精品解析：河南省新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题（理科）

河南省新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题（理科） 一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小厴给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，求出复数，得到共轭复数，最后根据模长公式计算即可. 【详解】满足，则，则.则. 故选：D. 3. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】， ， ， 由于在上单调递增，所以， 即， 故选：D 4. 在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 5. 向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立坐标系，然后用坐标法计算即可 【详解】 如图，以O为坐标原点建立坐标系， 则 所以 则，则，则. 故选：C. 6. 已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则作出原图，求出各个边长即可求解. 【详解】根据斜二测画法的规则作出原图如图： 由直观图中， 可得中，，， 因为，则， 又底边，所以的周长为. 故选：D. 7. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，结合条件可得直线，可能平行，相交，异面，判断A，对于B，由条件可得或，由此判断B，结合面面平行判定定理判断C，通过空间平面位置关系判断D. 【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D， 三个平面两两两平行时，可把空间分成4部分； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； D正确， 故选：D. 8. 在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ） A. A，C，，四点共面 B. ，M，O三点共线 C. 平面 D. 与BD异面 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 【详解】对于A选项，且，所以共面，故A正确； 对于B选项，直线平面，所以平面， 因为直线，又平面，所以平面， 因为为中点，平面，所以平面， 底面为正方形，所以为中点，平面，所以底面， 又平面，平面， 所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确； 对于选项C，平面平面，平面，但直线， 所以平面，故C错误； 对于选项D，直线平面，直线平面，， 所以直线与为异面直线，故D正确. 故选：C 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. 函数的单调递增区间为（） B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象和函数的图象关于直线对称 D. 若将函数的图象向右平移φ（）个单位得到函数的图象，可得（） 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调区间计算判断A，应用周期计算判断B，根据对称性计算判断C，应用两角和差公式结合特殊值法计算判断D. 【详解】对于A选项：已知，令（） 解不等式得（），所以函数单调递增区间是（），故A选项错误． 对于B选项：．所以，故B选项正确 对于C选项：因为，即，所以函数的图象和函数的图象关于直线对称，故C选项正确． 对于D选项：已知，又， 则，即． 根据两角和差公式，， 整理得． 因为该等式对任意x都成立，所以， 由得，（）， 由得，，（），又， 综合可得（），D选项正确． 故选：BCD． 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下述正确的是（ ） A. BM与ED平行 B. CN与BE是异面直线. C. BE与BM成角. D. DE与AF是异面直线. 【答案】CD 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原，结合正方体的结构特征逐项分析判断. 【详解】将给定的展开图还原成正方体，如图： 观察图形知，与是异面直线，，与是异面直线，AB错误，D正确； ，则，因此与成角，C正确. 故选：CD 11. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，可得结论判断A；根据正弦定理化简得，进而计算可判断B；根据题意得，结合在为单调递减函数，可判断C，设的中点为，的中点为，根据向量的运算，得到，结合三角形的面积公式，可判断D. 【详解】对于A，若，，，则， 所以满足条件的三角形有2个，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，即， 因为，，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C中，由是锐角三角形，可得， 所以，又因为在为单调递减函数， 所以，所以C正确； 对于D中，如图所示， 设的中点为，的中点为， 因为，即， 可得，即，所以点是上靠近的三等分点， 所以点到的距离等于到的距离的， 又由到的距离为点到的距离的倍， 所以到的距离等于点到距离的， 由三角形的面积公式，可得，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 13. 在中，，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据面积公式结合已知可得出，由正弦定理边化角可推得.结合角的范围得出，根据余弦定理结合已知得出，代入面积公式即可得出答案. 【详解】由已知可得， 则由可得， ， 整理可得，. 由正弦定理边化角可得，， 即. 又，所以有. 又，所以. 由余弦定理可得， ， 所以有，解得. 所以，. 故答案为：. 14. 已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】取中点，连接，由是的中点，得， 则是直线，所成的角或其补角，令正四面体的棱长为4， 由是的中点，得，， 在中，， 在中，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，角的终边与单位圆交于点，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，即可根据三角函数的定义即可求解， （2）根据诱导公式化简，即可利用齐次式求解. 【小问1详解】 （1）在单位圆上，可得，结合，故，故， 故 【小问2详解】 16. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）取中点，求证：平面平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）证明：由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面．    （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（1）知，，则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域； （3）若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象即可求解周期，进而得，根据即可求； （2）根据图象的变换先求，令，最后利用单调性即可求解； （3）令，先求函数的值域，最后利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 由题设，所以，则，故， 由，则，即， 又，当时，则，故； 【小问2详解】 将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，再将图象向右平移个单位长度， 所以； ，则， 所以 所以函数在上的值域： 【小问3详解】 ，则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有两个零点， 即在上只有两个解，有图可知. 18. 在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. （3）根据三角形面积公式得到与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理，， 因，则. 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 又，由条件知，所以， 所以，，. 所以周长为. 【小问3详解】 由可得： 由正弦定理，，即得：， 则 由为锐角三角形可得，，解得：， 则，，故得， 即面积的取值范围为. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差公式及新定义计算结合模长求解； （2）先应用正弦定理计算，再应用余弦定理求解； （3）应用辅助角公式结合三角函数值域计算求参； 【小问1详解】 因为， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得， 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 ， 当时，， 由，得， 或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图， 方程在上有两个不等实根， 当且仅当函数在上的图像和直线4）有两个公共点， 观察图像知：或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题（理科） 一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小厴给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 1 3. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 5. 向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 8. 在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ） A. A，C，，四点共面 B. ，M，O三点共线 C. 平面 D. 与BD异面 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. 函数的单调递增区间为（） B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象和函数的图象关于直线对称 D. 若将函数的图象向右平移φ（）个单位得到函数的图象，可得（） 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下述正确的是（ ） A. BM与ED平行 B. CN与BE是异面直线. C. BE与BM成角. D. DE与AF是异面直线. 11. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 13. 在中，，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则______． 14. 已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，角的终边与单位圆交于点，且. （1）求； （2）求. 16. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）取中点，求证：平面平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域； （3）若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围. 18. 在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $