计数原理复习学案（三）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

计数原理复习学案（三）　 1． 二项展开式的特定项 1．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，含项的系数是（    ） A．219 B．220 C．165 D．164 3．已知的展开式中项的系数为，则实数 . 二．三项展开式的特定项 4．求的展开式中的系数（    ） A． B． C． D． 5．展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 三．多项乘积展开的特定项 6．的展开式中的系数为 .（用数字作答） 7．若的展开式中的系数为40，则实数 ． 4． 二项式系数的最值 8．的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 9 ．的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 五．系数的最值 10．在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1 (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数最大的项． 11．（选做）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 六．赋值法求系数和问题 12．若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 13．已知，则（    ） A． B．14 C． D．7 14．已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 七．整除求余问题 15．今天是星期天，则天后是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 16．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（    ） A．44 B．32 C．35 D．29 八．杨辉三角及其应用 17．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ）    A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 18．如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 计数原理复习学案（三）答案 一．二项展开式的特定项 1．【答案】A【详解】的二项展开式为， 令，解得，故所求即为. 2．【答案】A【解析】展开式的通项为，则项的系数为， 所以在的展开式中， 含项的系数是 .故选：A. 3．【答案】【解析】二项式展开式的通项为（）， 令，解得， 所以，依题意，解得. 二．三项展开式的特定项 4．【答案】C【解析】因为多项式可看成的5个三项式的乘积， 根据组合数的定义和计算公式，可得项为， 所以的系数为.故选：C. 5．【答案】D【解析】因为， 其中展开式的通项为（且）， 令，得，∴， 故展开式中的常数项是.故选：D. 三．多项乘积展开的特定项 6．【答案】【解析】展开式的通项公式为， 令，得， 令，得， 所以展开式中项的为， 所以展开式中项的系数为. 7．【答案】3【解析】多项式的展开式中含的项为， 所以，解得. 四．二项式系数的最值 8．【答案】C【解析】由的展开式中，项的二项式系数为， 根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大．故选：C. 9 ．【答案】B【解析】因为展开式中，二项式系数最大的项只有第项即最大， 根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大， 所以，解得.故选：B. 五．系数的最值 10．【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）二项式通项公式为 ， 所以第一项的系数为：， 第二项的系数为：，第三项的系数为：， 由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或 （舍去）， 二项式通项公式为， 根据题意，得，解得，因此，展开式中含的项为. （2）设第k项的系数最大，故， 即，即，解得， 因为，所以或，故系数最大的项为或． 11．【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）仅有第5项的二项式系数最大，则令，则，又，则 （2）二项展开式的通项为：， 假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得： ，解得：故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大. 又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负， 故展开式中系数最小的项是第6项： 六．赋值法求系数和问题 12．【答案】D【解析】令，得， 所以.故选：D 13．【答案】A【解析】等式两边同时求导可得， 令，得，故选：A. 14．【答案】C【解析】因（*） 对于A项，当时，代入（*）可得， 当时，代入（*）可得， 所以，故A项错误； 对于B项，当时，代入（*）可得， 又，所以，故B项错误； 对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确； 对于D项，对（*）两边求导可得， 当时，，故D项错误.故选：C. 七．整除求余问题 15．【答案】B【解析】因为， 所以除以7的余数为6，所以天后是星期六．故选：B. 16．【答案】A【解析】， ， 所以除以7的余数是，除以7的余数是2， 选项中44除以7的余数是2，32除以7的余数是4，35除以7的余数是0， 29除以7的余数是1.故选：A 八．杨辉三角及其应用 17．【解析】因为第10行中第5个数是，又，故A错误； 因为第2023行中第1011个数和第1012个数分别为，， 因为，所以，故B错误； 因为，故C错误； 因为，故D正确.故选：D 18．【答案】D【解析】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和， 因此，即D正确，ABC错误.故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $$