专题08二次函数（4大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题08二次函数（4大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1．二次函数 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2.二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式,因此,把y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【课前热身】 1．指出下列二次函数中相应的，，的值： （1）； （2）； （3）． 2．下列函数中哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4） ； （5）． 3． 当系数，，满足什么条件时，函数是二次函数？是一次函数？是正比例函数？ 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【课前热身】 1．正方形的边长为4，当边长增加时，面积增加，求与之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？ 2．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，写出第3年的销售量关于每年增加的百分率的函数解析式． 3．已知：一个边长为的正方形，把它的边长延长后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分和面积增大的部分分别是的函数． 求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中，，的值． 【题型1 】二次函数的有关概念 1．（2025•普陀区三模）下列函数中，关于的二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•仙游县期末）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　 A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 3．在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 4．判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）． （2）． （3）． （4）． 【题型2】根据二次函数的定义求参数的值 5．（2024秋•谯城区期末）已知是二次函数，则　　 A．0 B．1 C． D．1或 6．（2024秋•郫都区期末）若函数表示是的二次函数，则的值为　　． 7．（2024秋•凉州区校级期中）已知是关于的二次函数，求的值． 8．（2024秋•上思县期中）已知关于的函数． （1）当为何值时，此函数是二次函数？ （2）当为何值时，此函数是一次函数？ 9．（2024秋•崆峒区校级月考）已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）当为何值时，是的二次函数？ 【题型3】判断是否是二次函数关系 10．（2025•朝阳区校级模拟）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为 ，的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，，随的变化而变化，则，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 11．（2025春•银川校级月考）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为 ，另一条直角边的长为 ，图②中的较小正方形面积为 ．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 12．（2024秋•平舆县期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为，，现将矩形绿地的长、宽各增加 ．设新绿地的周长为，面积为，当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【题型4】根据实际问题列二次函数关系式 13．（2024秋•城关区校级期末）为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为，该药品的原价是50元，降价后的价格是元，则与之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 14．（2025•云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 15．（2024秋•内乡县期末）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为　　 A． B． C． D． 16．在一块一边长为、另一边长为的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出宽度为 的小路，中间花坛面积为 ，求与之间的函数表达式． 17．如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． = 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•宜州区期末）下列函数中是二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•路桥区期末）已知是关于的二次函数，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•碑林区期末）若关于的函数是二次函数，则的值为　　 A．0 B．2 C．或2 D． 4．（2024秋•谯城区期末）已知是二次函数，则　　 A．0 B．1 C． D．1或 5．（2024•金平区校级二模）正方形的面积和边长的函数关系是　　 A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 6．（2024秋•集贤县期末）某超市1月份的营业额为200万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•和平区校级期末）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，设这个苗圃园的宽为，面积为，则与之间的函数表达式为　　 A．， B．， C．， D．， 8．（2024秋•东城区校级月考）线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•虹口区期末）已知是二次函数，那么的值是 　　 ． 10．（2024秋•泗水县期中）已知是关于的二次函数，那么的值为　　． 11．（2024秋•广饶县期中）若是关于的二次函数，则的值为 　　． 12．（2024秋•丰台区校级期中）某商场第一年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，则第三年的销售量关于每年增加的百分率的表达式为　 　． 13．（2024秋•无为市期中）某商店以40元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售时，一周内可销售100件；当售价每提高1元时，其周售量就会减少5件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为　　． 14．（2024秋•东城区校级月考）如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式 　　，自变量的取值范围是 　　． 三．解答题（共4小题） 15．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． 16．已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 （1）分别写出与、与之间的函数表达式； （2）这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 17．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． （1）分别写出关于、关于、关于的函数关系式； （2）这三个函数中，哪些是二次函数？ 18．根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： （1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积是较大的数的函数； （2）一个半径为的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积是方孔边长的函数； （3）有一块长为、宽为的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积是草坪宽度的函数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数（4大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1．二次函数 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2.二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式,因此,把y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【课前热身】 1．指出下列二次函数中相应的，，的值： （1）； （2）； （3）． 【分析】根据二次函数的定义解答． 【详解】解：（1）， ，，； （2）， ，，； （3）， ，，． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 2．下列函数中哪些是二次函数？ （1）；（2）；（3）； （4）；（5）． 【答案】（2）（3）（4）是二次函数． 【分析】根据二次函数的定义进行解答即可． 【详解】解：（1）不是二次函数，不符合题意； （2）是二次函数，符合题意； （3）是二次函数，符合题意； （4）是二次函数，符合题意； （5）不是二次函数，不符合题意． 故（2）（3）（4）是二次函数． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键． 3．当系数，，满足什么条件时，函数是二次函数？是一次函数？是正比例函数？ 【分析】根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可． 【详解】解：函数中，和为任意常数时是二次函数， ，，为任意常数时是一次函数； ，，时是正比例函数． 【点评】此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数，关键是掌握三种函数定义． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【课前热身】 1．正方形的边长为4，当边长增加时，面积增加，求与之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？ 【分析】根据正方形的性质求出与的函数关系，根据二次函数的定义判断． 【详解】解：是的二次函数． 由题意得，， 整理得，， 故是的二次函数． 【点评】本题考查的是二次函数的定义、正方形的性质，掌握二次函数的定义、正方形的面积公式是解题的关键． 2．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，写出第3年的销售量关于每年增加的百分率的函数解析式． 【答案】． 【分析】利用第3年的销售量第一年的销售量每年销售量的增长率），即可得出第3年的销售量关于每年增加的百分率的函数解析式． 【详解】解：根据题意得：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 3．已知：一个边长为的正方形，把它的边长延长后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分和面积增大的部分分别是的函数． 求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中，，的值． 【分析】根据题意可得：周长增大的部分新正方形的周长原正方形的周长；面积增大的部分新正方形的面积原正方形的面积，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：，此函数是正比例函数； ，此函数是二次函数， 其中，，． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列出函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【题型1 】二次函数的有关概念 1．（2025•普陀区三模）下列函数中，关于的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】形如、、为常数，的函数叫做二次函数，由此判断即可． 【详解】解：、不是关于的二次函数，故此选项不符合题意； 、是的正比例函数，故此选项不符合题意； 、是关于的二次函数，故此选项符合题意； 、当时，不是关于的二次函数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．（2024秋•仙游县期末）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　 A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】 【分析】二次函数、、为常数，中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项；由此判断即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的各项及各项系数是解题的关键． 3．在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 【答案】二次函数有：，，，． 【分析】根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：二次函数有：，，，． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1；（2）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为2． 4．判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； （2）不是二次函数； （3）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； （4）不是二次函数． 【分析】根据二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：（1），是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； （2）不是二次函数，是一次函数； （3），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； （4）不是二次函数． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【题型2】根据二次函数的定义求参数的值 5．（2024秋•谯城区期末）已知是二次函数，则　　 A．0 B．1 C． D．1或 【答案】 【分析】根据二次函数的定义可得且，从而可得答案． 【详解】解：由条件可知， 解得或， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握定义是关键． 6．（2024秋•郫都区期末）若函数表示是的二次函数，则的值为　　． 【答案】． 【分析】根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 7．（2024秋•凉州区校级期中）已知是关于的二次函数，求的值． 【分析】根据题意可得，，，因式分解求值即可． 【详解】解：由已知条件可得：，， 解得：，，， ． 【点评】本题主要考查二次函数的概念，因式分解求一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（2024秋•上思县期中）已知关于的函数． （1）当为何值时，此函数是二次函数？ （2）当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】（1）且； （2）． 【分析】（1）形如、、为常数，的函数叫做二次函数，由此解答即可； （2）形如、为常数，的函数叫做一次函数，由此解答即可． 【详解】解：（1）由二次函数的概念可得， ， 解得且； （2）由一次函数的概念可得 ， 解得． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 9．（2024秋•崆峒区校级月考）已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）当为何值时，是的二次函数？ 【答案】（1）当时，是的一次函数； （2）当时，是的二次函数． 【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义解答即可求解； 【详解】解：（1）由题意得，， 解得， 当时，是的一次函数； （2）由题意得，， ， 当时，是的二次函数． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数，掌握一次函数和二次函数的定义是解题的关键． 【题型3】判断是否是二次函数关系 10．（2025•朝阳区校级模拟）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为 ，的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，，随的变化而变化，则，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】 【分析】分别根据题意得，，即可得，与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为 ，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， ，与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系． 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 11．（2025春•银川校级月考）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为 ，另一条直角边的长为 ，图②中的较小正方形面积为 ．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】 【分析】根据题意和图形，可以分别写出与的关系和与的关系，从而可以得到与满足的函数关系和与满足的函数关系． 【详解】解：， 则，与满足一次函数关系， ， 则与满足二次函数关系， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，菱形的性质、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 12．（2024秋•平舆县期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为，，现将矩形绿地的长、宽各增加 ．设新绿地的周长为，面积为，当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】 【分析】依据题意，矩形的周长为，面积，即可判定． 【详解】解：由题意得，， 即与是一次函数关系， ， 矩形面积满足的函数关系为， 即满足二次函数关系， 故选：． 【点评】本题考查二次函数在实际问题中的应用，一次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 【题型4】根据实际问题列二次函数关系式 13．（2024秋•城关区校级期末）为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为，该药品的原价是50元，降价后的价格是元，则与之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，再根据两次降价后的价格为元，即可得出与的函数关系式． 【详解】解：由题意可得： 第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格为元， 又两次降价后的价格为元， 与的函数关系式为：． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列出二次函数的关系式，正确根据数量关系列出式子是解题关键． 14．（2025•云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据降价元，则售价为元，销售量为本，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】解：设每本降价元，则售价为元，销售量为本， 根据题意得，， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式． 15．（2024秋•内乡县期末）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确找到题中的等量关系是解题关键． 16．在一块一边长为、另一边长为的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出宽度为 的小路，中间花坛面积为 ，求与之间的函数表达式． 【答案】． 【分析】由矩形空地的长、宽及四周所留小路的宽度，可得出中间花坛的长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出与之间的函数表达式，再找出的取值范围即可． 【详解】解：矩形空地的长为，宽为，且四周留出小路的宽度为 ， 中间花坛的长为，宽为． 根据题意得：， 又， ， 与之间的函数表达式为． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数表达式是解题的关键． 17．如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】． 【分析】首先表示出矩形面积进而减去小路面积即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据面积关系得出等式是解题关键． 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•宜州区期末）下列函数中是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，即可解答． 【详解】解：、是一次函数，故此选项不符合题意； 、是二次函数，故此选项符合题意； 、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； 、不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．（2024秋•路桥区期末）已知是关于的二次函数，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义进行解答． 【详解】解：根据题意可知，是关于的二次函数， 所以， 即． 故选：． 【点评】此题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键． 3．（2024秋•碑林区期末）若关于的函数是二次函数，则的值为　　 A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 4．（2024秋•谯城区期末）已知是二次函数，则　　 A．0 B．1 C． D．1或 【答案】 【分析】根据二次函数的定义可得且，从而可得答案． 【详解】解：由条件可知， 解得或， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握定义是关键． 5．（2024•金平区校级二模）正方形的面积和边长的函数关系是　　 A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【答案】 【分析】利用正方形的面积公式和函数的相关定义解答即可． 【详解】解：正方形的面积和边长之间的关系可以表示，则与之间的函数关系是二次函数， 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形的面积，二次函数的概念，熟练掌握函数的相关概念是解题的关键． 6．（2024秋•集贤县期末）某超市1月份的营业额为200万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由该超市1月份的营业额及平均每月的增长率，可得出该超市2、3月份的营业额，再结合该超市第一季度的营业额为万元，即可得出与的函数关系式． 【详解】解：某超市1月份的营业额为200万元，平均每月增长率为， 该超市2月份的营业额为万元，3月份的营业额为万元． 根据题意得：， 即． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与的函数关系式是解题的关键． 7．（2023秋•和平区校级期末）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，设这个苗圃园的宽为，面积为，则与之间的函数表达式为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据各边之间的关系，可得出，利用矩形的面积公式，可得出关于的函数关系式，再结合“墙长为，且平行于墙的一边长不小于”，即可求出的取值范围． 【详解】解：篱笆的总长为， ， ． 根据题意得：． 墙长为，且平行于墙的一边长不小于， ， ， 与之间的函数表达式为． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与的函数关系式是解题的关键． 8．（2024秋•东城区校级月考）线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 【答案】 【分析】根据题意可得出与，与的函数关系式，然后根据二次函数的定义和一次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， 的面积，属于二次函数关系， 正方形周长，属于一次函数关系， 故选：． 【点评】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，二次函数的定义，一次函数的定义等知识点，熟练掌握二次函数的定义和一次函数的定义是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•虹口区期末）已知是二次函数，那么的值是 　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：根据已知，得， 解得：． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 10．（2024秋•泗水县期中）已知是关于的二次函数，那么的值为　　． 【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握系数与次数是解题关键． 11．（2024秋•广饶县期中）若是关于的二次函数，则的值为 　3　． 【答案】3． 【分析】根据是不为0的常数）是二次函数，可得答案． 【详解】解：根据是不为0的常数）是二次函数可得： ，且， 解得， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数，利用二次函数的概念是解题关键，注意二次项的系数不等于零． 12．（2024秋•丰台区校级期中）某商场第一年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，则第三年的销售量关于每年增加的百分率的表达式为　　． 【分析】首先表示出第二年的为，然后表示出第三年的为，从而确定答案． 【详解】解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率， 根据题意得：， 故答案为： 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二年和第三年的销售量，难度中等． 13．（2024秋•无为市期中）某商店以40元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售时，一周内可销售100件；当售价每提高1元时，其周售量就会减少5件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为　　． 【分析】根据每月售出衬衫的利润每件的利润每周的销售量得到，整理即可． 【详解】解：根据题意得出： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每件利润以及其销量是解题关键． 14．（2024秋•东城区校级月考）如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式 　　，自变量的取值范围是 　　． 【答案】，． 【分析】先用表示出矩形的长，再利用矩形的面积公式得出与的函数关系式，再结合矩形的性质与墙的长度列不等式组解题即可． 【详解】解：由题意，设矩形垂直于教学楼的一边为米，则矩形的长为米， 则矩形的面积， 即与的函数关系式为； ， 解得：； 故答案为：，． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 三．解答题（共4小题） 15．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． 【答案】（1）（3）（5）是二次函数． 【分析】根据二次函数的定义进行解答即可． 【详解】解：（1）是二次函数，符合题意； （2）不是二次函数，不符合题意； （3）是二次函数，符合题意； （4）不是二次函数，不符合题意； （5）是二次函数，符合题意． 故（1）（3）（5）是二次函数． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键． 16．已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 （1）分别写出与、与之间的函数表达式； （2）这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【分析】（1）直接利用立方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】解：（1）正方体的棱长为，它的表面积为，体积为， ，； （2），是关于的二次函数． 【点评】此题主要考查了立方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． 17．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． （1）分别写出关于、关于、关于的函数关系式； （2）这三个函数中，哪些是二次函数？ 【分析】（1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】解：（1）圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【点评】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． 18．根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： （1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积是较大的数的函数； （2）一个半径为的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积是方孔边长的函数； （3）有一块长为、宽为的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积是草坪宽度的函数． 【分析】根据二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式解答即可． 【详解】解：（1）这两个数的乘积与较大的数的函数关系为：，是二次函数； （2）剩余的面积与方孔边长的函数关系为：，是二次函数； （3）郁金香的种植面积与草坪宽度的函数关系为：，是二次函数． 【点评】本题考查二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$