精品解析：陕西省榆林市绥德中学2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

全国名校第三次月考试卷 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合M＝{x|﹣4＜x≤2}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（　　） A. {2} B. {x|﹣4＜x≤﹣2} C. {x|﹣4＜x≤2} D. {x|﹣2≤x≤2} 2. 若复数（a为实数，为虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（ ） A. －2 B. 1 C. 0 D. －1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年汤姆斯杯暨尤伯杯羽毛球团体锦标赛于4月27日在四川成都开赛．为保证锦标赛顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天，丙和丁各去一天，则不同的安排方法有（ ） A. 140种 B. 210种 C. 420种 D. 840种 6. 函数与在其定义域内均单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数和，则（ ） A. B. C. D. 在复平面对应的点在第二象限 10. 已知函数为上奇函数，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意都有 B 图象关于直线对称 C. 函数的周期是2 D. 11. 在平面直角坐标系中，是圆上的两个动点，点坐标为，则下列判断正确的有（ ） A. 面积的最大值为1 B. 的取值范围为 C. 若为直径，则 D. 若直线过点.则点到直线距离最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则_______． 13. 在△中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为________． 14. 在侧棱长为2的正三棱锥中，，，两两垂直，､分别为､的中点，则三棱锥的外接球的表面积为___________，若为上的动点，是平面上的动点，则的最小值是___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 为鉴定某疫苗的效力，将只实验鼠分为两组，其中一组接种疫苗，另一组不接种疫菌，然后对这只实验鼠注射病原菌，其结果列于下表： 发病 没发病 合计 接种 没接种 合计 （）求，的值，并判断是否有的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关? （）若将（）中频率视为概率，从该批实验鼠中任取只，设其中接种疫苗且发病的实验鼠的只数为随机变量，求的期望． 参考数据：独立性检验界值表： 其中，，（注：保留三位小数）． 16. 已知数列满足，. （1）记，求证：数列为等比数列； （2）求的前项和. 17. 在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，O为AD的中点，DC//AB，DC⊥AD，PA=PD，PO=AB=2DC，BC=CD， （1）求证：平面PBC⊥平面POC； （2）求平面PAB与平面PCB所成角的余弦值. 18. 如图，已知F是抛物线的焦点，过点的直线l与抛物线交于两个不同的点M，N（M是第一象限点），MN的垂直平分线交抛物线于P，Q．当直线l的斜率为时，． （1）求抛物线方程； （2）若，求的最小值． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国名校第三次月考试卷 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合M＝{x|﹣4＜x≤2}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（　　） A. {2} B. {x|﹣4＜x≤﹣2} C. {x|﹣4＜x≤2} D. {x|﹣2≤x≤2} 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数y＝的定义域，得到集合N，再利用集合的交集的定义求解． 【详解】集合N＝{x|y＝}＝{x|（x+2）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥4}， ∴M∩N＝{x|﹣4＜x≤-2}． 故选：B． 2. 若复数（a为实数，为虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（ ） A. －2 B. 1 C. 0 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则化简复数，再利用复数的几何意义得到关于a的不等式组，再结合选项进行求解. 【详解】, 在复平面内对应的点在第二象限内， ∴,解得; 结合选项，故实数a值可以是－2． 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 故. 故选：A. 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设，则对任意的，， 则，所以函数是偶函数，排除B、D． 当时，，则，所以，排除C． 故选：A． 5. 2024年汤姆斯杯暨尤伯杯羽毛球团体锦标赛于4月27日在四川成都开赛．为保证锦标赛顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天，丙和丁各去一天，则不同的安排方法有（ ） A. 140种 B. 210种 C. 420种 D. 840种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合公式即可得解. 【详解】由已知，甲的安排方法为种，乙的安排方法为种，剩余的两天安排丙、丁有种方法，故共有（种）． 故选：C 6. 函数与在其定义域内均单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出两个函数都单调递减的的范围，再利用充分不必要条件求得答案. 【详解】函数的定义域包含，的定义域为， 依题意，，解得，而选项中是集合真子集的是， 所以函数与在其定义域内均单调递减的一个充分不必要条件是． 故选：D 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将向量转化为，进而根据平面向量的数量积求得答案. 【详解】由题意，得， ， 故. 故选：D. 8. 若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原不等式可化简为，设，，作出函数的图象，由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线，进而求得答案． 【详解】解：原不等式可化简为，设，， 由得，，易知函数在单调递减，在单调递增， 作出的图象如下图所示， 而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有两个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），又，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数和，则（ ） A. B. C. D. 在复平面对应的点在第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数模的公式、运算法则、共轭复数的定义、复数对应的点判断各选项即可. 【详解】由，，则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，在复平面上对应的点为，在第四象限，故D错误． 故选：AC. 10. 已知函数为上的奇函数，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意都有 B. 图象关于直线对称 C. 函数的周期是2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的周期性，对称性和奇偶性依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为为偶函数，所以， 所以，，故A正确. 对选项C，因为知函数为上的奇函数，所以， 因为，， 所以，则函数的周期是且，故C错误. 对选项B，函数周期是4，所以， 因为，所以， 所以图象关于直线对称，故B正确. 对选项D，因为函数的周期是4， 所以，又，函数为上的奇函数， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 在平面直角坐标系中，是圆上的两个动点，点坐标为，则下列判断正确的有（ ） A. 面积的最大值为1 B. 的取值范围为 C. 若为直径，则 D. 若直线过点.则点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形面积公式即可判断A，根据直线与圆相切可判断B,根据向量的加法法则可判断C,根据点到直线的距离可判断D. 【详解】，（如图1） 由于，所以， 当时，取最大值为1，故 的面积最大值为1，A正确； 设当直线分别与圆相切时，此时最大，（如图2） 由于，所以在中， ，因此，故B正确； 当是直径时，是的中点，则,故C错误； 当时，此时圆心到直线的距离最大，且最大值为 ,（如图3） 故点到直线距离最大值为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】首先判断渐近线的倾斜角，再求的值. 【详解】由条件可知双曲线的其中一条渐近线方程是， 因为两条渐近线夹角是，所以直线的倾斜角是或， 即或. 故答案为：或 13. 在△中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用正弦定理及和角公式可得，再结合条件及正弦定理可得，然后利用余弦定理及基本不等式即求. 【详解】∵在△中，角所对的边分别是，， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， 因为， ∴，即， 又， ∴，即，当且仅当时取等号， ∴的最小值为为12. 故答案为：12. 【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把化为，再利用余弦定理及基本不等式即求. 14. 在侧棱长为2的正三棱锥中，，，两两垂直，､分别为､的中点，则三棱锥的外接球的表面积为___________，若为上的动点，是平面上的动点，则的最小值是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由三角形ADC与AEC为直角三角形，可得斜边AC中点M即为三棱锥的外接球球心，从而即可求解；当最小时，平面，则Q在线段DG上，将三角形沿翻折，使之与三角形共面，从而即可计算最短距离. 【详解】解：因为DA ，DB，DC两两垂直，， 所以，因为M，E分别为AC、AB的中点， 所以， 所以，故M为三棱锥的外接球球心， 所以三棱锥的外接球的表面积； 在正三棱锥中，E为AB中点， ，平面， 设CE中点为G，连接， 为AC中点，且M G=A E=， 平面， ∴即为在平面上的射影， 当最小时，平面，故Q在线段DG上. 如图，将三角形沿翻折，使之与三角形共面， 此时，的最小值，即为点到的距离， 过点作于点， 又， ， ， ， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 为鉴定某疫苗的效力，将只实验鼠分为两组，其中一组接种疫苗，另一组不接种疫菌，然后对这只实验鼠注射病原菌，其结果列于下表： 发病 没发病 合计 接种 没接种 合计 （）求，的值，并判断是否有的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关? （）若将（）中的频率视为概率，从该批实验鼠中任取只，设其中接种疫苗且发病的实验鼠的只数为随机变量，求的期望． 参考数据：独立性检验界值表： 其中，，（注：保留三位小数）． 【答案】（1），，有；（2）0.3. 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，并完善列联表，然后计算，再与临界值比较即可求解； （2）由题意可知实验鼠中接种疫苗且发病的只数服从二项分布，然后利用二项分布的性质即可求解 【详解】（），，列联表如下： 发病 没发病 合计 接种 没接种 合计 所以，有的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关． （）由（）的列联表可知，接种疫苗且发病的实验鼠的只数占样本总数的频率为， 从而在抽取的实验鼠中接种疫苗且发病的概率为， 所以， 所以随机变量的期望为． 16. 已知数列满足，. （1）记，求证：数列为等比数列； （2）求的前项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用给定的递推公式分段计算、推导作答. (2)由(1)求出数列的通项公式及前n项和，再由已知可得，借助并项求和法计算作答. 【小问1详解】 依题意，因，则， 于是得，而，则， 所以是首项为6，公比为2等比数列. 【小问2详解】 由(1)知，，则，记数列的前n项和为， 则， 因，则，从而有 因此，， 所以的前项和. 17. 在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，O为AD的中点，DC//AB，DC⊥AD，PA=PD，PO=AB=2DC，BC=CD， （1）求证：平面PBC⊥平面POC； （2）求平面PAB与平面PCB所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面PAB与平面PCB所成角的余弦值. 【小问1详解】 连OB， 在三角形PAD中，且O为AD的中点，所以， 又平面平面ABCD，平面平面平面PAD， 所以平面ABCD， 又平面ABCD，所以. ，所以， 在中，， 在中，，又， 所以，所以， 又，所以平面POC， 平面PBC，所以平面平面POC. 【小问2详解】 如图，以O为原点，OA、OP所在直线分别为x轴、z轴，过O且垂直于AD的直线为y轴建立空间直角坐标系. 设，则，易求， 则， 所以 设平面PAB的一个法向量为， 则所以 取，则，所以. 设平面PCB的一个法向量为， 则，所以， 取，则，所以. 所以， 即平面PAB与平面PCB所成角的余弦值为. 18. 如图，已知F是抛物线的焦点，过点的直线l与抛物线交于两个不同的点M，N（M是第一象限点），MN的垂直平分线交抛物线于P，Q．当直线l的斜率为时，． （1）求抛物线的方程； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设点M的坐标为，由已知条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设直线l的方程为及其点，，将点，代入抛物线方程作差，即可得到，由此可以求得故MN中点坐标为，设出PQ方程为，与抛物线的方程联立得到关于的一元二次方程，利用弦长公式求出，最后用导数求其最值即可. 【小问1详解】 设点M坐标为，根据题意可列出方程组， 可解得或因此可得到抛物线方程为或 【小问2详解】 由于，可知抛物线方程为， 设直线l的方程为，，, 即和，两式相减为，即， 则， 故MN中点坐标为， 设PQ方程为，，, 联立得， ，即，由韦达定理可知， 于是可得, 令，并记 ， 求导函数得，令，解得导函数零点为，且导函数在上单调递增， 因此导函数在上恒为负，在上恒为正， 可知原函数在上单调递减，在上单调递增，则在处取得最小值， 则，即. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分和讨论即可，根据导数的符号判断原函数单调性； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. 【小问2详解】 当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$