专题12 二次根式的混合运算（2知识点+7大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题12 二次根式的混合运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 知识点02 二次根式的分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 【题型1 二次根式的混合运算】 例题：（24-25八年级下·天津静海·期中）计算： (1) (2) 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 2．（24-25八年级下·山东威海·期中）计算： (1) (2) 3．（24-25八年级下·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【题型2 二次根式的分母有理化】 例题：（24-25八年级下·云南昆明·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… (1)按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______； (2)计算：的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列各式； 第一式；由，得．类似可得第二式；，第三式；． (1)照此排列方式，请写出第n式； (2)的值是多少？ 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的过程叫分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． (1)用不同的方法化简． (2)化简：． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)化简：= ；= ； (2)在有关二次根式的计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中的二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们继续思考如何化简的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形：，这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请把式子和分别进行分母有理化； (3)计算：． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的过程叫分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． (1)用不同的方法化简． (2)化简：． 【题型3 已知字母的值，化简求值】 例题：（湖北省武汉市部分学校2024—2025学年下学期五月质量检测八年级数学试题）已知，． (1)直接写出，的值； (2)求代数式的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东中山·期中）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 3．（2025八年级下·河南·专题练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【题型4 已知条件式，化简求值】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 2．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 3．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【题型5 比较二次根式的大小】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 4.（24-25八年级下·山东淄博·期中）像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【题型6 二次根式的规律探究问题】 例题：（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【变式训练】 1．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)请写出第④个等式； (2)利用规律计算：． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．．．．． 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第4个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)计算：． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … (1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； (2)推算出的长； (3)求的值． 【题型7 二次根式的新定义运算】 例题：（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【变式训练】 1．（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 3．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·期中）估计的值应在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 3．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期中）甲、乙、丙、丁四人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，这四张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） A．1张 B．2张 C．3张 D．4张 5．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 二、填空题 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）计算的结果为 ． 7．（2025八年级下·河南·专题练习）试写出一个式子，使它与之积不含二次根式，你所写的式子是 8．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）已知：，则的值为 ． 9．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点，点表示的数为，设点所表示的数为，则 ． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 三、解答题 11．（辽宁省营口市、鞍山市部分学校2024-2025学年八年级下学期5月联考数学试题）计算： (1)． (2) 12．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）计算 (1)； (2)． 13．（24-25八年级下·天津·期中）计算： (1)； (2)． (3) 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，，求的值． 15．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值． (2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 16．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 17．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：，所以与互为“对偶式”． (1)的“对偶式”是________，的“对偶式”是________． (2)已知，其中． ①的“对偶式”的值是________． ②利用“对偶式”的相关知识，求方程中x的值． 18．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）探究： 观察下列等式： ； ； ； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：__________，__________． (2)拓展：比较和的大小． (3)运用：计算 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次根式的混合运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 知识点02 二次根式的分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 【题型1 二次根式的混合运算】 例题：（24-25八年级下·天津静海·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，进行加减运算，再进行除法运算即可； （2）先化简计算括号内，再进行乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）先算乘除，再化简各数，最后合并同类二次根式即可； （2）先进行完全平方和平方差公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（24-25八年级下·山东威海·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先根据二次根式的除法法则计算，再合并同类项即可； （2）先化简绝对值、将完全平方公式展开，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（24-25八年级下·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键． （1）先利用平方差公式去括号，然后化简二次根式和绝对值，再计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算加法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 二次根式的分母有理化】 例题：（24-25八年级下·云南昆明·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… (1)按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______； (2)计算：的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）利用前面4个等式的规律，找出序号数与被开方数的关系写出第6个和第n个等式； （2）直接合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … ∴； ； 故答案为：；； （2）解： 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列各式； 第一式；由，得．类似可得第二式；，第三式；． (1)照此排列方式，请写出第n式； (2)的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题考查的是分母有理化及二次根式的加减运算，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据题意得出第个式子即可； （2）根据（1）中的规律计算出式子的结果即可． 【详解】（1）解：第1式， 第2式， 第3式， 第4式． 第个式子为； （2） ， 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的过程叫分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． (1)用不同的方法化简． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查阅读理解，涉及分母有理化等知识，读懂材料，理解材料中分母有理化方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料中的方法化简即可得到答案； （2）由材料中的方法先化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：方法一： ； 方法二： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）课本知识再现：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)化简：= ；= ； (2)在有关二次根式的计算中，当出现分母且分母中出现二次根式时，我们往往将分母中的二次根式通过相关知识使分母不含二次根式，如：；我们继续思考如何化简的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，使进行变形：，这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请把式子和分别进行分母有理化； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【知识点】分母有理化、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关性质和运算法则成为解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简即可解答； （2）根据题中介绍的方法进行分母有理化即可； （3）先通过分母有理化化简，然后在运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：； ； （3）解：原式= ． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的过程叫分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． (1)用不同的方法化简． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查阅读理解，涉及分母有理化等知识，读懂材料，理解材料中分母有理化方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料中的方法化简即可得到答案； （2）由材料中的方法先化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：方法一： ； 方法二： ； （2）解： ． 【题型3 已知字母的值，化简求值】 例题：（湖北省武汉市部分学校2024—2025学年下学期五月质量检测八年级数学试题）已知，． (1)直接写出，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的乘法、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意，利用合并同类二次根式的法则和平方差公式计算即可得解； （2）利用完全平方公式变形计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，． ∴；； （2）解：由（1）可得， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东中山·期中）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）先根据分式加减运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出的值是解题的关键． （1）先求出的值，再根据代值计算即可； （2）根据代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 3．（2025八年级下·河南·专题练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）15；（2）． 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据完全平方公式将原式变形，再代入求解即可； （2）将代入，再根据多项式乘式多项式，平方差公式求解即可． 【详解】解：（1），， ； （2）， ． 【题型4 已知条件式，化简求值】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、运用完全平方公式进行运算、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 设，再利用完全平方公式运算求解即可． 【详解】解：设， 则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分母有理化、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 2．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 3．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值； （1）把分子分母都乘以即可； （2）由，可得，可得，再把变形，再逐步代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【题型5 比较二次根式的大小】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 【答案】(1)； (2) (3)44 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的运算，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法即可得到第一个填空答案；根据材料计算方法可知，，结合即可得到答案； （2）仿照材料方法计算即可； （3）仿照材料方法计算可求得，原式，进一步计算即可． 【详解】（1）解：， 根据材料可知，，， ， ， 故答案为：，； （2）解： （3）解： 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解； （3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解． 【详解】（1）解：的一个有理化因式为；分母有理化得， 故答案为：；． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴ 故答案为：． 4.（24-25八年级下·山东淄博·期中）像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①   ② (2) (3)，理由见解析 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， 同理：， ， ， ． 【题型6 二次根式的规律探究问题】 例题：（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式即可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)请写出第④个等式； (2)利用规律计算：． 【答案】(1) (2)9 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据所给算式的特点写出第④个等式即可； （2）先分母有理化，再算加减即可． 【详解】（1）解：第④个等式：． （2）解： ． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．．．．． 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第4个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的5个等式，结合规律即可写出答案； （2）找到等式的规律，写出第个等式，通过化简证明等式成立； （3）利用题中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得第4个等式为， 故答案为：； （2）解：第个等式为， 证明如下： 左式， ， 左式， 右式， 成立； （3）解：原式． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … (1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； (2)推算出的长； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的数字规律探索及二次根式的运算．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算． （1）利用的值和变化规律直接得出答案即可； （2）根据勾股定理，结合（1）中规律即可求出； （3）根据总结的规律计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：在中，， 在中，， 在中，， …… ∴； （3）解： ． 【题型7 二次根式的新定义运算】 例题：（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：关于的“美好数”， ∴ ． 【变式训练】 1．（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】倒数、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可； ②根据倒数的定义列式求解即可． 【详解】（1）∵a、b互为倒数，， ∴． ∵a、b互为倒数，， ∴． 故答案为：； （2）①∵a、b互为倒数，， ； ②∵a、b互为倒数，， ∴，即． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【知识点】实数与数轴、新定义下的实数运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 3．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·期中）估计的值应在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据二次根式的混合运算法则化简，然后利用无理数的估算求解即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴估计的值应在5和6之间． 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再代入计算即可． 【详解】解：当时 ． 故选C． 3．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一个运算符号．当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算，二次根式的大小比较，先把选项中的运算符号代入进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵，， ∴当算式的结果最大时，“口”表示的运算符号是； 故选：D 4．（24-25八年级下·山东泰安·期中）甲、乙、丙、丁四人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，这四张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） A．1张 B．2张 C．3张 D．4张 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，计算出甲、乙、丙、丁中式子的结果，即可得到有几张卡片中式子的计算结果是有理数． 【详解】解：由图可得， 甲：，结果是有理数，符合题意； 乙：，结果是有理数，符合题意； 丙：，结果不是有理数，不符合题意； 丁：，结果不是有理数，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、新定义下的实数运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，新定义，按照新定义，逐一判断即可，能理解题意熟练计算解此题的关键． 【详解】解：A、，故2025与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； B、，故与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； C、， ， ， 与不是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； D、， ， ， 故与不一定是关于1的平衡数，故该说法符合题意， 故选：D． 二、填空题 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘法和加减运算，同类二次根式的合并，熟练掌握运算法则是解题的关键； 首先利用二次根式乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可解答． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 7．（2025八年级下·河南·专题练习）试写出一个式子，使它与之积不含二次根式，你所写的式子是 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，二次根式的化简与性质．根据，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）已知：，则的值为 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式求值，利用平方差公式计算即可，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点，点表示的数为，设点所表示的数为，则 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的混合运算、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的加减运算，涉及数轴上的点表示的数，解题的关键是求出m的值．根据从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，得点B所表示的数为，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴点B所表示的数为， ∴ ． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等． （1）根据题意利用题中例子计算即可； （2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可． 【详解】解：（1）由定义新运算知， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 三、解答题 11．（辽宁省营口市、鞍山市部分学校2024-2025学年八年级下学期5月联考数学试题）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2)4 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）化简后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） 12．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的除法、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算和二次根式的除法计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）先利用完全平方公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25八年级下·天津·期中）计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3)7 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的混合运算即可． （1）把二次根式化为最简二次根式后合并即可； （2）先根据二次根式的乘法计算，再化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （3）前半部分利用平方差公式计算，后半部分根据二次根式的除法法则计算，最后进行加减运算。 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则及平方差公式．先根据、的值计算出、的值，再代入原式计算可得． 【详解】∵，， ∴, , ∴． 15．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值． (2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的计算，解一元一次方程： （1）根据定义列得,即可求出的值． （2）根据定义得,由为有理数得到，，即可解方程求出和的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ． （2）由题意可得， 整理得． 是有理数， ，， ，． 16．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【知识点】与实数运算相关的规律题、二次根式的混合运算 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 17．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：，所以与互为“对偶式”． (1)的“对偶式”是________，的“对偶式”是________． (2)已知，其中． ①的“对偶式”的值是________． ②利用“对偶式”的相关知识，求方程中x的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】利用平方根解方程、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查新定义，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）根据“对偶式”的定义即可解答． （2）①根据平方差公式求得，根据即可求解； ②由，得到，，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，的“对偶式”是，的“对偶式”是． 故答案为：， （2）解：①的“对偶式”是， 而， ∵， ∴； 故答案为：8 ②∵，， ∴，， 解得． 18．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）探究： 观察下列等式： ； ； ； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：__________，__________． (2)拓展：比较和的大小． (3)运用：计算 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算 【分析】（）仿照例题化简即可； （）先求出和的倒数，进而比较倒数即可判断求解； （）利用二次根式的化简方法对括号内的各项化简，进而利用平方差公式计算即可求解； 本题考查了二次根式的分母有理化，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ； （3）解： ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null