精品解析：山东省济南市平阴县实验高级中学2024-2025学年高一下学期5月阶段测试数学试题

高一下学期5月份阶段性检测数学科试题 注意事项： 1．本试卷共4页19题，满分：150分．考试时间：120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数则z的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. 2i D. i 2. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知向量且则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知平面，，直线，且，则“”是“∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A. B. C. D. 3 6. 下列命题正确的个数是（ ）． ①若，，则；②中，若，则形状为等腰三角形； ③已知，表示两个夹角为单位向量，O为平面上的一个固定点，P为这个平面上任一点，当时，定义为P点的斜坐标．设点M的斜坐标为，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8. 在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在复平面内，复数，对应的向量为，，其中O是原点，则下列说法正确的是（ ） A. 复数对应的点在第三象限 B. 复数的模为5 C. 当时，复数为纯虚数 D. 向量对应的复数为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若平面内无数条直线和平面平行，则平面平面 B. 若，满足，则与的夹角为 C. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D. 若O是内一点，且满足，则与的面积比为 11. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面AEF截正方体所得的截面周长为 D. 直线AF与平面所成角的正弦值为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知一组数据：20，30，40，50，50，60，70，80，这组数据的第70百分位数是________. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14. 已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，S为的面积，且，则______；若为锐角三角形，则的取值范围为______． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）已知，，若与平行，求； （2）已知，，与夹角为120°，若与垂直，求实数的值． 16. 北京大兴半程马拉松暨第八届“花绘北京悦跑大兴”于2024年4月27日在大兴区魏善庄镇鸣枪开跑，参赛规模为6000人并设有两个项目，为让更多的人了解马拉松运动项目，某区举办了马拉松知识竞赛，并从中随机抽取了200名参赛者的成绩．把收集到的参赛者成绩按，，…，依次分为第一至第六组（所有成绩x满足）．统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a值； （2）求参赛者平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从成绩参赛者中用分层随机抽样的方法抽取12人进行电话回访，则第二组，第三组和第四组被抽到的参赛者人数分别是多少？ 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 18. 在中，，，对应的边分别为，，， （1）求； （2）若为线段内一点，且，求线段的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值； 19. 类比于二维平面中余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，则. （1）已知为射线上一点，交于点，交于点，当时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期5月份阶段性检测数学科试题 注意事项： 1．本试卷共4页19题，满分：150分．考试时间：120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数则z的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. 2i D. i 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算， 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 的虚部为 故选：A 2. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理可求得答案. 【详解】解：由正弦定理，得. ∵，∴，∴或. 故选：C. 3. 已知向量且则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出再利用投影向量公式求解. 【详解】解：因为， 所以 所以在上的投影向量为， 故选：D 4. 已知平面，，直线，且，则“”是“∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面关系及充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当，时，∥或， 当，∥时，与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直， 所以“”是“∥”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 6. 下列命题正确的个数是（ ）． ①若，，则；②中，若，则形状为等腰三角形； ③已知，表示两个夹角为的单位向量，O为平面上的一个固定点，P为这个平面上任一点，当时，定义为P点的斜坐标．设点M的斜坐标为，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】命题①：零向量和任意向量平行，若，即便且，与也不一定平行，所以该命题错误. 命题②：由正弦定理把边化为角，得到，根据角的范围可知或，即可能是等腰或直角三角形，该命题错误. 命题③：根据斜坐标得出表达式，用向量模长公式结合单位向量性质和向量数量积公式算出，该命题正确. 【详解】当时，对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行. 所以命题①错误.  已知，由正弦定理可得，. 将其代入可得：，即. 因为，所以或. 当时，，是等腰三角形；当时，，是直角三角形. 所以的形状为等腰三角形或直角三角形，命题②错误.  已知点的斜坐标为，则. 根据向量模长公式，可得： . 因为，是单位向量，所以，则. 又因为，夹角为，根据向量数量积公式可得. 将，，代入可得： . 所以，命题③正确. 故选：B. 7. 某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设参加射门比赛的男教师人数为，根据总体的平均数求出，设女教师进球数的方差为，根据方差公式计算可得. 【详解】设参加射门比赛的男教师人数为，则全部参赛教师进球数的平均数， 解得，即参赛的男女教师各有人， 设女教师进球数的方差为， 依题意可得，解得. 故选：B 8. 在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令利用向量得线性运算及数量积运算将表示成t的函数，再求函数值域作答. 【详解】如图，在中，，则，， 令，则， 于是得 当时，，当或时，， 所以取值范围. 故选：B. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在复平面内，复数，对应的向量为，，其中O是原点，则下列说法正确的是（ ） A. 复数对应的点在第三象限 B. 复数的模为5 C. 当时，复数为纯虚数 D. 向量对应的复数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数、复数的模、纯虚数的定义以及复数与向量的关系来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，已知，可得. 那么对应的点为，该点在第三象限，所以选项A正确. 对于选项B，已知，则，所以选项B错误. 对于选项C，已知，则. 当时，. 因为3i纯虚数，选项C正确. 对于选项D，已知，，对应的复数为，对应的复数为. 根据向量的减法，则对应的复数为，所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若平面内无数条直线和平面平行，则平面平面 B. 若，满足，则与的夹角为 C. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D. 若O是内一点，且满足，则与的面积比为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项利用平面与平面的位置关系进行判断即可；B选项利用平面向量的数量积和模的运算进行运算即可求解；C选项分直角三角形的直角边和斜边分别进行旋转来进行判断；D选项将运用平面向量的加法法则进行变形，得到是的靠近的三等分点，再利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】对于A选项，若平面内无数条直线和平面平行，则平面与平面的位置关系为相交或平行，故A错误； 对于B选项，设，的夹角为， ， ，， ， ， 与的夹角为，故B正确； 对于C选项，直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥， 若绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个同底的圆锥，故C错误； 对于D选项， 设的中点为，的中点为， ，， ，是的靠近的三等分点， 到的距离为到的距离的，到的距离为到的距离的倍， 到的距离为到的距离的， 设到的距离为，到的距离为，则， ，故D正确. 故选：BD. 11. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面AEF截正方体所得的截面周长为 D. 直线AF与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】确定外接球并求出表面积判断A；证明线面平行并结合等体积法判断B；求出截面周长判断C；求出线面角的正弦判断D. 【详解】对于A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，则该外接球的直径为， 因此三棱锥的外接球表面积为，A错误； 对于B，连接，由且，得四边形是平行四边形， 则，又，于是，四边形是平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由、均为所在棱的中点，得，， 则四边形是平行四边形，，又平面，平面， 因此平面，点到平面的距离即为到平面的距离， 为定值，即三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C，由选项B知，平面截正方体所得的截面图形为四边形， 而，，， 平面截正方体所得的截面周长为，C正确； 对于D，连接，由平面，得是直线与平面所成的角， 又，，，， 因此直线与平面所成角的正弦值为，D错误． 故选：BC 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知一组数据：20，30，40，50，50，60，70，80，这组数据的第70百分位数是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以组数据的第70百分位数是第个数，即为. 故答案为：. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14. 已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，S为的面积，且，则______；若为锐角三角形，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ##0.6 ②. 【解析】 【分析】首先根据已知条件结合面积公式和余弦定理得出角的三角函数关系，进而求出和的值.然后利用正弦定理将转化为关于角的三角函数表达式，最后根据锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出的取值范围. 【详解】由和三角形面积公式，可得， 由余弦定理，代入上式，可得， 即，两边取平方，， 整理得，因， 解得，则． 由正弦定理，， 因是锐角三角形，则，即 故得，则， ∴． 故答案为： 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）已知，，若与平行，求； （2）已知，，与的夹角为120°，若与垂直，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先求出，，再由平行向量的坐标表示求出x，再由模长公式求解即可； （2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律结合与垂直即可得出答案. 详解】（1）∵，， ∵， ∴， ∴， ∴，∴． （2）因为，，与的夹角为， 所以， 因为与垂直， 所以， 所以． 16. 北京大兴半程马拉松暨第八届“花绘北京悦跑大兴”于2024年4月27日在大兴区魏善庄镇鸣枪开跑，参赛规模为6000人并设有两个项目，为让更多的人了解马拉松运动项目，某区举办了马拉松知识竞赛，并从中随机抽取了200名参赛者的成绩．把收集到的参赛者成绩按，，…，依次分为第一至第六组（所有成绩x满足）．统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的a值； （2）求参赛者平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从成绩的参赛者中用分层随机抽样的方法抽取12人进行电话回访，则第二组，第三组和第四组被抽到的参赛者人数分别是多少？ 【答案】（1）． （2）74． （3）2，4，6． 【解析】 【分析】（1）运用频率之和为1计算即可； （2）运平均值公式计算即可； （3）运用分层抽样性质，求出比例，计算即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得． 【小问2详解】 由题意可知：， 所以参赛者平均分的估计值为74． 【小问3详解】 成绩在的三组频率之比为， 故第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为，第四组抽到的人数为， 即第二组，第三组和第四组被抽到的参赛者人数分别是2，4，6． 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理及已知中的线面垂直，可得线线垂直，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）通过平移可找到异面直线和所成角，再利用等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 取的中点，连接， ，， ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面； 【小问2详解】 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即， 设，，，， 等边三角形，，，即， ，，， 由(1)知，平面，， ， ， 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. 18. 在中，，，对应的边分别为，，， （1）求； （2）若为线段内一点，且，求线段的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值； 【答案】（1） （2） （3）48 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定理即可求解. （2）法一：用基向量法，将用表示，等式左右两边同时平方，利用模长和数量积公式即可求解；法二：用坐标系法，以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，将用坐标表示，结合坐标表示求模长即可； （3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当为正三角形时取等号，即可得到最小值. 【小问1详解】 因为 所以， 由正弦定理， 所以 即：，又，所以； 【小问2详解】 （方法一）因为，所以， 所以， 所以 ，及 （方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图， 则 则： 所以； 【小问3详解】 根据柯西不等式： （当且仅当为正三角形时取等号） 即：的最小值为48. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是仿照柯西不等式的形式进行代入构造，找到所求要素与柯西不等式的联系，再运用正弦定理进行求解. 19. 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，则. （1）已知为射线上一点，交于点，交于点，当时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②存在，点在的延长线上且 【解析】 【分析】（1）在中和中分别用余弦定理得，两边同除以可得答案； （2）①由平面平面，知，由（1）得答案；②延长至，使，证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案. 【小问1详解】 如图，依题意，交于点，交于点， 则是二面角的平面角． 在中和中分别用余弦定理，得 ， ， 两式相减得， 由，故， 由， 两边同除以，所以； 【小问2详解】 ①由平面平面，知， 由（1）得， ，， ； ②在直线上存在点，使平面． 连结，延长至，使，连结， 在棱柱中，，，，， ，且，则四边形为平行四边形， ， 在四边形中，，， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 平面． 当点在的延长线上，且使时，平面． 【点睛】思路点睛：第二问②中，延长至，使，证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$