专题16 探究与表达规律（3知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题16 探究与表达规律 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.数字规律：若是一列整数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等规律，也可能是奇、偶、平方等方面的规律；若是等式，可将每个等式对应写好，比较每一行、每一列数字间的关系找规律；若是分数，则分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系。 2.图形规律：观察数量变化，探究由特殊到一般的关系，用代数式抽象出来；观察图形的拼接，发现规律并类推得到图形的规律性。 3.探索方法：从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，尤其关注变化时与序数的关系，归纳出一般性结论。 【题型1 数字类规律探索之排列问题】 例题：（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2016个数是 ． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）一组数据，，，，，按这种规律得第十个数为 2.（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）一组数：，，，，，，…，根据这个规律，第n个数是 （n为正整数）．（用含n的代数式表示） 3.（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）仔细观察，思考下面 一列数有哪些规律：，2，，8，，32，…，然后填空： （1）第7个数是 ，（2）第2012个数是 ，（3）第n个数是 ． 【题型2 数字类规律探索之末尾数字问题】 例题：（2023·江苏镇江·模拟预测）已知，，，，，，，推测的个位数字是 ． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 2.（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 【题型3 数字类规律探索之新运算问题】 例题：（24-25七年级上·四川成都·开学考试）已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·广西桂林·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 2.（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算： ． 【题型4 数字类规律探索之等式问题】 例题：（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 2.（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【题型5 图形类规律探索之数字问题】 例题：（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·单元测试）某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位． 排数 1 2 3 4 … 座位数 50 53 56 59 … 2.（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【题型6 图形类规律探索之数量问题】 例题：（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2021个图形中共有多少根火柴？ 【变式训练】 1.（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数． (1)图2中点的个数是 ； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）． 2.（24-25七年级上·全国·单元测试）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去． (1)如果剪n次共能得到 个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如． ①试用含的式子表示 ； ②计算 ． 3.（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 一、单选题 1．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南文山·模拟预测）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过1小时便由1个分裂成2个．根据此规律可得，那么经过（为正整数）小时后可分裂成（    ）个细胞 A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·四川资阳·模拟预测）已知；若、b均为整数)，则 ． 7．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    8．（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 9．（2025·广西贺州·三模）据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块． 10．（2025·山东日照·三模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：．规定（k为正整数），例如，．按此定义，则 ． 三、解答题 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 12．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 13．（22-23七年级上·四川南充·期中）观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，4，，16，，； ②1，，4，，16，； ③0，，3，，15，； 取每一行的第个数，依次记为． (1)当时，请依次写出的值； (2)当时，计算的值． 14．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 15．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)对于方式一，4张桌子拼在一起可坐_________人 (2)方式一，n张桌子拼在一起可坐_________ 人（用含n的代数式表示） 方式二，n张桌子拼在一起可坐_________人（用含n的代数式表示）． (3)一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？ 16．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 11 / 11 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根据题目中的数据，可以发现奇数个数都是负数、偶数个数都是正数、整数部分的绝对值是按照1，2，3，4，…，在变化，分数部分的分子是一些连续的奇数，分母部分是对应的个数的平方加1，然后即可写出第n个数． 【详解】 解：∵一组数：，，，，，，…， ∴这列数可以表示为：，，，，…， ∴这组数的第n个数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，表示出第n个数． 3.（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）仔细观察，思考下面 一列数有哪些规律：，2，，8，，32，…，然后填空： （1）第7个数是 ，（2）第2012个数是 ，（3）第n个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字规律，根据规律写出一般式是关键． （1）观察发现后一个数是前一个数的倍，即可求解； （2）利用（1）的规律，把各数写成乘方的形式，即可求解； （3）利用（2）的规律即可求解． 【详解】解：（1）∵，，，，，，… ∴从第2个数开始，后面每一个数是前一个数的倍， ∴第7个数是， 故答案为：； （2）由（1）知：，，，，，， ∴第2012个数是， 故答案为：； （3）由（2）知：第n个数是， 故答案为：． 【题型2 数字类规律探索之末尾数字问题】 例题：（2023·江苏镇江·模拟预测）已知，，，，，，，推测的个位数字是 ． 【答案】9 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意，对于3的正整数幂，个位数字只出现3、9、7、1这四个数，且按这一顺序每四个一循环，据此可求． 【详解】解：，，，，，，， 个位数3、9、7、1按这一顺序每四个一循环， ， 的个位数是：9． 故答案为：9． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】2 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的乘方规律型题．解决本题的关键是熟练掌握以2为底的幂的末位数字的循环规律． 可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循的，根据，得到的个位数字是2． 【详解】∵，，，， ，，，， ，， ∴以2为底的幂的末位数字是以2，4，8，6依次循环， ∴， ∴的个位数字是2， 故答案为：2． 2.（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，掌握整式的混合运算，找出数字计算的规律是解题的关键． （1）根据材料提示的运算法则即可求解； （2）由材料提示找到运算规律可得，再计算幂的结果的个位数，由此即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示得，， 故答案为：； （2） ， ∵，，，，，，……即个位数字4次以循环，在， ∴的个位数为， ∴， 故答案为：． 【题型3 数字类规律探索之新运算问题】 例题：（24-25七年级上·四川成都·开学考试）已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·广西桂林·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】19 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数），需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2024次“运算”的结果是19． 故答案为：19． 2.（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算： ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应项的值．根据题目中的数据，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， …， 由上可得，这列数依次以，，循环出现， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型4 数字类规律探索之等式问题】 例题：（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ． 【答案】239 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索，根据前面几个式子的特点，得到规律，即可确定a与b的值，从而求解． 【详解】解：，，，， 观察得规律：， 则， 所以； 故答案为：239． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可． 此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：（1） ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为： （2）通过观察前面式子可得： 第个等式：． 故答案为： 2.（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）先将乘法化为加法，再加减即可求解； 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， 故答案为：； （3）解：原式． ． 【题型5 图形类规律探索之数字问题】 例题：（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【答案】 9 10 69 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 ， 解得：， ． ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·单元测试）某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位． 排数 1 2 3 4 … 座位数 50 53 56 59 … 【答案】 62，65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，列代数式．有理数加减的应用等知识． （1）由后一排比前一排多3个座位，进而可求出第5排和第6排的座位数． （2）由后一排比前一排多3个座位，从而可得出规律，从而可得答案． 【详解】解：（1）由表格数据可知：后边一排都比前边一排多3个座位， 所以第5排的座位为：（个）；6排有（个） （2）第一排有50， 第二排有， 第三排有， 第三排有， … ∴第n排有：， 故答案为：62，65，． 2.（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 【题型6 图形类规律探索之数量问题】 例题：（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2021个图形中共有多少根火柴？ 【答案】(1)19 (2) (3)第2021个图形中共有6064根火柴． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）观察图形发现规律：每个图形比前一个图形多3根火柴，进而求解； （2）根据每个图形比前一个图形多3根火柴，总结规律即可； （3）将代入（2）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：第1个图中，火柴的根数是； 第2个图中，火柴的根数是； 第3个图中，火柴的根数是； ， 第6个图中，火柴的根数是； 即第6个图中共有19根火柴； 故答案为：19； （2）解：由（1）可得第个图形中火柴有根， 故答案为：； （3）解：当时，， 所以第2021个图形中共有6064根火柴． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数． (1)图2中点的个数是 ； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】(1)9； (2)5； (3)． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． （1）图2中点的个数为： （2）由第1个图形中点的个数为：， 第2个图形中点的个数为：，第3个图形中点的个数为：，得出第n个图形中点的个数为：，进一步得出也就是第5个图形； （3）利用 （2）中的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：图2中点的个数是：， 故答案为：； （2）解：第1个图形中点的个数为： 第2个图形中点的个数为： 第3个图形中点的个数为：， … ∴第n个图形中点的个数为： ， ∴ ∴是第5个图形， 故答案为：5； （3）解：第n个图形中点的个数为： 故答案为：． 2.（24-25七年级上·全国·单元测试）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去． (1)如果剪n次共能得到 个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如． ①试用含的式子表示 ； ②计算 ． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答； ②运用①中的结论进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 剪1次共得到的等边三角形个数为：； 剪2次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； …， 所以剪n次共得到的等边三角形个数为个． 故答案为：． （2）解：①因为原等边三角形的边长为1， 所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第2次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第3次所剪出的小等边三角形的边长为：； …， 所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． 3.（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；4 (2)第个图案中有正三角形个．六边形有个 (3)三角形的个数为个；六边形的个数为个 (4)没有，理由见详解 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； （2）解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． （3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4）解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 一、单选题 1．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类，分别从系数、字母的指数两方面找出规律求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， …， ∴第n个单项式为：． 故选：C． 2．（2025·云南文山·模拟预测）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过1小时便由1个分裂成2个．根据此规律可得，那么经过（为正整数）小时后可分裂成（    ）个细胞 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． 规律：每分裂一次，细胞数量扩大到原来的2倍，据此求解即可． 【详解】一个细胞1小时分裂成2个，即个细胞； 一个细胞2小时分裂成4个，即个细胞； 一个细胞3小时分裂成8个，即个细胞； … 依此类推，一个细胞小时分裂成个细胞； 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，根据所给式子得出规律，令，，求出，得出个位数的规律即可解答． 【详解】解：由题意知：， ， ， 所以，， 令，，则有： ， 因为以2为底的乘方的运算结果个位数字按2，4，8，6循环，且余2， 所以的个位数字为4， 则的个位数字为3． 故选：A． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索，正确理解烷烃中碳原子和氢原子个数的规律是解题的关键．根据烷烃中碳原子和氢原子个数的规律，即得答案． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为， ， 按照此规律，十二烷的化学式为，即． 故选：A． 5．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，，，每三次变换为一个循环，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴每三次变换为一个循环， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（2025·四川资阳·模拟预测）已知；若、b均为整数)，则 ． 【答案】109 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，找到规律是解题的关键； 根据前几个等式可以得到规律：，进而求解． 【详解】解：因为， ， ， ……， 所以第n个等式为：， 所以若、b均为整数)，则， 所以； 故答案为：109． 7．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了探究规律—数字类，由图得对于整数，当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列；当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列；即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：由图得 对于整数， 当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列； 当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列； ， ， 在第行，第列， ，， 故答案为：，． 8．（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】1 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查找规律，先由题中式子，联系到，将原式化简得到，再由得到规律即可确定答案．由式子的特点化简，并找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 对于，当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 综上所述，，则的结果的个位数字是， 故答案为：． 9．（2025·广西贺州·三模）据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块． 【答案】120 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律，根据图形找到规律是解答关键． 根据题意，找到规律来求解． 【详解】解：第1层，用砖1块，新增外围用砖（块）， 第2层，新增外围用砖（块）， 第3层，新增外围用砖（块）， 第4 层，新增外围用砖（块）， 所以第层新增外围用砖为块， 所以第16层，新增外围用砖为（块）． 故答案为：． 10．（2025·山东日照·三模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：．规定（k为正整数），例如，．按此定义，则 ． 【答案】45 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键． 分别计算、、、、、，发现规律为每5次是一组循环即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ， ， ， ∴可知每5次是一组循环， ∵， ∴， 故答案为：45． 三、解答题 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 12．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 【答案】(1)75； (2)这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由见解析 (3)不能为2022，可以为2025，理由见解析 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、有理数加法运算 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案；用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （2）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （3）分别计算出2025和2022除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； 解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （2）解：这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由如下： 设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （3）解：不能为2022，可以为2025，理由如下： 由（2）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵， ∴十字框中五个数之和不能为2022． 13．（22-23七年级上·四川南充·期中）观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，4，，16，，； ②1，，4，，16，； ③0，，3，，15，； 取每一行的第个数，依次记为． (1)当时，请依次写出的值； (2)当时，计算的值． 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了数字变化规律，有理数的乘方，有理数的混合运算，观察得出每行之间的关系式是解题的关键． （1）观察数字的规律，列出代数式，然后n取7计算出x、y、z的值即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：利用数字的排列规律得到： 第①行数的第n个数字为， 第②行数的第n个数字为， 第③行数的第n个数字为（n为正整数）， ∴当时， ∴， ， ； （2）解：当时， ∴ ； 14．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，即可解出此题． （2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 所以第④个式子右边应该是：； （2）解：由观察可得， 第n个式子应该就是：； （3）解： ． 15．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)对于方式一，4张桌子拼在一起可坐_________人 (2)方式一，n张桌子拼在一起可坐_________ 人（用含n的代数式表示） 方式二，n张桌子拼在一起可坐_________人（用含n的代数式表示）． (3)一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？ 【答案】(1)12 (2)； (3)选用第一种摆放方式 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查了图形的变化规律，整式的加减计算，列代数式，代数式求值，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． （1）根据第一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人，求解即可． （2）仔细观察图形并找到规律求解即可． （3）分别代入时和时两种情况求得数值即可． 【详解】（1）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人，4张桌子可以坐人； （2）解：方式一：n张桌子时是； 方式二：n张桌子可以坐； （3）解：第一种，当时，， 第二种，当时，． 所以，选用第一种摆放方式． 16．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【答案】(1)，，，， (2)，过程见解析 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$