专题11 有理数混合运算易错问题与化简绝对值问题（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题11 有理数混合运算易错问题与化简绝对值问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数混合运算易错问题 1.运算顺序混乱：未遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，如忽略括号优先级，或对同级运算从左到右的规则执行错误（例：误将3 - 5 × 2先算减法）。 2.符号处理失误：乘除运算中忽略负数符号，如(-3)÷(-2)误算为-1.5；加减运算中去括号时符号错误，如3 - (2 - 5)误得3 - 2 - 5。 3.分数与小数转换错误：混合运算中分数与小数运算时未统一形式，导致计算出错（如0.5 × 1/3误算为0.5÷3）。 知识点02 化简绝对值相关知识点 1.绝对值代数意义：若a>0，则|a|=a；若a=0，|a|=0；若a<0，|a|=-a，需先判断绝对值内数的正负性。 2.化简步骤：先分析绝对值内式子的符号，再根据定义去绝对值符号，如化简|3 - π|时，因3 - π<0，故|3 - π|=π - 3。 3.含字母绝对值化简：需分类讨论字母取值范围，如|a|化简时，分a≥0和a<0两种情况，避免直接去掉绝对值符号。 【题型1 有理数中乘除混合运算易错】 例题：（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·湖南娄底·一模）计算： ． 【答案】/ 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，正确运用运算法则是正确解答此题的关键． 把除法转化成乘法再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 【答案】/ 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，先确定结果的符号，再把除法化为乘法运算，再计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 【题型2 含乘方的有理数混合运算】 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)7 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，后算加减； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减； 【详解】（1） （2） 【变式训练】 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算． （1）根据1的任何次方都等于1可计算，再利用有理数的除法可计算 ，利用绝对值的意义计算，最后应用有理数的加法进行计算可求出答案 ； （2）计算括号内的加法、乘方运算、再计算乘除，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 2．（24-25七年级上·广东梅州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算乘方，再根据乘法分配律去括号并计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果； （2）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果； （3）原式先计算乘除及绝值运算，最后算加减运算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， 【题型3 有理数的混合运算中的新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）定义一种新运算：． 如：． (1)_____； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义，以及含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，代入数值计算，即可作答． （2）先算出，再计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：3； （2）解：依题意，， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49； (2)109． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可． （2）先根据新定义计算，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 2．（24-25七年级上·云南红河·期中）【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． （1）根据除方的概念的运算法则进行计算； （2）根据除方内容结合有理数的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解： ． 3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)计算： ①； ②； ③； (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①29；②101；③，； (2)存在，或． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的运算，新定义运算；理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）判断，异号，根据题意求出的值为1或5，即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ② ； ③当时，； 当时，， ； （2）解：存在，理由如下： ，算出来的答案为负数， 故，异号， m，n是整数， 或， 解得：或， 或， 综上，的值为1或5， ， ． 【题型4 根据点在数轴的位置化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负和化简绝对值，解题关键是得到式子的正负，两数相乘，同号得正异号得负，绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号． （1）根据和即可判断正负； （2）先判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值进行化简即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴； 故答案分别为：；； （2）解：∵且， ∴，， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东揭阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示． (1)试判断式子的符号； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）由a，b，c三个数在数轴上的位置得出，，得出，，即可得出结果； （2）由绝对值的意义求出各个绝对值，再合并即可． 【详解】（1）根据a，b，c三个数在数轴上的位置得： ，， ∴，， ∴； （2） ． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的关系、绝对值的意义、整式的加减；熟练掌握数轴和有理数的关系、绝对值的意义，并能进行推理计算是解决问题的关键． 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）在数轴上对应点的位置如图所示， (1)判断下列各式与的大小：① ；② ；③ ； (2)化简式子：． 【答案】(1) ①；②；③ (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（）根据数轴可得，，，再根据有理数的运算法则即可求解； （）由，，判断出的符号，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并即可得到结果； 本题考查了绝对值、数轴及有理数的运算，通过数轴判断出绝对值符号里面式子的符号是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式， ， ． 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数四则混合运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，化简绝对值： （1）根据数轴可得，据此根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）由（1）可知，，据此化简绝对值，然后根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴， 故答案为：；；；； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 【题型5 利用分类讨论数学思想化简绝对值】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）数学思想·分类讨论已知，则的值是多少？ 【答案】3或或1或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的加减法及绝对值的性质的应用，熟练掌握绝对值的性质和分类讨论的思想是解题的关键． 根据题意得到，，，再根据题意分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：∵，故，，， ①当，，都大于0时，原式； ②当，，都小于0时，原式； ③当，，中有一个大于0，两个小于0时，原式； ④当，，中有一个小于0，两个大于0时，原式． ∴的值是3或或1或． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，或，分析得出答案； （3）根据题意得出，，中有两个为正数，一个为负数，设，，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，则；当时，则 故答案为：； （2）解：当时，则，同号 ①当，时， ②当，时， （3）解：由，得，， 且 ，，中有两个为正数，一个为负数 不妨设，， 则原式 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，或，分析得出答案； （3）根据题意得出，，中有两个为正数，一个为负数，设，，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，则；当时，则 故答案为：； （2）解：当时，则，同号 ①当，时， ②当，时， （3）解：由，得，， 且 ，，中有两个为正数，一个为负数 不妨设，， 则原式 3．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， （1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出、、、中有1个或3个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b同号，即，或，， ∴或； ∴当时，； 故答案为：． （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个负数或两正一负， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有两正一负时，设，； ∴时，的值为或； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴、、、中有1个或3个负数 设， 设， ∴的最大值是 【题型6 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值】 例题：（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)1 (2)或 (3)有最小值，最小值为4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）将改写成规定形式：，再根据绝对值的几何意义求解； （2）将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴，分类讨论求解； （3）的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴分析求解即可． 【详解】（1）解：将改写成规定形式：， 表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等， 根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，； 故答案为：1； （2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下： 观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为. 所以讨论如下： 当时，是负数，也是负数，，解得； 当时，是非负数，是非正数，，无解； 当时，是正数，也是正数，，解得. 所以，或满足； （3）解：有最小值，最小值为4，理由如下： 就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下： 观察发现： 当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4； 当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4， 所以有最小值，最小值为4． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)4， (2)或 (3)有最小值，6 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质； （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是， 故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为， ∴或， 故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到4的距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和4之间时，它的最小值为6． 3．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·浙江杭州·一模）如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点的绝对值的范围，然后比较范围即可解答． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算．根据有理数乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】根据有理数运算的基本顺序和基本法则计算判断解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.     ， 故本选项错误； B. ， 故本选项错误； C. 故本选项错误； D. 故本选项正确； 故选：D． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．根据题目信息，设，求出，然后错位相减计算即可得解． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 【答案】 1 3 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处； 【详解】解：由数形结合得， 若 取最小值那么表示 的点在1处， 所以 时，取最小值为3； 故答案为，最小值为3； 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值 7．（2025·陕西西安·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满五进一，她一共采集到的野果数量为 ． 【答案】1078 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据满五进一，结合图形，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：1078． 8．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 三、解答题 9．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，四则混合计算，含乘方的有理数混合计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）先计算乘法，再计算加法即可得到答案； （3）根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握各种运算的法则及运算顺序是关键，注意符号不要出错． （1）先计算乘方，然后根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）将除法转化为乘法进行计算即可求解； （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，即可求解； （4）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 11．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【知识点】绝对值的其他应用、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 12．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 13．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、倒数 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 14．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键； （1）根据题中所给新运算可进行求解； （2）根据题中所给新运算可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：∵， ∴ ． 15．（24-25七年级上·河南许昌·期末）（1）若，，且，求的值； （2）已知有理数，满足，求的值． 【答案】（1）或；（2）或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的加法、减法、乘法和除法，熟练掌握绝对值的性质和化简是解题的关键． （1）先利用绝对值的定义求，，得出或，或，根据，得，可知，分别判断符合条件的、，再进行计算的值； （2）先利用，得出，或，，再分别计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 解得：或，或， ∵， ∴， ∴， 当，时，，故舍； 当，时，，故舍； 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，或； （2）∵， ∴，或，， 当，时， ； 当，时， ； 综上所述，或． 16．（23-24七年级上·江西宜春·期中）已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，且．    (1)求和的值； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】整式的加减运算、有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）根据且a、b位于原点两侧，得到a、b互为相反数，然后进行求解即可； （2）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵且a、b位于原点两侧， ∴a、b互为相反数 ∴，； （2）解：如图可得：且， ∴，即，，， ∴ =． 【点睛】本题考查了根据数轴取绝对值进行计算的问题，数轴上点的特点，绝对值的意义，相反数的定义，有理数的除法，化简绝对值，解题的关键是根据数轴上点的位置确定． 17．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)2或 (2)的值为1或； (3)的值为1或． 【知识点】有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断，同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断，，全负或，，两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断，，两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，是有理数，当时， ∴，同号， 当，时， ， 当，时， ； 故答案为：2或； （2）解：∵ ∴，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ②当，，两正一负时， 不妨设，，，， 综上所述，的值为1或； （3）解：∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴，，两正一负， Ⅰ）当，，时，， Ⅱ）当，，时，， Ⅲ）当，，时， ∴的值为1或． 18．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null 专题11 有理数混合运算易错问题与化简绝对值问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数混合运算易错问题 1.运算顺序混乱：未遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，如忽略括号优先级，或对同级运算从左到右的规则执行错误（例：误将3 - 5 × 2先算减法）。 2.符号处理失误：乘除运算中忽略负数符号，如(-3)÷(-2)误算为-1.5；加减运算中去括号时符号错误，如3 - (2 - 5)误得3 - 2 - 5。 3.分数与小数转换错误：混合运算中分数与小数运算时未统一形式，导致计算出错（如0.5 × 1/3误算为0.5÷3）。 知识点02 化简绝对值相关知识点 1.绝对值代数意义：若a>0，则|a|=a；若a=0，|a|=0；若a<0，|a|=-a，需先判断绝对值内数的正负性。 2.化简步骤：先分析绝对值内式子的符号，再根据定义去绝对值符号，如化简|3 - π|时，因3 - π<0，故|3 - π|=π - 3。 3.含字母绝对值化简：需分类讨论字母取值范围，如|a|化简时，分a≥0和a<0两种情况，避免直接去掉绝对值符号。 【题型1 有理数中乘除混合运算易错】 例题：（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ． 【变式训练】 1．（2025·湖南娄底·一模）计算： ． 2．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 3．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）计算： ． 【题型2 含乘方的有理数混合运算】 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【变式训练】 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）计算： (1)． (2) 2．（24-25七年级上·广东梅州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3 有理数的混合运算中的新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）定义一种新运算：． 如：． (1)_____； (2)求的值． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 2．（24-25七年级上·云南红河·期中）【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)计算： ①； ②； ③； (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【题型4 根据点在数轴的位置化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东揭阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示． (1)试判断式子的符号； (2)化简：． 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）在数轴上对应点的位置如图所示， (1)判断下列各式与的大小：① ；② ；③ ； (2)化简式子：． 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 【题型5 利用分类讨论数学思想化简绝对值】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）数学思想·分类讨论已知，则的值是多少？ 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【题型6 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值】 例题：（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 3．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 一、单选题 1．（2025·浙江杭州·一模）如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 6．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 7．（2025·陕西西安·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满五进一，她一共采集到的野果数量为 ． 8．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 三、解答题 9．（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 11．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 12．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 13．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 14．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 15．（24-25七年级上·河南许昌·期末）（1）若，，且，求的值； （2）已知有理数，满足，求的值． 16．（23-24七年级上·江西宜春·期中）已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，且．    (1)求和的值； (2)化简：． 17．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 18．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$