专题09y＝ax²与 y＝ax²＋k的图象和性质（17大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题09二次函数y＝ax²与 y＝ax²＋k的图象和性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：X大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.二次函数y=ax²（a≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax²（a≠0)的图象 二次函数y=ax²的图象叫做抛物线y=ax².抛物线y=ax²是轴对称图形，对称轴是y轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线y=ax²的顶点是原点. 2.二次函数y=ar2(a≠0)图象的作法 (1)列表：在二次函数y=ax²中，自变量x的取值范围是全体实数给出x的一些代表值，求出对应的y值： (2)描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点： (3)连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸， x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 4.二次函数y=ax²解析式中二次项系数a与抛物线间的关系 (1)a的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值.当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值.（2)的大小决定抛物线的开口大小，越大开口越小 【课前热身】 1．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 2．若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求实数的值； (2)写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 4．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 知识点2.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质、 1.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质 2.二次函数y=ax²+k与y=ax²（a≠0)之间的关系 【课前热身】 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 3．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 【题型1】y＝ax²的图象 1．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）二次函数的图象是（　　） A．B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型2】y＝ax²的增减性 4．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【题型3】y＝ax²的图象与性质 7．（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： (1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)函数有最大值； (3)函数的图象是开口向上的抛物线． 9．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【题型4】y＝ax²的公共点问题 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 12．（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5】y＝ax²与几何性质 14．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 16．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【题型6】y＝ax²与几何规律探究 17．（2022·广东东莞·一模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    【题型7】y＝ax²与几何综合问题 19．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【题型8】y＝ax²+k的性质 21．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 23．（23-24九年级上·天津津南·阶段练习）抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 【题型9】y＝ax²+k的增减性 24．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 25．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 26．（18-19九年级·河南信阳·阶段练习）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则下列说法错误的是（　　） A．y1＝y2，则x1＝﹣x2 B．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 C．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 D．抛物线的对称轴是y轴 【题型10】y＝ax²+k的图象 27．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 28．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 29．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是 A．B．C．D． 【题型11】y＝ax²+k与y=kx+b的图象 30．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 31．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 32．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，抛物线与直线相交于点，． (1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围． 【题型12】y＝ax²+k与一次函数之间的关系 33．（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 34．（20-21九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 35．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 【题型13】y＝ax²+k的最值问题 36．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 38．（24-25九年级下·全国·期末）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 【题型14】y＝ax²+k与几何的性质问题 39．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【题型15】y＝ax²+k的图形与性质综合 问题 41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 42．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)在直角坐标系中画出该函数图象； (3)写出此函数的开口方向、对称轴及顶点坐标； (4)已知点，，都在此函数图象上，试比较，，的大小． 43．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【题型16】y＝ax²+k的应用问题 44．（2025·河南周口·一模）开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度是，最高点C距地面的距离为．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)根据图2，若一位身高的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否超过． 45．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度，一同学站在门内，在离门脚B点远的D处，垂直于地面立起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式． (2)求出该大门的高h． 【题型17】y＝ax²+k与几何综合问题 46．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（23-24九年级上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点是关于点对称点．过点的直线 其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且． (1)填空：点的坐标为 ；点的坐标为 用含的式子表示； (2)求线段的长用含的式子表示)； (3)点是否一定在抛物线上？说明理由． 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（    ）． A．开口方向相同 B．顶点坐标相同 C．变化情况相同 D．对称轴相同 5．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点一定位于（   ） A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方 C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级下·上海·开学考试）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则 ． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 12．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是的中点，则的值是 ． 13．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若，，是抛物线上的一点，则的值为 ． 14．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位． 三、解答题 15．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 16．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 17．（24-25九年级上·天津·阶段练习）抛物线与轴交于点． (1)求出的值并画出这条抛物线； (2)求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标： (3)取什么值时，抛物线在轴上方？ (4)取什么值时，的值随值的增大而减小？ 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，直线经过点和点，且与二次函数的图像在第二象限内相交于点C，在第一象限内相交于点P，已知P点的横坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求C点的坐标； (3)点D在抛物线上，有，求D点的坐标． 19．（2025·安徽合肥·一模）已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若，两点都在直线上，求线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09二次函数y＝ax²与 y＝ax²＋k的图象和性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：X大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.二次函数y=ax²（a≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax²（a≠0)的图象 二次函数y=ax²的图象叫做抛物线y=ax².抛物线y=ax²是轴对称图形，对称轴是y轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线y=ax²的顶点是原点. 2.二次函数y=ar2(a≠0)图象的作法 (1)列表：在二次函数y=ax²中，自变量x的取值范围是全体实数给出x的一些代表值，求出对应的y值： (2)描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点： (3)连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸， x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 4.二次函数y=ax²解析式中二次项系数a与抛物线间的关系 (1)a的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值.当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值.（2)的大小决定抛物线的开口大小，越大开口越小 【课前热身】 1．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质．由抛物线开口方向可求得a的取值范围，可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线， ∴， ∴， 观察发现只有选项A符合题意， 故选：A． 3．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求实数的值； (2)写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)，对称轴是轴 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． （1）根据二次函数的次数是2可得方程，根据二次函数的性质，可得，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得； （2）由（1）得二次函数的解析式为， 的顶点坐标是，对称轴是y轴． 4．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 知识点2.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质、 1.二次函数y=ax²+k（a≠0)的图象与性质 2.二次函数y=ax²+k与y=ax²（a≠0)之间的关系 【课前热身】 5．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选A． 6．对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，函数的最大值为，故B不正确，符合题意； 故选：B． 7．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 【答案】画图见解析；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－2）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的． 【分析】首先利用取值，描点，连线的方法画出二次函数的图像，再根据函数图像得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，通过观察函数图像即可得到它们之间的关系． 【详解】解：如图所示，即为三者的函数图像： 由函数图像可知：函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）； 函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）； 函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-2）； 由此可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k），由此可知当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，二次函数图像的平移，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【题型1】y＝ax²的图象 1．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）二次函数的图象是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是轴，顶点为， 由可知，抛物线开口向下， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟悉抛物线的开口方向和的关系是解题的关键．由题意得，，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 【题型2】y＝ax²的增减性 4．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在函数的图象上， 且， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 【详解】解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 【题型3】y＝ax²的图象与性质 7．（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 【详解】A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意； B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意； C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意． 故选：D． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： (1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)函数有最大值； (3)函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次项的系数小于，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于，据此列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，解之即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：； （2）解：由题意可得： ， 解得：； （3）解：由题意可得： ， 解得：． 9．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，轴； (2)； (3)画图见解析，． 【分析】（）根据二次函数的定义先求出，，然后由当时，随的增大而增大，则有，然后根据二次函数的性质即可求解； （）据二次函数的性质即可求解； （）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出的取值范围； 本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得：，， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，即轴， 故答案为：，轴； （2）解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴， ∴点在该图象上对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：列表： 如图， 根据图象可知：当时， ∴的取值范围， 故答案为：． 【题型4】y＝ax²的公共点问题 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．分，时，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解． 【详解】解：当时，抛物线开口向下，此时抛物线与线段没有交点，不合题意； 当时，若抛物线与线段只有一个公共点，如图所示： ∴由图象可知：需满足当时，且当时，， 即， 解得， 故答案为． 11．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为，，， ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故答案为：． 12．（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图象可知≤a≤3， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：， 如图，若抛物线与线段恰有一个公共点， 则的取值范围是， 故选：D． 【题型5】y＝ax²与几何性质 14．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的图象与性质，根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为1，由此可求得A点横坐标，即得的长，从而得长，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为1； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为， 即的长， ∴， ∴菱形面积为． 故选：C． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键，根据题意求出点坐标，从而得到的长，根据正方形的性质得到长, 过点作轴于点，过点作轴于点,可证,得到,在直角中,利用勾股定理解得的长,进而得到的长,即可得到答案． 【详解】解：由题可得：设 ∵点在抛物线的第一象限的图象上， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴, ∵四边形为正方形， ∴, 过点作轴于点，过点作轴于点, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵点的横坐标为， ∴ ∴在中，, ∴, 点的横坐标为3, 故选：A． 16．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 【题型6】y＝ax²与几何规律探究 17．（2022·广东东莞·一模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 18．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ∴ 依此类推，则正方形的边长为． 故答案为：． 【题型7】y＝ax²与几何综合问题 19．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）结合菱形的性质，得出，由勾股定理得，得到，再把代入进行计算，即可作答． （2）结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得因为点B，D在y轴的同侧，所以即，据此即可作答． 【详解】（1）解：设交y轴于点E， 设菱形的边长为， 则． 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； （2）解：为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型8】y＝ax²+k的性质 21．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选A． 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 23．（23-24九年级上·天津津南·阶段练习）抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 【答案】 下 轴(或) 低 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键． 【题型9】y＝ax²+k的增减性 24．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得在轴右侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象开口向上，对称轴为轴， 在轴右侧，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 25．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 【详解】解：中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 26．（18-19九年级·河南信阳·阶段练习）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则下列说法错误的是（　　） A．y1＝y2，则x1＝﹣x2 B．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 C．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 D．抛物线的对称轴是y轴 【答案】B 【分析】由于抛物线y=x2-1的图象关于y轴对称，开口向上，分别判断如下：若y1=y2，则x1=-x2；若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，若x1＜x2＜0，则在对称轴的正侧，y随x的增大而减小． 【详解】解：A、若y1＝y2，则x1＝﹣x2，说法正确； B、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，说法错误； C、若x1＜x2＜0，则在对称轴的正侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，说法正确； D、抛物线的对称轴是y轴，说法正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【题型10】y＝ax²+k的图象 27．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向． 【详解】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误． 故选：A． 28．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 29．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 【题型11】y＝ax²+k与y=kx+b的图象 30．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 的解为或3， 故选：C． 31．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 32．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，抛物线与直线相交于点，． (1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，；，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象得，；再联立方程组，解出即； （2）运用数形结合思想，得出当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：结合图象，得出抛物线的顶点坐标为，直线与轴交于点， ∴，， 即，； ∵抛物线与直线相交于点，． ∴ ∴ 整理得 ∴ 则 结合图象，得； （2）解：∵，且， ∴由图得． 【题型12】y＝ax²+k与一次函数之间的关系 33．（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 【答案】(1)新抛物线解析式为； (2)点在这个新抛物线上． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【详解】（1）解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； （2）解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 34．（20-21九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，如图，直线AB经过点，点，与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为6． （1）求a的值； （2）若将抛物线沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A． 【答案】（1）；（2）6． 【分析】（1）首先求得直线的解析式，然后根据面积求得点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入二次函数即可求解； （2）根据题意得平移后的抛物线为，把代入即可得到结论． 【详解】解：设点，直线的解析式为， 将、分别代入， 得，， 故， 的面积 ， 再把代入，得， 所以， 把代入到中得：； （2）设向下平移个单位才能使得平移后的抛物线经过点， 则平移后的抛物线为， 把代入得， 向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与图象相结合的应用，难度中等．解题关键是利用三角形面积求出点P的坐标． 35．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，分别连接、，从而若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4，进而可得轴，又上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线，从而，可得四边形为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形的面积，进而得解． 【详解】解：如图，分别连接、． ∵若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4， ∴轴． 又∵上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形的面积． 故答案为：24． 【题型13】y＝ax²+k的最值问题 36．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，当时，y随的x增大而增大， 那么时取得最小值，时取得最大值， 最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时 时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当时， 此时时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：． 故选：B． 37．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 38．（24-25九年级下·全国·期末）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数，对称轴为y轴，得时，随的增大而减小，,与关于y轴对称，得当时，随的增大而减小，然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：，对称轴为y轴， 时，随的增大而减小， ，,与关于y轴对称， 时，的最大值； 当时，最小． 的取值范围是． 故答案为：． 【题型14】y＝ax²+k与几何的性质问题 39．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 40．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与矩形综合．熟练掌握二次函数图象和性质，中心对换性质，矩形性质，是解题的关键． 求出，，，，．根据矩形性质，得，得， 解得． 【详解】解：中，令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴，， ∴，． 由对称性知，C、B、三点共线， ∵平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴a，应满足关系式． 故选C． 【题型15】y＝ax²+k的图形与性质综合 问题 41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 42．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)在直角坐标系中画出该函数图象； (3)写出此函数的开口方向、对称轴及顶点坐标； (4)已知点，，都在此函数图象上，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)此函数的开口方向向下、对称轴为直线，顶点坐标为； (4) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质，比较二次函数值的大小，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）将点代入二次函数解析式，求出的值即可； （2）分别求出二次函数与轴和轴的交点，即可画出函数图象； （3）根据（2）函数图象即可作答； （4）将的值代入二次函数解析式，分别求出、、的值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：， 令，则，解得：， 二次函数与轴的交点为和， 令，则， 二次函数与轴的交点为，且为顶点， 该函数图象如下： （3）解：由（2）函数图象可知，此函数的开口方向向下、对称轴为直线，顶点坐标为； （4）解：当时，； 当时，； 当时，； ， ． 43．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【答案】(1)5，3 (2)或2 (3)或 (4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【题型16】y＝ax²+k的应用问题 44．（2025·河南周口·一模）开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度是，最高点C距地面的距离为．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)根据图2，若一位身高的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否超过． 【答案】(1) (2)不超过 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分析题干的条件，得抛物线的顶点的坐标为，且过点，故设抛物线的解析式为．然后运用待定系数法进行求解，即可作答． （2）理解题意，则把代入，得出，再求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为． 将代入解析式，得． 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：该瓜农站直行走的横向距离不超过，理由如下： 令， 即， 解得， 瓜农站直行走的横向距离是． ， 瓜农站直行走的横向距离不超过． 45．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度，一同学站在门内，在离门脚B点远的D处，垂直于地面立起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式． (2)求出该大门的高h． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了二次函数的应用——拱门问题．建立适当的直角坐标系，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象和性质，是解答题目的关键． （1）以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则该函数解析式为（），把代入解方程组即得； （2）代入计算即得． 【详解】（1）以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 设该函数解析式为（）， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为； ∴代入， 得． 故该大门的高度． 【题型17】y＝ax²+k与几何综合问题 46．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为 (2)不存在．理由见解析 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 47．（23-24九年级上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点是关于点对称点．过点的直线 其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且． (1)填空：点的坐标为 ；点的坐标为 用含的式子表示； (2)求线段的长用含的式子表示)； (3)点是否一定在抛物线上？说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)点一定在抛物线上，理由见解析 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点坐标，再利用对称可求得点坐标，然后用表示出点坐标，； （2）过作于点，条件可知点在轴上方，设点纵坐标为，可表示出、的长．在中，利用勾股定理可求得，则可求出的长， （3）根据（2）得出点坐标，代入抛物线解析式可判断点在抛物线上． 【详解】（1）的顶点的坐标为， 原点关于点的对称点的坐标为 点坐标为， 直线解析式为， 解得：， ． 故答案为； （2）解：点坐标为， 直线解析式为， 令，解得， ， 点只能在轴上方， 过作于点，    设， 则，， ． 在，由勾股定理可得， 即，解得， ． （3）， 点坐标为， 当时，代入抛物线解析式可得， 点一定在抛物线上． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于的长的方程是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像是解题的关键．根据二次函数图像对称性解答即可． 【详解】解：点与关于二次函数的对称轴轴对称， 故该图像必经过点， 故选C． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的增减性的应用，计算对称轴，比较点与对称轴的距离大小，结合性质判断即可． 【详解】∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越小， ∵， ∴， 故选B． 3．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不规则图形的面积，二次函数的性质，根据对称性，得到阴影部分的面积为半圆的面积，求解即可． 【详解】解：∵是函数的图象，是函数的图象， ∴，关于轴对称， ∴轴上方的阴影部分的面积等于轴下方圆内空白处的面积， ∴阴影部分的面积为半圆的面积，即为； 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（    ）． A．开口方向相同 B．顶点坐标相同 C．变化情况相同 D．对称轴相同 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的变换，根据旋转的性质，得到两条抛物线的开口方向相反，顶点关于原点对称，对称轴相同，即可得出结论． 【详解】解：的图象的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为：， ∴抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线的开口向下，顶点坐标为：，对称轴为轴， ∴这两条抛物线的变化情况不同，对称轴相同； 故选D． 5．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，两点间的距离，利用平方差公式因式分解，设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则，根据“焦点”定义可知：，，则，根据两点间的距离可得，然后解出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， 设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则， 根据“焦点”定义可知：，， ∵点为抛物线顶点坐标， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， 由得：， ∴， 即：， 整理得：， ∴， ∴，解得：， ∴焦点的坐标为， 故选：． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的性质求出点B的坐标． 过点B向x轴引垂线，交点为点E，连接，可得的长度，再求出的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点E，连接， 正方形绕顶点顺时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把点B抛物线得：， 解得：， 故选：D． 7．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点一定位于（   ） A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方 C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象，根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可． 【详解】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下： A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意； B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意； C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意； D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意； 故选：C． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标及矩形的性质和中心对称的性质．由矩形性质得，即可求解． 【详解】解：令，得， ， 令，得， ， ，， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题 9．（24-25九年级下·上海·开学考试）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【分析】本题考查了抛物线的性质，根据抛物线的性质即可求解，掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，在抛物线中，， ∴抛物线的开口向下， ∴该抛物线有最高点， 故答案为：高． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义和图象，熟练掌握二次函数的定义和图象特征是解题关键．根据二次函数的定义和二次函数的图象特征可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的二次函数，且该函数图象开口向下， ∴，且， ∴， 故答案为：． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 12．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是的中点，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，由抛物线的对称性可知，从而可得，，再由点是的中点，即可得到，即：，再根据即可得到，进而可得，即可求解．解题的关键在于能够求出． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知， ∴， ∵点是的中点， ∴，即：， 将，代入可知：， 则， ， ， ， 故答案为：3． 13．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若，，是抛物线上的一点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，先求出，然后用待定系数法求出，再把代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴是y轴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入，得． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．利用抛物线的对称轴，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积，如图，设，则，所以，然后利用平行四边形的面积公式计算出平行四边形的面积，从而得到直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积． 【详解】解：如图，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积， 设，则， ∴， ∴平行四边形的面积， ∴直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为20． 故答案为：20． 三、解答题 15．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 16．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 17．（24-25九年级上·天津·阶段练习）抛物线与轴交于点． (1)求出的值并画出这条抛物线； (2)求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标： (3)取什么值时，抛物线在轴上方？ (4)取什么值时，的值随值的增大而减小？ 【答案】(1)3，图见解析 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，五点法作图即可； （2）令，求出它与轴的交点，根据二次函数的图象直接写出顶点坐标即可； （3）根据图象法进行求解即可； （4）根据图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 列表如下： 0 1 2 2 3 2 画图如下： （2）由（1）可知：， 当时，， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为：； 由图可知，抛物线的顶点坐标为：； （3）由图象可知：时，抛物线在轴的上方； （4）由图象可知，当时，的值随值的增大而减小． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，直线经过点和点，且与二次函数的图像在第二象限内相交于点C，在第一象限内相交于点P，已知P点的横坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求C点的坐标； (3)点D在抛物线上，有，求D点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，求二次函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图像和性质； （1）待定系数法求出一次函数的解析式，再求出P点坐标，代入二次函数解析式即可得解； （2）联立二次函数与一次函数的解析式，即可得解； （3）连接，设，先求出，再根据可得，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点和点代入得， 解得， 直线的解析式为， P点的横坐标为， P点的纵坐标为， ， 把代入得，， 解得：， 二次函数的解析式； （2）解：联立得， 解得：， 当时，， ； （3）解：连接， 设， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 或． 19．（2025·安徽合肥·一模）已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若，两点都在直线上，求线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意得到直线平行于轴，令，求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，然后分两种情况：当直线落在轴上时，可得， 当直线不在轴上，然后联立求出，设，求出，，然后代入求解即可； （3）首先得到，根据求出，然后结合即可证明． 【详解】（1）解：∵直线平行于轴， ∴令，即， 解得， ∴线段的长度为． （2）解：∵抛物线关于轴对称， ∴ ∴抛物线 若直线落在轴上， ∴当时，即 解得 ∴ ∴； 若直线不在轴上， 设直线的解析式为，联立方程， 得， 解得． 不妨设， ∴，， ∴． （3）证明： ∵，且，为整数， ∴，即 ∴， 又， ∴为正值． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$