专题10 有理数的混合运算（1知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

null 专题10 有理数的混合运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【题型1 有理数四则混合运算】 例题：（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【题型2 含乘方的有理数混合运算】 例题：（23-24七年级上·四川乐山·期末）计算： 【变式训练】 1．（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 有理数混合运算错题复原问题】 例题：（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉与琪琪两位同学分别对和进行了计算，过程如下： 嘉嘉： ……步骤一 ……步骤二 ……步骤三 ……步骤四 琪琪： ……① ……② ……③ ……④ (1)嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是________；琪琪的运算有错误，请指出她开始出错的是第________步（填序号）． (2)请你计算：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式  ……第一步     ……第二步     ……第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读下列计算过程，并回答问题： 解：原式① ② ，③ ． (1)上述解答过程中，有错误的步骤是______；（填写序号） (2)写出正确的计算过程． 【题型4 程序流程图与有理数计算】 例题：（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 2．（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）按如图所示的运筫程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是 ． 3．（24-25六年级上·山东泰安·期末）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是 ． 【题型5 算“24”点】 例题：（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·重庆·期末）有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 2．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【题型6 新定义型有理数混合运算】 例题：（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）新定义运算：．例． 求 (1)的值为； (2)的值为． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义一种新的运算：，例如，请用上述规定计算下面各式： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）若定义一种新的运算“※”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 一、单选题 1．（24-25九年级下·广东东莞·期中）下列计算结果为0的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）淇淇在计算的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案（   ） A．小3 B．小15 C．大3 D．大15 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃白银·三模）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制．各进制表示的数也可以转化，如：十进制数5用二进制可以表示为101，即，则二进制数110010表示的十进制数为（   ） A．3 B．50 C．100 D．25 5．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）计算： ． 7．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 8．（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 9．（2025·广东广州·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 10．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算，则的相反数是 ． 三、解答题 11．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 14．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 15．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 16．（24-25七年级上·广东惠州·期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 17．（24-25七年级下·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 18．（24-25七年级上·福建厦门·期中）定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算： 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 有理数的混合运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【题型1 有理数四则混合运算】 例题：（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 先将除法化为乘法，化简绝对值，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先算除法，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则． 按照混合运算法则先算括号里面的乘法，再进行通分，然后先算括号里面的，再算括号外面的即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2) (3)23 (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值运算，解题的关键是熟练掌握有理数运算规则，包括加法，减法，乘法，除法法则，以及幂运算和绝对值的计算方法． （1）先去括号，再按照从左到右顺序计算． （2）从左到右依次计算，将除法转化为乘法进行计算． （3）利用乘法分配律进行简便运算． （4）先算乘方，绝对值，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型2 含乘方的有理数混合运算】 例题：（23-24七年级上·四川乐山·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算．先计算乘方，然后把除法转化成乘法计算，最后再计算加减法即可求解，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先去括号，再根据有理数加减法法则计算即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照加减法运算法则运算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加法即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，计算括号内的值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)15 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）先计算绝对值和有理数的乘除，再计算有理数的加减，即得答案； （2）先计算有理数的乘方，然后计算两个括号中的加减，再计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减，即得答案． （3）先算括号，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型3 有理数混合运算错题复原问题】 例题：（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉与琪琪两位同学分别对和进行了计算，过程如下： 嘉嘉： ……步骤一 ……步骤二 ……步骤三 ……步骤四 琪琪： ……① ……② ……③ ……④ (1)嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是________；琪琪的运算有错误，请指出她开始出错的是第________步（填序号）． (2)请你计算：． 【答案】(1)加法交换律；② (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查的是加法的运算律的含义，含乘方的有理数的混合运算；掌握运算顺序是解本题的关键； （1）根据加法的运算律可得第一空的答案，根据运算顺序不对可得第二空的答案； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：“步骤一”运用的运算律是加法交换律；琪琪的运算有错误，请指出她开始出错的是第②步； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小红第二步计算出现错误 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查含有理数的乘方的混合运算，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）小红的第二步计算出现错误，第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误； （2）解：原式 ． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式  ……第一步     ……第二步     ……第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 【答案】(1)二； (2)解答见解析． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算顺序和运算法则进行计算． （1）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则判断即可； （2）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】（1）解：小明在第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解：         ． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读下列计算过程，并回答问题： 解：原式① ② ，③ ． (1)上述解答过程中，有错误的步骤是______；（填写序号） (2)写出正确的计算过程． 【答案】(1)② (2)，过程见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的运算顺序进行分析，即可判断错误的步骤； （2）根据有理数的运算顺序以及运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）第①步中，故错误， 由于第②步先计算了减法，故错误 故答案为：①②． （2）解：原式 【题型4 程序流程图与有理数计算】 例题：（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先理解运算程序为，把代入进行计算，得，因为得数不符合，故再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， ∴把代入， 得， 故答案为： 2．（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）按如图所示的运筫程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是 ． 【答案】11 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了流程图与有理数的混合运算，根据流程图列出算式是解题的关键．根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：若开始输入的值为， ， ， ， ∴最终输出的结果是 11 ． 故答案为：11． 3．（24-25六年级上·山东泰安·期末）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是 ． 【答案】/ 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了程序图与有理数的运算，根据程序要求先计算，若结果输出，若结果，再次代入，循环计算即可． 【详解】当输入x为时，，，将再次输入； 当输入的数为时，，，所以输出的结果为． 故答案为：． 【题型5 算“24”点】 例题：（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可． 【详解】根据题意得，． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·重庆·期末）有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则计算24点即可． 【详解】解：由题意，得． 答案为：． 2．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【题型6 新定义型有理数混合运算】 例题：（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）新定义运算：．例． 求 (1)的值为； (2)的值为． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义，先计算得到，再计算即可， 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：根据题意可得： ． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题是定义新运算题，主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解答此题的关键． （1）根据已知条件，把所求算式中的数代入进行计算即可； （2）先根据，把a，b表示的数代入求出，再根据，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ． 2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义一种新的运算：，例如，请用上述规定计算下面各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据的运算法则列式计算即可； （2）先计算，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）若定义一种新的运算“※”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)132 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据定义运算法则解答即可； （2）根据定义运算法则解答即可． 本题考查了新定义运算，熟练掌握有理数的乘方，加减混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 一、单选题 1．（24-25九年级下·广东东莞·期中）下列计算结果为0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意；     C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选C． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）淇淇在计算的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案（   ） A．小3 B．小15 C．大3 D．大15 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，分别计算的平方及与2的积，再作差即可． 【详解】解：， 求得的答案比正确答案小15， 故选：B 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2025·甘肃白银·三模）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制．各进制表示的数也可以转化，如：十进制数5用二进制可以表示为101，即，则二进制数110010表示的十进制数为（   ） A．3 B．50 C．100 D．25 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意将二进制化为十进制即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 5．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．计算出时前8次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：若， 第1次结果为：3， 第2次结果是：10， 第3次结果为：5， 第4次结果为：16， 第5次结果为：1， 第6次结果为：4， 第7次结果为：1， 第8次结果为：4， … 可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现， 且当次数为奇数时，结果是1；次数是偶数时，结果是4， 而2025次是奇数，因此最后结果是1． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）计算： ． 【答案】5 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值和乘方，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 7．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算，根据题意可得算式，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【详解】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025·广东广州·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】123 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数， 故答案为：123． 10．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算，则的相反数是 ． 【答案】3 【知识点】含乘方的有理数混合运算、相反数的定义 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，求一个数的相反数，根据新定义可得，据此计算出的值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴的相反数是3， 故答案为：3． 三、解答题 11．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数加减法从左到右依次计算即可． （2）把除法转化成乘法，然后约分计算即可． （3）先计算乘方运算，再计算乘除法，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的含有乘方的混合运算．解题关键是熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）将除法转化为乘法，根据乘法计算即可； （4）先算乘方和绝对值，再算乘除法，再算加法 【详解】（1）解： ； （2）解： + ； （3）解： ； （4）解： ； 13．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，加法的运算律，乘法的运算律，含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数加减乘除，乘方运算的运算法则与运算顺序是解题的关键. （1）利用加法的运算律，把分母相同的两个数先加，从而可得答案； （2）利用乘法的分配律把原式化为：，再计算乘法，最后计算加减运算即可； （3）先计算括号内的运算，同步计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方运算，同步计算除法与绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 14．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数加法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）利用加法交换律和结合律进行计算，即可解答； （2）利用乘法分配律进行计算，即可解答； （3）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； （4）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 15．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 【答案】(1)2 (2)5，过程见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是关键． （１）根据有理数的运算法则指出错误的地方即可； （２）根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：小明第一步板演中共出现2次错误， 第一次是计算时结果错误，第二次是计算时出现错误， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 16．（24-25七年级上·广东惠州·期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)40 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义和有理数的混合运算，正确理解新定义和有理数的运算法则解题的关键． （1）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可； （2）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴． 17．（24-25七年级下·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 18．（24-25七年级上·福建厦门·期中）定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算： 【答案】(1)①② (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$