专题03 函数与导数（山东专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题03 函数与导数 题型概览 题型01函数及其性质 题型02指对幂函数 题型03导数及其应用 题型04函数的零点、极值、最值问题 ( 题型01 ) 函数及其性质 1．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·山东泰安·二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东枣庄·二模）已知定义域为的函数满足，且，记，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．为等差数列 D． 7．（2025·山东菏泽·二模）对于任意，，且，则（    ） A． B．1 C．2025 D．4049 8．（2025·山东济宁·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期 C．在上为增函数 D． 9．（2025·山东·二模）（多选）设函数，则（    ） A．曲线关于对称 B．的最小值为 C．方程在上有4个根 D．存在，使得 ( 题型0 2 ) 指对幂函数 1．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·山东临沂·二模）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 3．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东枣庄·二模）已知函数恒过定点，则点的坐标为 . 5．（2025·山东济宁·二模）已知函数则的值为 . ( 题型0 3 ) 导数及其应用 1．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·二模）（多选）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东潍坊·二模）（多选）曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（   ） A．曲线上不存在曲率大于的点 B．曲线在点处的曲率最大 C．曲线在点处的曲率为 D．曲线在点与处曲率相等，则 4．（2025·山东泰安·二模）若函数与直线相切，则实数的值为 . 5．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ． 6．（2025·山东枣庄·二模）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，证明：. 7．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 8．（2025·山东滨州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的值． 9．（2025·山东青岛·二模）已知函数 (1)当时，求证： (2)若对恒成立，求的取值范围. 10．（2025·山东日照·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围． 11．（2025·山东济南·二模）已知函数． (1)当，求的取值范围； (2)当时． （ⅰ）设，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）证明：对任意的，有． ( 题型0 4 )函数的零点、极值、最值问题 1．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（2025·山东泰安·二模）已知函数，若在时恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东临沂·二模）（多选）设函数，则（    ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．与交点的横坐标之和为0 D．在区间上的取值范围是 4．（2025·山东济南·二模）（多选）设函数，则（   ） A．一定有两个极值点 B．若，则或 C．过点作曲线的切线有且仅有一条 D．当时， 5．（2025·山东枣庄·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，直线与曲线有三个交点，，则 6．（2025·山东聊城·二模）（多选）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：，其中是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点是该曲线上的一点，则（    ）    A．当时，取到最大值 B．的取值范围是 C．直线是曲线的一条切线 D．若是曲线的渐近线，则 7．（2025·山东日照·二模）定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为 ． 8．（2025·山东·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 9．（2025·山东临沂·二模）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设函数，已知有两个极值点． ①求的取值范围； ②求证：． 10．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在处的切线与直线平行． (1)求的值： (2)求的极值． 11．（2025·山东潍坊·二模）已知函数． (1)若在处取得极值0，求的值； (2)若有两个零点． （i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值； （ii）证明：． 12．（2025·山东聊城·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，证明：有且只有一个零点． 13．（2025·山东济宁·二模）已知函数，. (1)讨论零点的个数； (2)若，求实数的取值范围. 14．（2025·山东枣庄·二模）已知函数. (1)当时，判断的极值点个数； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数与导数 题型概览 题型01函数及其性质 题型02指对幂函数 题型03导数及其应用 题型04函数的零点、极值、最值问题 ( 题型01 ) 函数及其性质 1．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性可求得是以4为周期的周期函数，可判断A错误，代入计算可得B正确，结合周期性计算可得，即C错误，易知可得D错误. 【详解】依题意可知，； 所以，即， 因此，即， 所以可得，即是以4为周期的周期函数， 对于A，由分析可知，即A错误； 对于B，由，可知； 显然，所以， 所以，即B正确； 对于C，易知，可得C错误； 对于D，显然，即D错误. 故选：B 2．（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是偶函数列式得出函数解析式，再应用导函数判断函数单调性，最后结合单调性计算求解. 【详解】因为，且是偶函数， 所以， 所以，单调递减， 则不等式化简为， 所以，即， 所以或. 故选：B. 3．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 4．（2025·山东泰安·二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质，可得函数的单调性与函数值为零的点，从而可得函数值与零的大小关系，结合不等式，可得答案. 【详解】由函数奇函数，且在上单调递增，则函数在上单调递增， 且，， 当时，；当时，， 由当时，，当时，， 则不等式的解集为. 故选：D. 5．（2025·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定各选项中函数的奇偶性或单调性即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数的定义域为，不具奇偶性，B不是； 对于C，函数定义域为R，，不是偶函数，C不是； 对于D，函数定义域为， ，是偶函数； 当时，，函数在上单调递增， 则在上单调递增，D是. 故选：D 6．（2025·山东枣庄·二模）已知定义域为的函数满足，且，记，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．为等差数列 D． 【答案】D 【分析】对于A，B，利用赋值法求解即可；对于C，求出的通项，再根据等差数列的定义判断即可；对于D，根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】对于A，令，则. 又，故，即，故A正确； 对于B，C，令，则. 由，可得. 令，则，所以，即，故B，C正确； 对于D，由，可得，故D错误. 故选：D 7．（2025·山东菏泽·二模）对于任意，，且，则（    ） A． B．1 C．2025 D．4049 【答案】D 【分析】利用数列递推思想，结合裂项法和累加法来求出即可. 【详解】由，当时，可得， 赋值可得：， 利用累加法可得：， 代入可得：， 故选：D. 8．（2025·山东济宁·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期 C．在上为增函数 D． 【答案】ABD 【分析】利用诱导公式证明，结合偶函数定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用导数判断函数的单调性，求得最值，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，， 所以的一个周期是，故B正确； 对于C，令，当时，在上单调递减， 且， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递减函数，故C错误； 对于D，因为，令， 则，求导得， 由于，所以，单调递增. 当时，取得最大值； 当时，取得最小值. 因为，所以，即 ，故D正确. 故选：ABD. 9．（2025·山东·二模）（多选）设函数，则（    ） A．曲线关于对称 B．的最小值为 C．方程在上有4个根 D．存在，使得 【答案】ABD 【分析】根据函数的性质，如对称性、最值、方程的根等，对选项逐一进行分析.对于A选项，可判断是否成立来确定是否关于对称；对于B选项，根据三角函数的最值和基本不等式的性质进行求解；首先对函数进行化简，然后求导判断函数的单调性，结合三角函数的图像判断根的个数；对于D选项，根据函数的最值及分母大小进行求解. 【详解】对于A选项： . . 所以，所以关于对称.A选项正确. 对于B选项： 因为， 而, 令，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以的最小值为-1，且在处取到最小值， 所以，所以B选项正确. 对于C选项： 因为，即. 将上面等式化简得. 即. 当时，，所以在上，. 当时，在上，. 令. ，可求出单调区间. 在上单调递减，在单调递增，，. ，. 这说明至少有一个交点，所以C错误. 对于D选项：由已知可得且关于对称，而关于对称, 取，令，则， 令，则， 所以，即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 结合对称性可得恒成立， 所以此时成立，所以D选项正确. 故选：ABD. ( 题型0 2 ) 指对幂函数 1．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过平移得到,再结合对数的运算性质,由基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得， 因为， 所以， 所以， 即，且. 因为，当且仅当时，取到最小值. 故选：B 2．（2025·山东临沂·二模）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【答案】D 【分析】由指对互化公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，单调递增，所以值域为，由分段函数的值域为，所以当时，的取值包含的每一个取值，求解参数a的取值范围即可. 【详解】因为函数， 当时，单调递增，所以值域为， 要使得分段函数的值域为， 则当时，的取值包含的每一个取值， 所以，解得， 故选：D 4．（2025·山东枣庄·二模）已知函数恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】利用指数运算法则、指数式与对数式互化关系化简函数，再利用指数函数过定点问题求解. 【详解】函数，由，得恒成立， 所以点的坐标为. 故答案为： 5．（2025·山东济宁·二模）已知函数则的值为 . 【答案】 【分析】由分段函数先求，再求即可. 【详解】由题意有，所以， 故答案为：. ( 题型0 3 ) 导数及其应用 1．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解. 【详解】， 构造函数，，则， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 由于，，且， 则，即， 又， 所以. 故选：A. 2．（2025·山东滨州·二模）（多选）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，构造函数，利用导数判断出单调性即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，即可判断；对于C，根据斜率相等可得，点为两切线的交点代入化简得，再计算可得答案；对于D，根据计算即可判断. 【详解】对于A，令，则， 故时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以，且时， 因为直线与曲线相交于两点， 所以与图象有2个交点，如图： 所以，故A正确； 对于B，，不妨设，可得， 在点处的切线程分别为， 则得， 即， 因为，所以，即是变化的，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为两切线的交点， 所以，即 ，所以， 所以 ， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 又因为，， 所以， ， 所以， 得，即， 因为①，所以， 所以，故D正确. 其中不等式①的证明如下：不妨令， 由得，即，令， 则即证， 构造函数，， 所以在上单调递减，所以， 所以不等式成立，即①成立. 故选：ACD 3．（2025·山东潍坊·二模）（多选）曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（   ） A．曲线上不存在曲率大于的点 B．曲线在点处的曲率最大 C．曲线在点处的曲率为 D．曲线在点与处曲率相等，则 【答案】ABD 【分析】利用曲率的定义可判断ABC选项；由题意得出，令，结合基本不等式可得出关于的不等式，解之可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，则，， 所以，， 所以，曲线上不存在曲率大于的点，A对； 对于B选项，令，则，， 所以，， 故当时，取最小值，此时取最大值，且， 所以，曲线在点处的曲率最大，B对； 对于C选项，由可得， 令，则， 则，所以，，， 所以，曲线在点处的曲率为，C错； 对于D选项，设，则，， 则在点处的曲率， 因为曲线在点与处曲率相等， 即，即， 即， 整理可得， 因为且、均为正数，所以，， 由基本不等式可得， 即，令，则， 即，由于，解得，即，D对. 故选：ABD. 4．（2025·山东泰安·二模）若函数与直线相切，则实数的值为 . 【答案】 【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出的值. 【详解】设切点为， 由得，，故切线斜率， 由直线可知切线过，故， ∴，解得， ∴. 故答案为：. 5．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ． 【答案】 【分析】根据“法线”的定义，结合导数的几何意义求出法线方程，由“公法线”的定义列出方程组求解即可． 【详解】由求得，，则法线斜率为， 则在处的法线方程为， 由求导得，则法线斜率为， 则在处的法线方程为， 由“公法线”得，，， 解得， 所以“公法线”方程为， 故答案为：． 6．（2025·山东枣庄·二模）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）求导，通过讨论和时，导数的符号，即可求解； （3）由（2）得，即，将问题转换成.再构造函数，求导确定最值即可求证. 【详解】（1）解：由题意得， 则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，即. （2）由（1）得， 令，则. 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 即. ①当时，在上单调递增. ②当时，由，得；由，得， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （3）证明：当时，要证， 只需证， 即证. 由（2）得，即， 即，需先证. 令， 则. 令， 则， 所以在上单调递增. 又， 则当时，； 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 则成立. 综上，. 7．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 【答案】(1)是的“－函数”，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得和，结合“－函数”的定义，即可求解； （2）先求得为偶函数，根据是的“－函数”，得到，证得是的“－函数”，进而得到，令，得到，即可证得； （3）设，求得，再设，求得，得到递增且，，得到使得，求得的单调性和最小值，再设，求得，求得的单调性和最小值，得出，进而求得，得到，即可证得是的“－函数”. 【详解】（1）解：由函数，可得， 又由，可得， 因为，所以是的“－函数”. （2）解：由为定义在上的函数，可得函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为是的“－函数”，所以， 因为，，所以是的“－函数”， 即，用代替，可得，所以， 令，则，所以（为常数）， 所以（为常数） （3）解：由函数，， 可得，， 设，可得， 设，则， 则，所以递增，即递增，且，， 存在使得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以当时，是的“－函数” 8．（2025·山东滨州·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性； （2）根据的单调性求得的最小值，则将恒成立问题转化为，构造函数，利用导数研究其值域得，进而得，即可得解. 【详解】（1）由题意的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最小值为，所以恒成立， 整理得，令， 则， 由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，所以，所以. 9．（2025·山东青岛·二模）已知函数 (1)当时，求证： (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得，构造函数，求解单调性，即可证明； （2）求导得，令，则，分类讨论可求得的范围. 【详解】（1）由，得. 要证只要证 令，则 当时，则单调递减， 当时，则单调递增，   所以则即 （2）由已知可得， 令，求导可得， (1)当时，由，得，因此，满足题意. (2)当时，由，得，则在上单调递增. ①当时，，所以，即在单调递增， 所以在单调递增，所以， 则在上单调递增，所以满足题意.                       ②当时，，，则存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减， 所以不满足题意.                              综上： 10．（2025·山东日照·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，的定义域为， 所以，， 又因为，所以切点为， 所以曲线在点处的切线方程为：， 化简可得：. （2）令， 函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减， 函数至多一个零点，不合题意； ②当时，设函数，， 当时，，即对任意的恒成立，即， 所以函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意； 当时，因为，所以方程有两个实数根、， 且满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 所以函数有个不同的零点，方程有3个不同的实数解， 综上，的取值范围为． 11．（2025·山东济南·二模）已知函数． (1)当，求的取值范围； (2)当时． （ⅰ）设，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）证明：对任意的，有． 【答案】(1)； (2)（i）在上单调递增；（ii）证明见解析. 【分析】（1）问题化为恒成立，利用导数研究右侧的最值，即可得参数范围； （2）（i）利用导数研究函数的单调性即可；（ii）构造，利用导数及（i）结论有在上单调递增，即得，结合的单调性即可证. 【详解】（1）由，则， 令且，则， 令且，则，即在上单调递增， 所以，即，故在上单调递增，则， 综上，. （2）（i）时，且，则，故在上单调递增； （ii）令，则， 由，则， 由（i）知，，即在上恒成立， 所以在上单调递增，故， 因为，所以在上单调递增，则， 所以， 综上，对任意的，有. ( 题型0 4 )函数的零点、极值、最值问题 1．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在单调递增，即在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解. 【详解】由题意，函数 的定义域为， 导函数为， 因为函数在单调递增， 所以在恒成立， 所以，即， 故， 令，则， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（2025·山东泰安·二模）已知函数，若在时恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，求，确定极值点，结合单调性分析最小值，得出取值范围. 【详解】在时恒成立，， ，， ，， 设,,时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；是的极小值点， 的最小值是，，时恒成立， ，的取值范围为. 故选：B 3．（2025·山东临沂·二模）（多选）设函数，则（    ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．与交点的横坐标之和为0 D．在区间上的取值范围是 【答案】BC 【分析】利用导数研究函数的性质，如切线，单调性，从而确定零点和值域，通过直接解方程求根判断图象交点横坐标之和即可. 【详解】， 0 0 单调增 单调减 单调增 ， 所以有2个零点，A不正确； 对于选项B：设切点为，则切线方程为， 代入原点，得， 故切线有且仅有一条，正确； 对于选项C：或， 若，根据对称性知，根之和为0， 若，方程只有一个根为0，故正确； 对于选项D：，又， 故在区间上的取值范围是，错误. 故选：BC. 4．（2025·山东济南·二模）（多选）设函数，则（   ） A．一定有两个极值点 B．若，则或 C．过点作曲线的切线有且仅有一条 D．当时， 【答案】AB 【分析】利用导数研究函数的极值点判断A；由求判断B；利用导数几何意义得到处的切线也过，结合处切线判断C；根据解析式得，利用对称性求函数值判断D. 【详解】由题设， 当或时，，则在、上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以分别为极大值点、极小值点，A对； 由，令，则， 所以或，故对于，则或，B对； 由且，则处的切线为，过， 由，则处的切线过， 所以过的切线至少有两条，C错； 由，， 所以，故，D错. 故选：AB 5．（2025·山东枣庄·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，直线与曲线有三个交点，，则 【答案】ACD 【分析】A选项，求导，得到导函数大于0恒成立，故A正确；B选项，时，导函数大于等于0恒成立，B错误；C选项，设切点，由几何意义得到切线方程，将代入，整理得到，构造设，求导得到单调性，数形结合得到只有1个根-2，C正确；D选项，若，此时直线与曲线只有1个交点，不合要求，故，联立直线与曲线得到，令，变形得到. 【详解】A选项，时，， 恒成立，故函数在上单调递增，A正确； B选项，，当时，恒成立， 此时在R上单调递增，无极值，B错误； C选项，显然不在上，设切点为， 因为，所以， 故切线方程为， 又切线过点，故， 整理得， 设，则 令得或， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 又，故只有1个根-2， 故过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，C正确； D选项，当时，， 若，直线， 此时与曲线只有1个交点，不合要求，故， ，直线与曲线联立得 ， 设， 故， 所以，则，D正确. 故选：ACD 6．（2025·山东聊城·二模）（多选）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：，其中是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点是该曲线上的一点，则（    ）    A．当时，取到最大值 B．的取值范围是 C．直线是曲线的一条切线 D．若是曲线的渐近线，则 【答案】BCD 【分析】由笛卡尔叶形线过点得曲线方程为，设的最大值为，则曲线与在第一象限只有一个交点，构造函数，根据导数结合函数只有1个零点即可判断A；同理即可判断B；若直线是曲线的一条切线，则与曲线在第一象限只有一个交点，联立方程组即可判断C；根据极限思想即可判断D． 【详解】由笛卡尔叶形线过点得，，解得， 所以， 对于A，设的最大值为， 则曲线与在第一象限只有一个交点，联立得， 设， 令，解得， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 又，所以必满足， 即，解得， 所以的最大值为，此时，故A错误； 对于B，设的最大值为，则曲线与在第一象限只有一个交点， 联立得， 与A同理得，，所以的取值范围是，故B正确； 对于C，若直线是曲线的一条切线，则与曲线在第一象限只有一个交点， 联立得， 整理得，所以方程有2个相等的实数根， 所以与曲线在第一象限只有一个交点，故C正确； 对于D，因为曲线过，所以不是曲线渐近线， 设曲线的渐近线为， 代入曲线方程得， 同时除以得，， 当时，，此时， 则上式为， 当，此时， 所以曲线的渐近线为，即，故D正确； 故选：BCD． 7．（2025·山东日照·二模）定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出在区间的单调性，再结合K-条件的定义进行分析，从而求K的取值范围，即可求出K的最小值. 【详解】因为， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以在上恒成立， 所以，则在上单调递增， 设，所以， 若函数在区间上满足K-条件 因此对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则对任意恒成立， 令，所以在上单调递减， 在恒成立，所以， 又因为在上单调递减，. 所以，所以K的最小值为. 故答案为：. 8．（2025·山东·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出，分、、、讨论，可得答案； （2）若、，根据的单调性不可能有两个零点； 若根据的单调性有两个零点，则必有可得答案． 【详解】（1）函数的定义域为，， 若恒成立，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，令或； 当时， 时，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增； 当时，， 当，，， 当，，，， 所以恒成立，在上单调递增； 当时，时，时， 时， 所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 综上所述， 若，在上单调递增，在上单调递减； 若，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增.； （2）若，当恒成立， 当时，单调递增，不可能有两个零点； 若，因为在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； 所以的极小值，故不可能有两个零点； 若在上单调递增，在上单调递减； 因为有两个零点，则必有，即； 此时，当时，；当时，； 故有两个零点，符合题意， 综上． 9．（2025·山东临沂·二模）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设函数，已知有两个极值点． ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明过程见解析 【分析】（1）求导，根据导数零点大小对分类讨论即可得解； （2）①根据分离参数即可求解；②理由韦达定理将转换为的函数，利用导数研究函数的单调性即可得证. 【详解】（1）对函数求导得，， 若，则， 若，，此时在定义域上单调递增， 若，则，当或时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减， 若，则，当或时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，若，则在定义域上单调递增； 若，则在上单调递增，在上单调递减； 若，则在上单调递增，在上单调递减. （2）①， 求导得， 因为有两个极值点，所以有两个“变号”零点， 即有两个零点， 令，是一一对应的， 从而有两个零点， 设，该二次函数开口向下，对称轴是， 注意到，所以， 即的取值范围是； ②由（2）①不妨设，即， 等价于， 由韦达定理有，， ， 令，， 所以单调递增， 从而. 10．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在处的切线与直线平行． (1)求的值： (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值. 【分析】（1） 利用导数的几何意义来求参数； （2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值. 【详解】（1）由题意得：， 因为在处的切线与直线平行， 所以，故. （2）由（1）得：，定义域为， 令，得，则，，的变化情况如下表： 0 单调递增 单调递减 故的极大值为，无极小值. 11．（2025·山东潍坊·二模）已知函数． (1)若在处取得极值0，求的值； (2)若有两个零点． （i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，由题意得，求得的值并利用单调性进行验证； （2）（i）根据导数的几何意义得，，求得的值并进行验证； （ii）利用导数求得极小值，再根据有两个零点，即可得证. 【详解】（1）， 由题意即解得． 当时，， 单调递减，单调递增， 所以在处取极值． （2）（i）时， ，所以， 又， 所以，解得或． 若只有一个零点，不符合题意，舍去，所以． （ii），若，则在上单调递增，不合题意， 若，令，得， 且单调递减， 单调递增， 所以在处取极小值， 因为函数有两个零点，则， 所以， 即． 12．（2025·山东聊城·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，证明：有且只有一个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导后分类讨论的范围即可求解； （2）根据有两个极值点，结合（1）利用导数分析函数的零点即可证明． 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，恒成立，即在定义域内单调递增． 当时，令． 则的对称轴为． 若，即时，在定义域内单调递增． 若，即时，有两个零点： ，且． 当和时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述，当时，在和上单调递增， 在上单调递减； 当时，在上单调递增． （2）由有两个极值点，则由（1）可得且在处取极大值，在处取极小值． 当时，， 所以的极小值为， 又在单调递增，所以在上没有零点． ， 由得，， 又，，且在上单调递增， 所以存在唯一的实数，使得， 故有且只有一个零点． 13．（2025·山东济宁·二模）已知函数，. (1)讨论零点的个数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）令，则，设，利用导数研究其单调性和最值，从而得到其零点个数； （2）首先分析得时成立，再分离参数得，对恒成立，利用导数研究右边的最值即可. 【详解】（1）时，， 令，则， 所以，时，在上单调递减， 时，在 上单调递增， 又时，时，，时，， 时，， 所以，①当时，无零点， ②或时，有1个零点， ③当时，有2个零点. （2）当时，由得， 所以，等价于对恒成立． 即对恒成立， 令，则， 当，当， 在内单调递减，在内单调递增， ，又 对恒成立 所以，时成立， 当时，，显然成立． 当时， 等价于或， 即或 对于，取，得，与矛盾，故不成立， 对于，即，对恒成立， 令，则， 在内单调递减， ，所以，， 综上，实数的取值范围是. 14．（2025·山东枣庄·二模）已知函数. (1)当时，判断的极值点个数； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数，结合零点存在性定理求出其变号零点个数即可. （2）等价变形给定不等式，换元并构造函数，再求出函数最小值即可得解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 令，求导得，当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，于是存在，使得， 当或时，；当时，， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值， 所以函数的极值点个数为2. （2）不等式， 依题意，在上恒成立，即在上恒成立， 因此在上恒成立，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 不等式对恒成立，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以实数的取值范围为. 8 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$