青岛版八年级数学下学期期末测试（二）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

八年级数学下学期期末测试卷（二） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．要使代数式有意义，的取值应满足（　　） A． B． C． D． 3．若，则的立方根是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 4．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．ac＜bc B．＞ C．﹣a＜﹣b D．a﹣1＜b﹣1 6．将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C． D．随的增大而减小 7．如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（   ） A．27 B．18 C．24 D．20 8．甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．乙车比甲车先到城 D．乙车比甲车先出发 9．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点、，连接，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，若，菱形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为 ． 12．不等式组的最小整数解为 ． 13．正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点的横坐标为2，则这个正比例函数的解析式是 ． 14．如图，直线与直线交于点，则方程组的解是 ． 15．如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 3． 解答题：本小题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）（1）化简：． （2）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； (1)平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； (2)将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 18．（8分）20．如图，在四边形中，，点E是的中点，连接交于点O，且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知条件：①；②；③平分，请从这三个条件中选择1个，使得四边形是矩形，并加以证明． 19．（9分）先化简，再求值：，其中． 20．（10分）如图，直线与直线相交于点． (1)确定直线的函数表达式． (2)直线与直线与轴分别相交与、两点，求的面积． (3)直接写出关于的不等式 的解集． 21．（10分）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某学校为提升学生核心素养，培养学生的阅读能力，激发学生的学习兴趣，准备为学生购买A、B两种与数学文化有关的图书．经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种图书共200本，其中购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的3倍，若B种图书每本50元，设购进两种图书的总费用为w元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点，点，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)直接写出结果:线段AB的长________，点C的坐标__________； (2)求直线CD的函数表达式； (3)点P在直线CD上，使得，求点P的坐标． 23．（12分）（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接， ∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵ ∴______° ∴______． 即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学下学期期末测试卷（二） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 2．要使代数式有意义，的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答． 本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得，且， 故， 故选：D． 3．若，则的立方根是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根的计算，熟练掌握条件和定义是解题的关键．根据，，确定，解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴8的立方根是2． 故选：D． 4．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意； B、，，故一定是二次根式，符合题意； C、，若时，无意义，不合题意； D、是三次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 5．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．ac＜bc B．＞ C．﹣a＜﹣b D．a﹣1＜b﹣1 【答案】D 【分析】根据不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变，同时乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变，可对A，B，C三个选项进行判断；根据不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变，可对D选项进行判断． 【详解】A、∵a＜b，当c＜0时，ac＞bc，故本选项错误； B、∵a＜b，∴，故本选项错误； C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，故本选项错误； D、∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，易错点是不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变． 6．将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C． D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象平移等知识，先由一次函数图象的平移得到直线解析式，结合一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象平移及一次函数的图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度后得到直线， 平移后的直线为， A、， 直线过第一、二、三象限，选项说法错误，不符合题意； B、当时，，解得，则直线与x轴交于，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、， 直线的性质是随的增大而增大，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 7．如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（   ） A．27 B．18 C．24 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定与性质，由，的长度结合，判断的形状，得的长度，可得的周长． 【详解】解：在中，，，，将沿着的方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 8．甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．乙车比甲车先到城 D．乙车比甲车先出发 【答案】D 【分析】根据图象逐项分析判断即可． 【详解】由图象知： A．甲车的平均速度为=，故此选项正确； B．乙车的平均速度为，故此选项正确； C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确； D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键． 9．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点、，连接，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，可判断A选项结论；由三角形内角和定理，可得，再根据旋转的性质，得到，可判断B选项结论；根据旋转的性质和等边对等角的性质，可判断C、D选项结论． 【详解】解：由旋转的性质可知，， A选项结论正确，不符合题意； ，， ， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， B选项结论正确，不符合题意； 由旋转的性质可知，，，， ， ， 与不垂直， C选项结论错误，符合题意； 由旋转的性质可知，，，， ，， ， D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握旋转的性质是解题关键． 10．如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，若，菱形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作高线、菱形性质及面积公式以及三角函数，解题的关键是过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，则，；根据菱形的性质，则，根据，求出，；根据勾股定理求出，推出，根据，即可． 【详解】由作图可知，，，， 过点作交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11．在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为 ． 【答案】-3 【分析】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解. 【详解】∵点P(－1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称， ∴p=-3，q=1, ∴pq=-3×1=-3. 故答案为-3. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 12．不等式组的最小整数解为 ． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出最小整数解即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的最小整数解为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 13．正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点的横坐标为2，则这个正比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】先根据点P的横坐标为2，利用一次函数求出点P的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：令，则， ∴点P的坐标为（2，-1）， ∵点P在正比例函数图象上， ∴， ∴， ∴正比例函数解析式为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数函数值，待定系数法求正比例函数解析式，正确求出点P的坐标是解题的关键． 14．如图，直线与直线交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两个一次函数图象交点的横纵坐标即为由两个函数解析式组成的二元一次方程组的解，是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系可得方程组的解是，对比方程组，可得第二方程组中与第一个方程组中对应，第二方程组中与第一个方程组中对应，故，由此解答即可． 【详解】∵直线与直线交于点，则 ∴的解是 在方程组中， 解得 故答案为：． 15．如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作交于，连结、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案． 【详解】解：过作交于，连结、，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， 当时，取得最小值此时， 周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称最短路线问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质． 3． 解答题：本小题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（8分）（1）化简：． （2）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查二次根式混合运算、解一元一次不等式组的整数解等知识，熟练掌握二次根式混合运算、解一元一次不等式组的方法是解决问题的关键． （1）利用二次根式性质先化简，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案； （2）解出不等式组的每一个不等式，再由不等式组解集的求法得到答案，取出整数解求和即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为，则的整数为， 不等式组所有整数解的和为． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； (1)平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； (2)将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，点坐标为 (2)作图见解析，坐标为 (3)旋转中心P点的坐标 【分析】本题主要考查了平移、旋转作图，求旋转中心，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （2）先作出点A、B、C旋转后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （3）根据图形得出旋转中心P点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，点坐标为； （2）解：如图，即为所求，坐标为； （3）解：如图，连接、、交于一点，该点为旋转中心P，其坐标为． 18．（8分）20．如图，在四边形中，，点E是的中点，连接交于点O，且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知条件：①；②；③平分，请从这三个条件中选择1个，使得四边形是矩形，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，结合已知条件可得，即可证得结论； （2）根据等腰三角形的性质、矩形的判定和菱形的判定进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点，即， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）若选择①； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不能说明四边形是矩形； 若选择②； ∵，点E是的中点， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； 若选择③平分； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． ．   【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形和菱形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 19．（9分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算法则． 根据分式的运算法则进行化简求值，再代入，根据二次根式的性质求值． 【详解】解： ， 代入，原式． 20．（10分）如图，直线与直线相交于点． (1)确定直线的函数表达式． (2)直线与直线与轴分别相交与、两点，求的面积． (3)直接写出关于的不等式 的解集． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，再结合图象解不等式． （1）将代入，得出，即，再代入即可求解． （2）分别求得的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）根据函数的图象确定不等式的解集即可． 【详解】（1）将代入， ∴ ∴， ∴， 将代入得 解得；， ∴； （2）解：在中，当时，，则 在中，当时，，则 ∴ 又∵ ∴的面积为． （3）根据函数图象可得不等式 的解集为． 21．（10分）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某学校为提升学生核心素养，培养学生的阅读能力，激发学生的学习兴趣，准备为学生购买A、B两种与数学文化有关的图书．经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种图书共200本，其中购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的3倍，若B种图书每本50元，设购进两种图书的总费用为w元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种图书150本，种图书50本，费用最少，最少费用为5000元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【详解】（1）当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； （2）购进种图书不少于60本，且不超过种图书本数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，最小，最小值为（元）， 种图书：（本）． 答：购买种图书150本，种图书50本，费用最少，最少费用为5000元． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点，点，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)直接写出结果:线段AB的长________，点C的坐标__________； (2)求直线CD的函数表达式； (3)点P在直线CD上，使得，求点P的坐标． 【答案】(1)5， (2) (3)或 【分析】（1）先根据点的坐标可得，再利用勾股定理可得，然后根据折叠的性质可得，从而可得，由此即可得点的坐标； （2）设点的坐标为，则，先根据折叠的性质可得，再在中，利用勾股定理可得，从而可得，然后利用待定系数法即可得； （3）设点的坐标为，根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 轴轴， ， 由折叠的性质得：， ， 点的坐标为， 故答案为：5，． （2）解：设点的坐标为，则， 由折叠的性质得：， 在中，，即， 解得， ， 设直线的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． （3）解：由题意，设点的坐标为， ， ， ， ， 解得或， 当时，，即此时， 当时，，即此时， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、求一次函数的解析式、一次函数的几何应用，熟练掌握折叠的性质和待定系数法是解题关键． 23．（12分）（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接， ∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵ ∴______° ∴______． 即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值． 【答案】（1）；等边；90 ；；（2），（或），见解析；（3）最小值为 【分析】本题考查了旋转三角形的问题，等边三角形，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可． （2）将绕A点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接、，证明是等边三角形，得，则，当点、、、四点共线时，最小，证明，在中 ，根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：（1）  等边  90   （2），（或） 证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、． ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点、、、四点共线时，最小 ∵， ∴， 在中， 即的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$