专题12 用因式分解法求解一元二次方程（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题12 用因式分解法求解一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点02 常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【题型1 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2025·广东广州·二模）解方程：． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）解方程：． 3．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）解下列方程： 4．（24-25九年级上·吉林·期中）用适当的方法解方程：． 【题型2 用十字相乘法求解一元二次方程】 例题：（安徽滁州市2024---2025学年八年级下学期5月份数学月考试卷）解方程：． 【变式训练】 1．（2025·安徽阜阳·三模）解方程：． 2．（2025八年级下·安徽·专题练习）解一元二次方程：． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 【题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 例题：（2025·江西宜春·模拟预测）习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得         第一步         第二步             第三步 (1)嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【变式训练】 1．（2025·浙江嘉兴·二模）小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 2．（24-25九年级上·山西长治·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．……………第一步 移项，合并同类项，得．……………………………第二步 系数化为1，得．………………………………………第三步 任务一：以上解方程的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出正确的解答过程． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：， 解：方程两边同除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为，得第三步 任务： 小蒋的解法从第_____步开始出现错误； 请写出此题的正确解题过程． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）（）解方程： （）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步                第三步 解得                  第四步 小颖同学： 解：第一步 第二步     第三步 或         第四步 解得              第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ； ②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二：直接写出该一元二次方程的解． 【题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 例题：（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）若一个三角形两边的长分别是3和7，且第三边的长恰好是方程的一个实根，则这个三角形的周长为 ． 【变式训练】 1．（2025·广东深圳·二模）已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ． 3．（24-25九年级上·重庆綦江·期中）菱形的一条对角线长为 ，边长为一元二次方程 的一个根，则菱形的另一条对角线长为 ． 【题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 例题：（24-25九年级上·陕西商洛·期末）对于任意实数m、n，定义运算“☆”，其运算规则为：，例如，求方程的解． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）对于实数a、b定义运算“※”为，例如：． (1)若，求x的值； (2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 【题型6 换元法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 3．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 一、单选题 1．（2025·福建厦门·模拟预测）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）一元二次方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 3．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 4．（2025·湖南常德·二模）对于实数，规定一种新的运算，则下面说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则或 5．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 6．（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）一元二次方程的两根是 ． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一） 9．（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 10．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）已知菱形的两条对角线分别是方程的两个根，则该菱形的周长为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）解方程 (1) (2) (3) 13．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 14．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 或，……第四步 解得：，……第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请正确地解该方程． 15．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 16．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 17．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 18．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 用因式分解法求解一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点02 常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【题型1 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了运用因式分解法来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把方程化为，再进一步解一元二次方程，即可作答． （2）把方程化为，再进一步解一元二次方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴，               ∴，或， ∴，． （2）解：， ∴， ∴，即， ∴，或， ∴，． 【变式训练】 1．（2025·广东广州·二模）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程， 先因式分解得，可得或，即可求出解． 【详解】解：， ， 或， ，． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解，熟练掌握因式分解法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）解下列方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意先将方程整理成，再提公因式计算即可． 【详解】解：， 整理得：， 提公因式：， 即：或， 解得：． 4．（24-25九年级上·吉林·期中）用适当的方法解方程：． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或 【题型2 用十字相乘法求解一元二次方程】 例题：（安徽滁州市2024---2025学年八年级下学期5月份数学月考试卷）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． 【变式训练】 1．（2025·安徽阜阳·三模）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题直接根据因式分解法即可求解． 【详解】解：， ， 或 解得，． 2．（2025八年级下·安徽·专题练习）解一元二次方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查因式分解法求一元二次方程，掌握因式分解法的计算是关键．根据题意，运用因式分解求一元二次方程的解即可． 【详解】解：， ∴，     ∴或，     解得：． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 根据题意，先化为一般式，再运用因式分解法计算即可． 【详解】解：， 化为一般式得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程互为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知十字相乘法解一元二次方程是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 例题：（2025·江西宜春·模拟预测）习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得         第一步         第二步             第三步 (1)嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，方程两边才能同时除以，得 ， 当时，方程两边同时除以，无意义， ∴第一步就出现了错误，没分类讨论． 故答案为：一． （2）解：， ， ， 或， ∴，． 【变式训练】 1．（2025·浙江嘉兴·二模）小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】×；×；，．正确的解答过程见解析 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】×；× 解： ，． 2．（24-25九年级上·山西长治·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．……………第一步 移项，合并同类项，得．……………………………第二步 系数化为1，得．………………………………………第三步 任务一：以上解方程的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出正确的解答过程． 【答案】任务一：一，方程两边同除以，需要；任务二：见解析 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了等式的性质、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】任务一：解：小明的解法从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同除以，需要， 故答案为：一，方程两边同除以，需要； 任务二：解∶ ， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：， 解：方程两边同除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为，得第三步 任务： 小蒋的解法从第_____步开始出现错误； 请写出此题的正确解题过程． 【答案】(1)， (2)一   ， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）在第一步中，方程两边同除以，需要，故第一步开始出现错误； 运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：在第一步中，方程两边同除以，需要，故小蒋的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ， 移项，得， 因式分解，得， 或， ，． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）（）解方程： （）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步                第三步 解得                  第四步 小颖同学： 解：第一步 第二步     第三步 或         第四步 解得              第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ； ②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二：直接写出该一元二次方程的解． 【答案】（）；（）任务一：①二，方程两边同时除以可能为的代数式；②三，去括号时，括号前面是负号，中的没有变号；任务二：， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）任务一：①根据等式的性质即可判断求解；②根据去括号法则即可判断求解； 任务二：利用因式分解法解方程即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴或， ∴，； （）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能为的代数式， 故答案为：二，方程两边同时除以可能为的代数式； ②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，中的没有变号， 故答案为：三；去括号时，括号前面是负号，中的没有变号 任务二：， ， 即， 或， 解得，． 【题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 例题：（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）若一个三角形两边的长分别是3和7，且第三边的长恰好是方程的一个实根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】16 【知识点】三角形三边关系的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法以及三角形的三边关系．先通过解方程求出三角形的第三条边，根据三角形三边关系进行值的取舍后再计算周长． 【详解】解：解方程， 得，， ，故2不是三角形的第三边， ，故6是三角形的第三边． 所以三角形的周长为． 故答案为：16． 【变式训练】 1．（2025·广东深圳·二模）已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ． 【答案】13或/13或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是分类讨论． 解一元二次方程，分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解： 解得， 当为的两直角边时，第三条边长为； 当为的一条直角边和一条斜边时，第三条边长为； 故答案为：13或． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质． 另一条对角线的长是方程的一个根，解方程求得的值，根据菱形的一条对角线长为3，根据勾股定理可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】解：解方程得：或4， ∵是菱形， ∴， 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·重庆綦江·期中）菱形的一条对角线长为 ，边长为一元二次方程 的一个根，则菱形的另一条对角线长为 ． 【答案】8 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、三角形三边关系的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用菱形的性质与三角形的三边关系质确定，从而根据菱形的对角线互相垂直平分即可解答． 【详解】解：菱形的一条对角线长为6， 如图，不妨设 解方程得，， ∴或， 若，则在菱形中，， 此时，，这不能构成三角形； 若，则在菱形中， ，，， ∴在中，， ∴，即另一条对角线长为8． 故答案为：8． 【题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 例题：（24-25九年级上·陕西商洛·期末）对于任意实数m、n，定义运算“☆”，其运算规则为：，例如，求方程的解． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算 【分析】此题考查了实数的新定义和解一元二次方程．根据新定义得到，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【答案】(1)①，；②， (2)2或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）①利用公式法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）（1）① ，， ∴ 解得，； ② ， 解得，； （2）根据题意得， 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 综上所述，的值为2或． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）对于实数a、b定义运算“※”为，例如：． (1)若，求x的值； (2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数． （1）根据新定义得出关于x的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可． （2）根据新定义得出关于x的一元二次方程，再根据方程有两个相等的实数根，即可得出m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，． （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 【题型6 换元法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，设，于是原方程可变为，求出的值即可． 【详解】解：设，于是原方程可变为， ∴或， 解得，， 当时，整理得，，符合题意； 当时，整理得，，不符合题意； 综上所述，． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可；   （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ，   故答案为：，； （2）设（m为常数），   将原方程化为①   方程①整理，得 ②   令解得，   当时，，   方程②化为 解得  ，， ，． 3．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）是直角三角形，理由见解析；（3） 【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先配方，得出，再根据题中方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为， 解得：，． 当，即，解得：； 当，即，解得：． 所以原方程的解，． （2）解：是直角三角形， 理由如下：∵、、为的三边， 故，， ∴， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即， 即， 故是直角三角形． （3）解：， ∵， 故， 即； 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，配方法的应用，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·福建厦门·模拟预测）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．根据因式分解法法求解即可． 【详解】解： ， 一元二次方程的根为：，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）一元二次方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解答本题要掌握因式分解法解方程的步骤，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．利用解一元二次方程－因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴或， ∴，， 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键．先求出方程的解，结合第三边，得到第三边的边长，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：， ∴， ∴，， 解得：，， 一个三角形两边的长是3和5， 第三边， ∴三角形的第三边为， ， 该三角形的形状是直角三角形． 故选：C． 4．（2025·湖南常德·二模）对于实数，规定一种新的运算，则下面说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，一元二次方程的应用，按照题意判断每个选项即可，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B正确； C、，，故C正确； D、， ， 整理得， 解得或，故D错误． 故选：D． 5．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是，， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：B． 二、填空题 6．（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【答案】， 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）一元二次方程的两根是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的根据，根据可得，，即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故答案为：，． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一） 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解一元二次方程的解的定义，难度不大． 根据一元二次方程的定义直接构造即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有， 当6是的 2 倍时，即有． 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）已知菱形的两条对角线分别是方程的两个根，则该菱形的周长为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，正确求得该一元二次方程的解是解题关键．设菱形的两条对角线交于点，解方程，进而确定的值，再结合菱形的性质以及勾股定理确定该菱形的边长，然后计算其周长即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线交于点，如下图， 解方程， 可得， 即， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴该菱形的周长． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2) (3) (4) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可； （3）利用直接开平方法即可求得方程的解； （4）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）原方程移项得：， ， 或， ； （3）原方程化为：， ， ； （4）因式分解得，， 或， ． 12．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴，． （2） ∴ ∴ ∴或 解得， （3）， ∴， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，． 13．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （4）利用提公因式法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解；∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴或， 解得，； （2）解；∵， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 14．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 或，……第四步 解得：，……第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请正确地解该方程． 【答案】任务一：①因式分解法；②三，合并同类项出错 任务二：， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用因式分解法解一元二次方程的步骤判断即可； ②根据题目中所解的步骤检查即可清楚第三步合并同类项错误； 任务二：利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】任务一：①以上解方程过程中，主要是依据因式分解法来求解的； ②第三步开始出现错误，错误的原因是合并同类项出错； 任务二：解：， 或 解得：，． 15．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“C方程”，理由见解析； (2)． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 16．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【答案】，，， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：将原方程变形为， 设，则，原方程化为， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； 原方程的解为，，，． 17．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 18．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$