第09讲 有理数的除法（2知识点+9考点+过关检测）（暑假预习讲义）新七年级数学新教材沪科版

第09讲 有理数的除法 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算； 2.在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想； 3.能利用有理数的除法解决生活中的实际问题； 4.熟练掌握有理数混合(加减乘除)运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯. 知识点 1 有理数的除法 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【补充】1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 2）0不能作除数，0作除数时无意义； 3）有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值； 4）有理数的除法转化为有理数的乘法后，可以利用乘法的运算律来简化运算； 【易错点】若被除数是和的形式，则可以把除数分配给“和”中的每一个数；若除数是和的形式，就不能把除数分配给“和”中的每一个数. 即， 1．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）下列各式的值等于9的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知、在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．①③ 3．（24-25七年级上·河南安阳·期中）若使的计算结果为正数，则代表的运算不可以是（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 4．（24-25七年级上·青海果洛·期中）计算的结果是 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 知识点 2 有理数的四则混合运算 运算顺序：如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 【注意事项】①由除法变乘法，不要忘记颠倒除式的分子和分母，也不要出现符号错误； ②运用运算律不要出现符号问题或者漏乘倒数. . 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）算式的值为（   ） A．1 B．16 C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面各题中，运算顺序和的运算顺序一样的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）加减乘除混合计算： (1)； (2)． 5．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型 1 有理数除法法则的辨析 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）两个数相除，若商为正数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号相同 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（ ）（多选题） A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负； C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．0除以任何数都等于0 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于0的有理数除以它的相反数等于 D．两数相除，商一定小于被除数 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是(　　) A．零除以任何数都等于零 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于零的有理数除以它的相反数等于 D．两数相除，商一定大于被除数 题型 2 有理数的除法运算 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）三个互不相等的有理数，可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么a的值为 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型 3 有理数乘除法的混合运算 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东江门·期中）现规定一种运算：，，，，…，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D．1 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：，且a，b，c都不等于0，则a，b，c中最小的数是（　　） A．a B．b C．c D．无法确定 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算：． 5．（2024七年级上·辽宁·专题练习）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步）（第二步）第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 题型 4 有理数除法的简算 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 5 有理数除法的应用 1．（24-25六年级下·上海·阶段练习）某校六年级学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和一辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生110人，求每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 2．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 3．（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． (1)分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． (2)原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 4．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图，将一条数轴在点，点，点，点处各折一下，得到“折线数轴”．图中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为8，点表示的数为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，动点上坡时的速度是初始速度的一半，下坡时的速度是初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)求动点出发3秒时，所在位置对应的数是多少； (2)动点从点运动到点需要多少秒？ 5．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． (1)若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； (2)若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 题型 6 有理数四则运算的实际应用 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某校组织六年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．最后一共有名学生报名参加．每张门票原价是元，暑假期间有优惠促销，请你算一算，哪种购票方案最划算？ 方案一：人以上可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买张送张，不满张不赠送． 方案三：每满元返还元． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）甲乙二人分别从、两地同时出发，相向而行．出发时他们的速度比是，他们第一次相遇后，甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是多少千米？ 3．（24-25七年级上·河北沧州·期中）体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为30个，第一组8名女生的成绩记录为：，0，，，，，，．其中+号表示超过达标成绩的个数，表示不足达标成绩的个数． (1)第一组8名女生中最好成绩与最差成绩相差________个； (2)求第一组8名女生的平均成绩； (3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分．若一分钟仰卧起坐总积分超过60分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号． 题型 7 利用倒数法求解有理数的除法 1．（22-23七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）学习了有理数的乘除法运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又快又对，下面是两位同学给出的不同解法： 小刚：原式； 小聪：原式． (1)以上两种解法，你认为 （填入名）的解法比较简便； (2)你还有其他解法吗？如果有，请写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请写出解答过程． 题型 8 与有理数乘除法有关的新定义问题 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算：(1)；(2)． 2．（24-25七年级上·河南新乡·期中）定义一种新的运算：，如：， 求：(1)；(2)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·新定义若规定：，例如：，试求的值． 4．（24-25七年级上·山东济南·期中）定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 5．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：． 如：． (1)计算：______； (2)计算：． 题型 9 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）已知，且，则 ． （2）已知，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 1．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）下表的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）与“”相等的算式是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·四川乐山·期末）某食品厂生产的某种袋装食品标准质量为每袋120克，抽检其中20袋，记录如下（“+”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量）： 与标准质量的差值（单位：克） 0 袋数 1 4 3 4 5 3 则这20袋食品的平均质量为（　　） A．120.95克 B．120.1克 C．122克 D．139克 7．（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）三个有理数进行乘除运算，结果是正数，其中负数最多可以有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如果，则一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 9．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）已知与互为相反数，且，则下列式子：① ；②；③；④； ⑤，其中一定成立的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·河北保定·期中）若，，且为负有理数，则（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 13．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 15．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）对非零有理数，定义一种运算，其规则是：，则 ． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 17．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 18．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动且运动方向不同，则经过 秒时，线段的长为6厘米． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（24-25七年级下·河南·自主招生）龟兔赛跑，全程1800米．乌龟每分钟爬15米，兔子每分钟跑400米．发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远地甩在后面，骄傲的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米．兔子在途中睡了多少分钟？ 21．（24-25七年级上·山西朔州·期末）中国铁路太原局不断拓展1，2，3小时高铁出行圈，进一步扩大城际和市域快线列车开行范围，努力实现“有流就有车，有客就有票”．太原至晋中某列高铁载客情况如图所示，目标载客数为800人，目标载客数上方条形图表示超过目标人数的数量，下方则表示不足目标人数的数量． (1)若超过目标人数的部分记为正，不足目标人数的部分记为负，如：12月4日的数据可记作“”，则12月7日的数据可记作______． (2)求这4天的总载客人数． 22．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）恩格尔系数是国际上通用的衡量居民家庭生活水平高低的指标之一．具体计算公式为：恩格尔系数，恩格尔系数达到以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕．为了了解自己家的生活水平，闻文对自己家8月份的收支情况进行了整理和记录，如下表： 项目 收支情况／元 爸爸和妈妈的月工资收入总和8000元 _____________ 水，电，煤气，手机，宽带等共支出1400元 文化教育支出元 食物支出1800元 _____________ 合计支出 (1)将表格中横线部分补充完整，并根据闻文家本月合计支出7200元，求出的值； (2)根据以上信息，对闻文家的生活水平进行评价． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 有理数的除法 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算； 2.在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想； 3.能利用有理数的除法解决生活中的实际问题； 4.熟练掌握有理数混合(加减乘除)运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯. 知识点 1 有理数的除法 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【补充】1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 2）0不能作除数，0作除数时无意义； 3）有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值； 4）有理数的除法转化为有理数的乘法后，可以利用乘法的运算律来简化运算； 【易错点】若被除数是和的形式，则可以把除数分配给“和”中的每一个数；若除数是和的形式，就不能把除数分配给“和”中的每一个数. 即， 1．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）下列各式的值等于9的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值、有理数的除法，根据绝对值、有理数的除法法则求解即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意． B．，故B不符合题意． C．，故C不符合题意． D．，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）已知、在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置比较代数式大小，以及有理数的乘除法法则，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解题关键．由、在数轴上的位置可直接判断①②；根据有理数的运算法则可判断③④． 【详解】解：由数轴可知，，， 则， 即①③结论正确，②④结论错误， 故选：D． 3．（24-25七年级上·河南安阳·期中）若使的计算结果为正数，则代表的运算不可以是（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算．利用有理数的加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：，，，． 综上，代表的运算不可以是加法． 故选：A． 4．（24-25七年级上·青海果洛·期中）计算的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数除法，掌握零除以任何非零数均为零成为解题的关键．根据零除以任何非零数均为零即可解答． 【详解】解：． 故答案为：0． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键． （1）将除法化为乘法，再计算即可； （2）根据0除任何数都等于0，计算即可； （3）根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1） ． （2）． （3） ． 知识点 2 有理数的四则混合运算 运算顺序：如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 【注意事项】①由除法变乘法，不要忘记颠倒除式的分子和分母，也不要出现符号错误； ②运用运算律不要出现符号问题或者漏乘倒数. . 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）算式的值为（   ） A．1 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键，先算括号里的，再算除法即可得解． 【详解】解： ， 故选:A 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面各题中，运算顺序和的运算顺序一样的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，的运算顺序是按照从左到右的运算顺序；找出这样运算顺序的选项即可． 【详解】解：A．，先算乘法，再算减法，不是按照从左到右的运算顺序，故A不符合题意； B．，先算括号里面的加法，再算除法，不是从左到右的运算顺序，故B不符合题意； C．，先算减法，再算加法，是按照从左到右的运算顺序，故C符合题意； D．，先算除法，再算加法，不是按照从左到右的运算顺序，故D不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）加减乘除混合计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则，即可求解； （1）本题先算除法，再算乘法，最后算加减，除以一个数等于乘以这个数的倒数，然后即可求解； （2）本题先算括号里的，再算乘除，最后算加减，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的运算法则计算即可； （）根据有理数的运算法则计算即可； （）根据有理数的运算法则和运算律计算即可； （）根据有理数的运算法则和运算律计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型 1 有理数除法法则的辨析 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）两个数相除，若商为正数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了两个有理数相除，“两数相除，同号得正，异号得负”．根据有理数除法运算法则进行判断即可． 【详解】解：∵两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数同号． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法正确的是（ ）（多选题） A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负； C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数 【答案】BC 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算法则，按照有理数的计算法则和特例进行辨别选择． 【详解】解：∵互为相反数（0除外）的两数相除商必等于1， ∴选项A不符合题意； ∵非零的两数相除，同号得正，异号得负， ∴故选项B符合题意； ∵大于1的两数之积一定大于任何一个因数， ∴选项C符合题意； ∵当除数是小于1的正数，且被除数是正数时，商大于被除数， ∴选项D不符合题意， 故选：． 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．0除以任何数都等于0 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于0的有理数除以它的相反数等于 D．两数相除，商一定小于被除数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握法则是解题的关键．根据除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. 0除以任何一个不等于0的数都等于0，原说法错误，不符合题意； B. 1除以一个不为0的数就等于乘这个数的倒数，原说法错误，不符合题意； C. 一个不等于0的有理数除以它的相反数等于，说法正确，符合题意； D. 两数相除，商不一定小于被除数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是(　　) A．零除以任何数都等于零 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于零的有理数除以它的相反数等于 D．两数相除，商一定大于被除数 【答案】C 【详解】A. 零除以任何不为0的数都等于零，此项错误； B. 1除以一个不为0的数就等于乘这个数的倒数，此项错误； C. 一个不等于零的有理数除以它的相反数等于，此项正确； D. 两数相除，商不一定大于被除数，此项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握法则是解题的关键． 题型 2 有理数的除法运算 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）三个互不相等的有理数，可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么a的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，根据分母不为0以及三个数互不相等可得，，则，进而得到，则． 【详解】解：∵有意义， ∴， 又∵0与不相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键． （1）先变除法为乘法，然后进行计算即可； （2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 3 有理数乘除法的混合运算 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则判断即可．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东江门·期中）现规定一种运算：，，，，…，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和除法，理解新规定的运算是解题关键．根据新规定运算“”的含义列式，再约分计算即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：，且a，b，c都不等于0，则a，b，c中最小的数是（　　） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【详解】本题主要考查了有理数乘除的应用．根据题意可得，，即可求解． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B． 4．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 先确定结果的符号，再将除法变为乘法，按照顺序计算即可． 【详解】解：原式 ． 5．（2024七年级上·辽宁·专题练习）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错 (2)见解析 【分析】此题考查了有理数的乘除运算． （1）根据有理数的乘除运算法则即可进行判断； （2）根据有理数的乘除运算法则写出解答过程即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算， 第二处是第三步，错误原因是符号弄错， 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错； （2）解：原式 ． 题型 4 有理数除法的简算 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，运用有理数的加减运算法则，乘法分配律，除法法则，简便计算的方法进行计算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）把小数化为分数，分母相同的结合起来，运用分数加减运算法则计算即可； （2）运用乘法分配律，把分别乘以括号中的每一项，注意符号不能出错，不能少乘，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）将变形，再根据除以一个非零数，等于乘以这个数的倒数，注意符号不能出错，最后运用有理数的加减运算法则计算即可； （4）运用简便计算方法，提取公因数后，先算括号里的，再算乘法，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型 5 有理数除法的应用 1．（24-25六年级下·上海·阶段练习）某校六年级学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和一辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生110人，求每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【答案】每辆小客车和每辆大客车各能坐名，名学生 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据用6辆小客车和两辆大客车每次可运送学生数减去1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生去除以多的小客车数得到每辆小客车能坐人数，然后计算每辆大客车能坐人数解答即可． 【详解】解：每辆小客车能坐人数为名， 每辆大客车能坐人数为名， 答：每辆小客车和每辆大客车各能坐名，名学生． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 【答案】两站间的路程是200千米 【分析】本题主要考查了有理数混合运算．根据第一次相遇在距A地90千米的地方，可知甲乙每行驶一个总路程，一辆汽车就行了：（千米），第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方，据此列式计算求解即可． 【详解】解：（千米）， 第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方， 270米包含甲走了1个全程和1个的全程， 则270米对应的全程百分率为， 即1个全程为（千米）． 答：两站间的路程是200千米． 3．（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． (1)分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． (2)原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 【答案】(1)当原点与点重合时，；当原点与的中点重合时， (2)的值将会增大3，原点在点处 【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的加减运算，数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）求出当原点与点重合时，点A、B、C表示的数，再求出p的值；先求出原点与的中点重合时，点C表示的数，然后再求出p的值即可； （2）根据数轴特点，得出原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，根据时，得出p增大了6，从而得出原点从与点重合的位置，向左移动，能得到． 【详解】（1）解：∵当原点与点重合时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0， ∴， 当原点与的中点重合时，点，表示的数为一对相反数， ∴此时点表示的数为， ∴． （2）解：原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，则的值将会增大3， 当时，， ∵， 原点从与点重合的位置，向左移动，能得到， 此时原点在点处． 4．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图，将一条数轴在点，点，点，点处各折一下，得到“折线数轴”．图中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为8，点表示的数为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，动点上坡时的速度是初始速度的一半，下坡时的速度是初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)求动点出发3秒时，所在位置对应的数是多少； (2)动点从点运动到点需要多少秒？ 【答案】(1)动点出发3秒时，所在位置对应的数是 (2)20秒 【分析】本题主要考查数轴，有理数的运算，解题关键是读懂题意． （1）求出动点出发3秒的距离加上即可； （2）分别求出动点在每一段上运动的时间，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在段所用时间为秒， 所以出发3秒时，动点在段上，所以， 所以动点出发3秒时，所在位置对应的数是； （2）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒， ，， 所以动点从点运动至点需要的时间为（秒）． 5．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． (1)若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； (2)若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据每经过水平距离高度上升列式计算即可； （2）根据每垂直升高用时列式计算即可． 【详解】（1）解：， 答：B点的海拔为； （2）解：， 答：从A点到C点所用的时间为． 题型 6 有理数四则运算的实际应用 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某校组织六年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．最后一共有名学生报名参加．每张门票原价是元，暑假期间有优惠促销，请你算一算，哪种购票方案最划算？ 方案一：人以上可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买张送张，不满张不赠送． 方案三：每满元返还元． 【答案】第一种购票方案最划算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解数量关系，正确列式求解是关键． 根据题意，运用有理数的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：方案一：人以上可购团体票，每张按九折出售， （元）； 方案二：每买张送张，不满张不赠送， ， ∴买了张，送了6张，此时还有1人没票， ∴费用为（元）； 方案三：每满元返还元， （元），， ∴（元）； ∵， ∴第一种购票方案最划算． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）甲乙二人分别从、两地同时出发，相向而行．出发时他们的速度比是，他们第一次相遇后，甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是多少千米？ 【答案】甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是千米． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，列出算式，再根据有理数的运算法则计算即可求解，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：相遇时，甲行了全程的，乙行了全程的， 提速后，甲速乙速， 则两地相距为：千米， 答：甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是千米． 3．（24-25七年级上·河北沧州·期中）体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为30个，第一组8名女生的成绩记录为：，0，，，，，，．其中+号表示超过达标成绩的个数，表示不足达标成绩的个数． (1)第一组8名女生中最好成绩与最差成绩相差________个； (2)求第一组8名女生的平均成绩； (3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分．若一分钟仰卧起坐总积分超过60分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号． 【答案】(1)22 (2)第一组8名女生的平均成绩为33个 (3)能得到优秀体育小组称号，见解析 【分析】本题考查正负数的实际应用以及有理数的加减混合运算的应用． （1）找出最好成绩的与最差成绩的进行相减即可； （2）根据题意列出式子再进行计算即可； （3）根据题意列出式子，再进行计算，最后与60进行比较即可．根据题意列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：（个）， 故答案为：22； （2）解： （个）． 答：第一组8名女生的平均成绩为33个； （3）解： （分）． 因为， 所以能得到优秀体育小组称号． 题型 7 利用倒数法求解有理数的除法 1．（22-23七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）分析三种方法的解答过程可得答案； （2）根据解答过程可得答案； （3）类比解法③的方法求解即可． 【详解】（1）解：以上三种不同的解法中，没有除法分配律，故解法①是错误的；解法②和③解答过程正确； 故答案为：①； （2）解：解法②和③解答过程正确，解法③比较简便， 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）学习了有理数的乘除法运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又快又对，下面是两位同学给出的不同解法： 小刚：原式； 小聪：原式． (1)以上两种解法，你认为 （填入名）的解法比较简便； (2)你还有其他解法吗？如果有，请写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请写出解答过程． 【答案】(1)小聪 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）观察两名同学的解法，找出比较简便的即可； （2）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （3）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：以上两种解法，认为小聪的解法比较简便； 故答案为：小聪； （2）解：原式 ； （3）解： ． 题型 8 与有理数乘除法有关的新定义问题 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算：(1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 2．（24-25七年级上·河南新乡·期中）定义一种新的运算：，如：， 求：(1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果； （2）先计算，求得，再计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·新定义若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 根据题干中提供的信息，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．（24-25七年级上·山东济南·期中）定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，读懂新运算，把新运算转化为熟悉的运算是解题的关键． （1）直接按新运算计算后判定即可； （2）先按新运算计算，再算加减法； （3）根据把全部转化为分数加减法，把互为相反数相加为零，据此求解． 【详解】（1）解：①， ， ， ∵， ∴和是“隔一数对”； ②， ， ∵， ∴和不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： （3）∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴，，，， ∴ ． 5．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：． 如：． (1)计算：______； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算：直接根据新定义列出对应的算式，再根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； 故答案为：； （2）解：由题意得， ． 题型 9 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 1 0或/或0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键． （1）由给出条件和绝对值的性质即可解答； （2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可． 【详解】解：（1）当时，． 故答案为：1． （2）∵， ∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负， ①当a、b、c为两正一负时，不防设， ∴； ①当a、b、c都为负时，即， ∴； 综上，该代数式的值为0或． 故答案为：0或． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为 ． 【答案】 【分析】先化简x的表达式，再利用a，b，c中负因数的个数为奇数个分别求出最大值与最小值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴a，b，c中负因数的个数为奇数个 ∴当时，x的最大值为， 当时，x的最小值为， ∴x的最大值与最小值的成绩为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）已知，且，则 ． （2）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的除法运算，绝对值，以及有理数的除法运算． （1）利用绝对值的意义及，求出x与y的值，即可求出的值； （2）利用绝对值的意义及，可得出，即可求出的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴当时，，则； 当时，，则； ∴； 故答案为：； （2）当时，； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 1．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）下表的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，，，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，理解相关运算法则是解题关键．由已知条件得出，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：，， ，, ， ， ， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个， 故选：C． 3．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）与“”相等的算式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数除法，乘法的混合运算法则解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由， ，不符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； ，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 5．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 6．（24-25七年级上·四川乐山·期末）某食品厂生产的某种袋装食品标准质量为每袋120克，抽检其中20袋，记录如下（“+”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量）： 与标准质量的差值（单位：克） 0 袋数 1 4 3 4 5 3 则这20袋食品的平均质量为（　　） A．120.95克 B．120.1克 C．122克 D．139克 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解： ， 即这20袋食品的平均质量为120.95g， 故选：A． 7．（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）三个有理数进行乘除运算，结果是正数，其中负数最多可以有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘除法．根据题意利用“同号得正，异号得负”即可得到本题答案． 【详解】解：由题意得： 三个有理数进行乘除运算，结果是正数，其中负数最多有2个， 故选：C． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如果，则一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数除法，熟知绝对值为非负数是解题的关键； 根据绝对值的性质：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数；③当a是零时，a的绝对值是零可得a为非正数，即可解答． 【详解】解：∵， ∴与a异号， ∴， ∴， ∵a为分母， ∴， ∴a一定是负数， 故选：B． 9．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）已知与互为相反数，且，则下列式子：① ；②；③；④； ⑤，其中一定成立的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查相反数，根据互为相反数的两个数的和为解题即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴，，， 故选：C． 10．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选A． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 12．（24-25七年级上·河北保定·期中）若，，且为负有理数，则（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的加法和乘法．由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴或，或． 又∵为负有理数，即，异号， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，． 故选：C． 13．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 14．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查有理数的混合运算，化简绝对值，有理数的大小比较，先分别求出a，b，c的值，再比较大小即可 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，, ∴，即， 故答案为：. 15．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）对非零有理数，定义一种运算，其规则是：，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据新定义得到，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 【答案】己未 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式，利用余数进行判断即可． 【详解】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环， 所以余4，余2， 则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”， 所以2099年是己未年． 故答案为：己未 17．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 18．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动且运动方向不同，则经过 秒时，线段的长为6厘米． 【答案】或 【分析】此题考查了两点间的距离有理数混合运算的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．首先根据厘米，厘米，求出的长度是多少；然后分两种情况：点P向左运动，点Q向右运动；点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可． 【详解】解：∵厘米，厘米， ∴（厘米）； （1）点P向左运动，点Q向右运动时， （秒） （2）点P向右运动，点Q向左运动时， （秒） ∴经过或秒时线段的长为6厘米． 故答案为：或． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 20．（24-25七年级下·河南·自主招生）龟兔赛跑，全程1800米．乌龟每分钟爬15米，兔子每分钟跑400米．发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远地甩在后面，骄傲的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米．兔子在途中睡了多少分钟？ 【答案】兔子在途中睡了116分钟． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．根据“路程速度时间”计算出乌龟跑完全程总用时，再计算兔子离终点还有200米时用时，再计算出时间差即可求解． 【详解】解：乌龟跑完全程总用时：（分钟）， 兔子离终点还有200米时用时：（分钟）， ， ∴兔子在途中睡了116分钟． 21．（24-25七年级上·山西朔州·期末）中国铁路太原局不断拓展1，2，3小时高铁出行圈，进一步扩大城际和市域快线列车开行范围，努力实现“有流就有车，有客就有票”．太原至晋中某列高铁载客情况如图所示，目标载客数为800人，目标载客数上方条形图表示超过目标人数的数量，下方则表示不足目标人数的数量． (1)若超过目标人数的部分记为正，不足目标人数的部分记为负，如：12月4日的数据可记作“”，则12月7日的数据可记作______． (2)求这4天的总载客人数． 【答案】(1) (2)这4天的总载客人数为人 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，理解题意，正确计算是解题的关键． （1）根据题意，可得答案； （2）根据图中信息，把每一天的载客人数算出，相加即可． 【详解】（1）解：根据题意可得12月7日的数据可记作； 故答案为：； （2）解：人， 答：这4天的总载客人数为人． 22．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）恩格尔系数是国际上通用的衡量居民家庭生活水平高低的指标之一．具体计算公式为：恩格尔系数，恩格尔系数达到以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕．为了了解自己家的生活水平，闻文对自己家8月份的收支情况进行了整理和记录，如下表： 项目 收支情况／元 爸爸和妈妈的月工资收入总和8000元 _____________ 水，电，煤气，手机，宽带等共支出1400元 文化教育支出元 食物支出1800元 _____________ 合计支出 (1)将表格中横线部分补充完整，并根据闻文家本月合计支出7200元，求出的值； (2)根据以上信息，对闻文家的生活水平进行评价． 【答案】(1)；；支出4000元 (2)最富裕 【分析】本题考查正数和负数，有理数的运算． （1）根据题目给出的正数和负数的意义填表即可，再用总支出减去除文化教育外支出即可得出的值； （2）根据恩格尔系数公式计算闻文家的恩格尔系数，根据结果进行评价即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以文化教育支出4000元，即的值为4000； 填表如下： 项目 收支情况／元 爸爸和妈妈的月工资收入总和8000元 水，电，煤气，手机，宽带等共支出1400元 文化教育支出元 食物支出1800元 合计支出 故答案为：；； （2）解：恩格尔系数， ∴闻文家的生活水平属于最富裕． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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