专题04 二次函数与一元二次方程、不等式（十大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019）

专题4 二次函数与一元二次方程、不等式 题型1 解一元二次不等式（不含参数） 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·湖南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二下·天津·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·湖南·期末）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 5．（24-25高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ． 题型2 解一元二次不等式（含有参数） 6．（24-25高一上·陕西渭南·月考）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 9．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 10．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 11．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 12．（23-24高三上·湖南·月考）若0<a<1，则不等式(a－x) >0的解集是 ． 题型3 解分式不等式 13．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 14．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 15．（23-24高一上·河南南阳·月考）不等式的解集为 . 16．（24-25高一上·黑龙江大庆·月考）不等式的解集是 ． 17．（23-24高一上·江苏常州·期中）不等式的解集是 . 18．（24-25高三上·上海·期中）不等式的解集为 . 19．（2023高三·上海·专题练习）不等式的解集是 ． 题型4 一元二次不等式与韦达定理及判别式 20．若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 21．（多选题）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·北京·期中）关于的方程的两个实数根，满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5 由一元二次不等式的解求参数 24．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高三下·广东深圳·月考）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）若不等式的解集为，则 . 28．若不等式的解集为，则 ． 题型6 一元二次不等式的恒成立问题 29．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 30．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（2025高一上·河北保定·月考）“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 33．（24-25高一下·云南昭通·月考）若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 34．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 35．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 题型7 一元二次不等式有解问题 36．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 38．（24-25高一上·新疆·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 39．（23-24高三上·上海·期中）若存在，使得，则实数a的取值范围 ． 题型8 二次函数的零点问题 40．已知二次函数与x轴的正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·四川乐山·期中）函数在上有零点，则实数的最大值是（   ） A． B． C． D． 42．（23-24高一上·广东佛山·期末）若函数在上恰有一个零点，则（   ） A． B． C．或 D．或 43．（24-25高一上·河北·月考）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型9 一元二次不等式的实际应用 45．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 46．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 47．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（多选题）汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 49．（23-24高三上·山西吕梁·月考）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 51．（25-26高一上·成都·月考）已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为 . 52．（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 题型10 三个“二次”关系的应用 53．（24-25高二下·陕西西安·期中）下列命题错误的是（    ） A．若，则的最小值是 B．命题“，”的否定是“，” C．若不等式的解集是，则的解集是 D．“”是“不等式对任意都成立”的充分不必要条件 54．（24-25高三下·山东菏泽·月考）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 55．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．已知U为全集，“”的充要条件是“” B．若集合中只有一个元素，则 C．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 D．“”是“”的充分且不必要条件 56．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知不等式的解集为，则实数 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 二次函数与一元二次方程、不等式 题型1 解一元二次不等式（不含参数） 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】原不等式即为，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 2．（2025高二下·湖南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集. 【详解】令，所以或. 解得，. 所以不等式的解集是. 故选：A. 3．（24-25高二下·天津·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意直接解一元二次不等式即可. 【详解】因为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 4．（2025高二下·湖南·期末）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出对应方程的根，结合对应二次函数的开口方向即可求解. 【详解】由得或， 因为的图象开口向上，所以不等式的解集为. 故选：B 5．（24-25高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ． 【答案】R 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据根的判别式，数形结合得到不等式解集. 【详解】开口向上，， 二次函数图象在轴上方，故不等式解集为R. 故答案为：R 题型2 解一元二次不等式（含有参数） 6．（24-25高一上·陕西渭南·月考）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 7．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 8．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据给定的解集，用表示，代入并解不等式即可. 【详解】不等式的解集为， 则，且是方程的两根， 则，即， 不等式可化为，即， 解得或， 故不等式的解集是或. 故选：D. 9．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 10．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 11．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】利用给定的解集求出与的关系，再代入解不等式. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根，且， 则，于是，不等式化为， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 12．（23-24高三上·湖南·月考）若0<a<1，则不等式(a－x) >0的解集是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】将原不等式化为，再根据的取值范围，得到与的关系，从而得解； 【详解】解:原不等式即， 由，得，所以． 所以不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于基础题. 题型3 解分式不等式 13．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 14．（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 解得且，即， 所以不等式的解集是. 故答案为： 15．（23-24高一上·河南南阳·月考）不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式不等式 【分析】原不等式化简为，即，则，即可得出答案． 【详解】， ，即，则，解得， 原不等式的解集为． 故答案为：． 16．（24-25高一上·黑龙江大庆·月考）不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式的求解方法，等价转化为整式不等式，注意分母不为零，可得答案. 【详解】由不等式，则可得，解得. 故答案为：. 17．（23-24高一上·江苏常州·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】移项通分转化为一元二次不等式即可. 【详解】.解得或. 则解集为， 故答案为：. 18．（24-25高三上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式不等式 【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解． 【详解】, 故答案为：． 19．（2023高三·上海·专题练习）不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，即可求解. 【详解】不等式等价于，解得. 故不等式的解集为. 故答案为：. 题型4 一元二次不等式与韦达定理及判别式 20．若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由二次函数的图象可得. 21．（多选题）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合. 22．（24-25高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 23．（24-25高一上·北京·期中）关于的方程的两个实数根，满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】由零点存在性判断即可求. 【详解】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，， 所以，解得. 故选：C 题型5 由一元二次不等式的解求参数 24．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. 25．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】分类时，分别得出解析计算求参. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 26．（24-25高三下·广东深圳·月考）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由关于的不等式的解集是，分析得到且即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是，所以可知， 所以原不等式可化为 显然是方程的两根， 所以只须，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 27．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）若不等式的解集为，则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据不等式的解集，结合韦达定理可解. 【详解】不等式的解集为， 和是方程的两根，，. 故答案为：2. 28．若不等式的解集为，则 ． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】不等式的解集为，则是方程的两个实数根， 故，解得，故， 故答案为：0 题型6 一元二次不等式的恒成立问题 29．（24-25高一上·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 30．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 31．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 32．（2025高一上·河北保定·月考）“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】分和，当，利用条件得到，即可求解. 【详解】当时，得到，不合题意， 当时，由题知，解得， 故选：A. 33．（24-25高一下·云南昭通·月考）若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立，数形结合得到参数不等式，求解即得. 【详解】由题意可得，解得：， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 34．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据判别式，结合分类讨论即可求解. 【详解】当时，恒成立； 当时，要使恒成立，只需且，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 35．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为： 题型7 一元二次不等式有解问题 36．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、求二次函数的值域或最值 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 37．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 因此有，所以实数的最小值为， 故选：C 38．（24-25高一上·新疆·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可. 【详解】设，则在的最大值为4， 因为关于的不等式在上有解， 即，解得， 故答案为：. 39．（23-24高三上·上海·期中）若存在，使得，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定的不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】当时，，显然，当且仅当取等号， 由存在，使得，得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 题型8 二次函数的零点问题 40．已知二次函数与x轴的正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【详解】由题意得所以． 41．（24-25高一上·四川乐山·期中）函数在上有零点，则实数的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为0及符号分类讨论可得. 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，不符合题意； 当时，，零点为，，符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ① 若，解得， 此时，故零点为0或，符合题意； ② 若，解得，同上成立； ③若，要使函数在有零点， ，又，即； 综上可得 . 故选：D. 42．（23-24高一上·广东佛山·期末）若函数在上恰有一个零点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据函数零点的定义，结合二次函数的图象与性质，分，和，列出不等式，即可求解． 【详解】由函数在上恰有一个零点， 当时，，令，解得，符合题意， 当时，由，要使函数在上恰有一个零点， 则，即， 解得，即， 当时，在上只有一个零点，符合题意； 当时，要使函数在上恰有一个零点， 则或，即或， 解得或，即或， 时，在上只有一个零点，符合题意； 综上，实数的取值范围为或. 故选：C. 43．（24-25高一上·河北·月考）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】令，由题意可得，解之即可得解. 【详解】令， 因为二次方程在上有两个不相等的实根， 所以函数在上有两个不同的零点， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 44．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题，，，即，即在上有解， 设，则，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，则，所以. 故选：B. 题型9 一元二次不等式的实际应用 45．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 46．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】如图，设风暴中心最初在A处，经后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则，所以，即，两边平方并化简，整理得，解得或（舍去）.所以进港避风的时间最迟应在13点40分. 47．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 48．（多选题）汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），即乙车超速 49．（23-24高三上·山西吕梁·月考）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 50．（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 51．（25-26高一上·成都·月考）已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】依题意，征附加税x元（叫作税率）时，每年销售量将减少10x万瓶，则销量变为万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则有，解得. 52．（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、一元二次不等式的实际应用 【分析】根据已知有，应用基本不等式可得，由换元法求用纸量最少对应. 【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 题型10 三个“二次”关系的应用 53．（24-25高二下·陕西西安·期中）下列命题错误的是（    ） A．若，则的最小值是 B．命题“，”的否定是“，” C．若不等式的解集是，则的解集是 D．“”是“不等式对任意都成立”的充分不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特称命题的否定及其真假判断、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】A：利用基本不等式求最值；B：根据含一个量词的命题的否定方法得到结果；C：先根据韦达定理求解出的值，然后可求的解集；D：分析不等式对一切x都成立时的取值范围，然后作出判断. 【详解】对于A：由于，则， 当且仅当，即时等号成立，命题正确，故A不符合题意； 对于B：修改量词，否定结论可得命题的否定为：“，”， 命题正确，故B不符合题意； 对于C：因为的解集是，所以，所以， 所以，解得，命题正确，故C不符合题意； 对于D：当时，恒成立， 当时，若不等式对一切x都成立， 则，解得， 综上，时，不等式对一切x都成立， 所以“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件， 命题错误，故D符合题意. 故选：D. 54．（24-25高三下·山东菏泽·月考）若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由基本不等式，得到，转化为恒成立，结合一元二次不等式的解法，即可得到答案. 【详解】由基本不等式，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，即恒成立， 又由不等式，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 55．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．已知U为全集，“”的充要条件是“” B．若集合中只有一个元素，则 C．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 D．“”是“”的充分且不必要条件 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、判断命题的充分不必要条件、解含有参数的一元二次不等式、根据集合中元素的个数求参数 【详解】对于A，等价于A是B的子集，等价于，即“”的充要条件是“”，故A正确；对于B，当时，集合A中也只有一个元素，故B错误；对于C，因为关于x的不等式的解集为，所以，且，3是的两个根，所以由根与系数的关系得，则不等式可化为，解得，故C正确；对于D．由“”可得“”，但“”，当时，“”就不成立，故D正确． 56．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知不等式的解集为，则实数 ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据韦达定理可求参数的值，从而可得它们的乘积. 【详解】因为的解集为， 故的两个解为，故， 故，故， 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$