值是4 38．（23-24高三下·陕西安康·月考）已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 39．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 40．（24-25高一下·云南昆明·期末）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 41．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 题型7 由单调性与奇偶性，解不等式 42．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 46．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 47．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 题型8 由单调性与奇偶性，比较大小 48．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 49．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）内单调递减，则（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 51．已知函数的图象的对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·广东珠海·期末）已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型9 抽象函数的单调性与奇偶性 53．（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 54．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 55．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 56．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 57．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．是偶函数 1 学科网（北京）股份有限公司 $$