精品解析：青海省西宁市青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

师大二附中2024-2025学年第二学期期中考试测试卷 高一年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 命题：井芬蓉 审核：魏启邦、谢邦婷、张学风 一.选择题（本题共8题，每小题5分，共40分.） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱定义可知A错误，再由六棱锥性质可判断B错误，棱台是由棱锥截得的，可知C正确，直角梯形的直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，即D错误. 【详解】对于A，如下图所示： 显然该几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，即A错误； 对于B，易知正六边形的中心与相邻两顶点构成的三角形即为正三角形，如下图， 显然正六棱锥的侧棱比底边长，因此其侧面不可能是正三角形，即B错误； 对于C，根据棱台定义即可判断C正确； 对于D，在直角梯形中，如下图所示： 以直角梯形的直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台， 若以直角梯形的腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，即D错误. 故选：C 2. 在中，内角的对边分别为，，则（ ） A B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角公式及正弦定理求解即可. 【详解】在中，由，得，又， 则由正弦定理，得，又，即为锐角， 所以. 故选：A 3. 已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 4. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为r，分别求出圆柱及球的表面积，即可求出表面积之比． 【详解】设球半径为r， 则，， 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为， 故选：C. 5. 已知中，角所对的边分别为.已知，的面积，则的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由面积公式求得，由余弦定理求得，再结合正弦定理求解即可. 【详解】因为，的面积2，所以，解得， 由余弦定理得， 解得（负值舍去）， 由正弦定理可知，的外接圆的半径为. 故选：D. 6. 如图所示，在中，点是斜边的中点，点是线段靠近点的四等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算先求得，再根据为中点化简可得正确选项. 【详解】因为点是线段靠近点的四等分点，故， 故，故， 所以， 故选：D. 7. 化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米． 故选：D． 8. 在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角，结合等腰三角形性质求解正弦值即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，取中点，连接， 则， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角异面直线与所成角， 设正方体棱长为2，则， 在等腰中，是中点，所以， 所以， 即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：C 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间中各要素的位置关系，结合线面平行的判定定理和面面平行的性质定理分别判断即可. 【详解】对于A，由线面平行的判定定理，若平面外一条直线与平面内某条直线平行，则该直线与此平面平行，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，设正方体上底面为，下底面内任意取两条直线，有，但不一定有成立，故C错误； 对于D，由面面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的所有直线均与另一个平面平行，故D正确； 故选：AD. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若∥，则 C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量模的计算公式判断A；由共线向量的坐标运算判断B；由向量垂直时数量积为0判断C；由向量的数量积判断D. 【详解】解：对于A，因为，，所以， ，解得或，故A错误； 对于B，因为∥，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，故C错误； 对于D，当时，，，又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确. 故选：BD. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】根据大边对大角，结合角A即可判断A；利用正弦定理边化角，在由二倍角公式化简可得或，可判断B；由为锐角三角形可得，然后由正弦函数的单调性和诱导公式可判断C；由正弦定理可得三边比值，然后由余弦定理求解即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 又，所以，不满足内角和定理， 所以满足条件的三角形不存在，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，即， 因为且，所以或， 即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若为锐角三角形，则， 所以，所以，即，C正确； 对于D，若，则， 设，则， 因为，所以，即为钝角，D正确. 故选：CD 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为_______．（用向量坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】结合投影向量的公式，即可求解． 【详解】因为，所以， 因为平面向量、的夹角为，且， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接用斜二测画法画出梯形水平放置时的直观图.再计算即可. 【详解】运用斜二测画法根据直观图画出原图，如下， 梯形的面积为30，，则原图梯形的高为， 即，解得.，则. 根据直观图与原图的长度关系，知道原图高为. 故答案为：. 14. 在中，，，，若为中点，则长为________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长. 【详解】在中，，， 所以，则， 由余弦定理得：，故， 由余弦定理得：， 若为中点，则在中，， 由余弦定理得：， 故. 故答案为：. 四.解答题（本题共6小题，共77分.） 15. 已知平面向量. （1）若，求向量的坐标； （2）若，求的值； （3）若向量，若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）利用得出的值，再利用向量坐标的线性运算即可； （2）利用向量平行的坐标运算得出的值，再利用求模公式即可； （3）先计算和的坐标，再利用向量平行的坐标运算得出的值，即可求得. 【小问1详解】 因为，所以，解得，故， 则. 【小问2详解】 因为，所以，则， 则 【小问3详解】 ，， 若与共线，则， 解得，即， 故. 16. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法进行求解点到平面的距离； （2）直接求解与平面的夹角为，即可求出正弦值. 【小问1详解】 在棱长为的正方体中，分别为线段的中点， 所以，所以，故, ， 记点到平面的距离为， 由,则, 故，即. 故点到平面的距离为. 【小问2详解】 由题意可知，平面， 则与平面的夹角为， 故. 故直线与平面的所成角的正弦值. 17. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可； （2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理边化角可得， 所以，又， 所以，又为锐角， 则； 【小问2详解】 由正弦定理， 则， 所以， ， 因为在锐角三角形中，得， 所以， 则， 所以的取值范围为. 18. 在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且. （1）求的大小； （2）若，，求，的值. （3）若，，求的面积 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得，结合正弦定理边化角以及同角三角函数关系即可求得答案； （2）由余弦定理、三角形边角关系，结合已知求得. （3）由余弦定理可求得c，利用三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 因为，，且， 所以， 由正弦定理，得， 又， 所以，从而， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 又，即， ,解得. 【小问3详解】 由余弦定理，得， 而,,，得，即， 因为，所以， 故的面积. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. （3）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理即可得证； （2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，证明，，即可得证； （3）首先证明四边形是平行四边形，由线面平行的判断定理，可得平面，再由平面结合面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 如图，连接，设，连接， 因为，，可得四边形是平行四边形， 则，又，则， 因为平面，平面，故平面； 【小问2详解】 由四边形是平行四边形，， 故四边形为菱形，则， 因平面，平面，则， 又，、平面，故平面； 【小问3详解】 由，则，又，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面，故平面， 又平面，，、平面， 故平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 师大二附中2024-2025学年第二学期期中考试测试卷 高一年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 命题：井芬蓉 审核：魏启邦、谢邦婷、张学风 一.选择题（本题共8题，每小题5分，共40分.） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C. 棱台各侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 2. 在中，内角的对边分别为，，则（ ） A B. C. D. 或 3. 已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，角所对的边分别为.已知，的面积，则的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，点是斜边的中点，点是线段靠近点的四等分点，设，，则（ ） A B. C. D. 7. 化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，，则下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若∥，则 C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角为钝角 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为_______．（用向量坐标表示） 13. 如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为________. 14. 在中，，，，若中点，则长为________. 四.解答题（本题共6小题，共77分.） 15. 已知平面向量. （1）若，求向量的坐标； （2）若，求的值； （3）若向量，若与共线，求的值. 16. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 18. 在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且. （1）求的大小； （2）若，，求，的值. （3）若，，求的面积 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. （3）求证：平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $