专题07一元二次方程单元测试-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题07一元二次方程单元测试 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知项的最高次数是的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中只含有一个未知数，未知项的最高次数是，是整式方程，所以方程是一元二次方程，故A选项符合题意； B选项：方程中含有二个未知数，未知项的最高次数是，所以方程不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C选项：方程中的未知数在分母的位置，是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程整理后得到：，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是． 故选：C． 4．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式，对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个相等的实数根．根据题意得出，求出结果即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 5．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】根据题意得且， 解得且． 故选：D． 6．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）对于关于的一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若关于的方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则； 其中所有正确说法的序号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根， 将代入计算判断①；再根据方程有两个不相等的实数根可得，然后根据一元二次方程根的判别式解答②；接下来将代入方程可知，可解答③. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 所以①正确； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴. 方程中， ∴该方程有两个不相等的实数根. 所以②正确； 将代入方程， 可得， ∴. 所以③不正确. 正确的有①②. 故选：B. 7．（24-25九年级上·广东广州·期中）定义新运算：．若方程有两个相等正实数根，且（其中），则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，解得，，再利用方程有两个相等的正实数解，所以，则．利用新定义得到，然后整理后利用因式分解得到，从而得到的值． 【详解】解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得，， 当时方程有两个相等的负实数解， ∴， ∵， ∴， 整理得， ， 而， ∴， 即． 故选：B． 8．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出，，然后变形为，再整体代入可以求出其值． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 9．（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系、正确列出方程是解题的关键． 该款上衣销售量的月平均增长率为，根据3月份销售量和1月份销售量列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：该款上衣销售量的月平均增长率为， 由题意可得：， 解得：或不合题意舍弃， 所以该款上衣销售量的月平均增长率为． 故选A． 10．（2024·四川广元·一模）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ）    A．820 B．600 C．465 D．210 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方方程的应用，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为、600、465、210时的值，判断即可得解． 【详解】解：由题意可得：前行的点数之和为， 若前行的点数之和为，则， 解得：（舍去）或，即前行的点数之和为，故A不符合题意； 若前行的点数之和为600，则， 解得：，不是整数，即不存在前行的点数之和为600，故B符合题意； 若前行的点数之和为465，则， 解得：或（舍去），即前行的点数之和为465，故C不符合题意； 若前行的点数之和为210，则， 解得：或（舍去），即前行的点数之和为210，故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出符合题意的方程即可． 【详解】解：由题意知二次项系数为，且一根为的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长．熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解：， ， 解得：，， 若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为； 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为． 则这个三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，解方程即可求出m的值，再代入原方程检验即得答案． 【详解】解：设方程的两个根分别为，， 则，， 根据题意得：，即， 解得或； 当时，原方程为，； 当时，原方程为，，舍去． ∴． 故答案为：1． 14．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 15．（24-25九年级上·湖南永州·期末）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 16．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据题意正确找出等量关系列式计算是解决本题的关键． 根据“百位数字使得一元二次方程有实数根”，得到列出关于的不等式，解之得到的取值范围，根据“各位数字之和大于小于得出各位数字之和为或，集合“勤劳数”的定义，分情况讨论可能的数，从而得到对应的“勤劳数”． 【详解】解：根据题意得：， 解得： ∵各位数字之和大于小于， 或， 又∵， (舍去)或， 若则，该数为， 若则，该数为， 答： 这个“勤劳数” 432或630， 满足条件的所有“勤劳数”的和是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）用合适的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答此类问题的关键是根据方程的特点，选取合适的方法解方程． （1）直接利用开方法求解即可； （2）根据公式法可以解答此方程； （3）先移项，根据因式分解法可以解答此方程； （4）先移项，然后根据因式分解法解答此方程． 【详解】（1）解： 或， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ， 解得：； （4）解：， ， ， ， 解得：． 18．（24-25九年级上·河南郑州·单元测试）已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明： 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根. （2）解：设方程的另外一个根为，则 解得：， 故的值为，方程的另一个根为． 19．（24-25九年级上·河北邢台·期末）若一元二次方程的右边被墨水污染▊． (1)若方程的一个解为时，求“▊”的值； (2)若“▊”表示，求． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解，解一元二次方程的方法． （1）把代入，解出▊，即可； （2）根据题意，可得方程为，解出方程，即可． 【详解】（1）解：把代入， ∴， ∴“▊”的值为． （2）解：由题意得，方程为， ∴， ∵， ∴， ∴，． 20．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ， ， ， 无论为何值，， 无论为何值，该方程总有两个不等实根； （2）解：和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， 化简得， 解得或， 又时，，不合题意舍去， ． 21．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率； (2)当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可； （2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率； （2）解：设降价m元，商场月获利4250元， 根据题意，得 ， 解得，（舍去）， 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 22．（24-25九年级上·河南郑州·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为，宽为； (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 23．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07一元二次方程单元测试 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A． B．1 C． D．4 5．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）对于关于的一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若关于的方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则； 其中所有正确说法的序号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 7．（24-25九年级上·广东广州·期中）定义新运算：．若方程有两个相等正实数根，且（其中），则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 8．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 9．（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·四川广元·一模）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ） A．820 B．600 C．465 D．210 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 12．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ． 13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则 ． 14．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 15．（24-25九年级上·湖南永州·期末）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 16．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）用合适的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25九年级上·河南郑州·单元测试）已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 19．（24-25九年级上·河北邢台·期末）若一元二次方程的右边被墨水污染▊． (1)若方程的一个解为时，求“▊”的值； (2)若“▊”表示，求． 20．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 21．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 22．（24-25九年级上·河南郑州·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$