专题02 复数、不等式与平面向量（山东专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题02 复数、不等式与平面向量 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的代数运算 题型03不等式的应用 题型04平面向量的线性运算、数量积 ( 题型01 ) 复数的概念 1．（2025·山东临沂·二模）若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的四则运算以及复数的虚部的概念即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 2．（2025·山东济南·二模）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用复数乘方、除法化简即可得. 【详解】由，故虚部为. 故选：B 3．（2025·山东滨州·二模）在复平面内，点对应的复数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用复数的几何意义求出复数，再结合模的公式计算即可. 【详解】因为在复平面内，点对应的复数为，所以， 所以， 则. 故选：C 4．（2025·山东菏泽·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由复数的除法运算、模长公式即可求解. 【详解】，得， 所以， 故选：B 5．（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】D 【分析】将代入化简整理有，即解出，最后求复数的模即可. 【详解】将代入有：， 化简整理有，即，解得， 所以， 故选：D. 6．（2025·山东日照·二模）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】先化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以. 故选：D. ( 题型0 2 ) 复数的代数运算 1．（2025·山东枣庄·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，再进行复数乘法和加法. 【详解】由题意得，则， 所以. 故选：A 2．（2025·山东·二模）已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】设复数，根据共轭复数的定义求出，再结合已知条件列出方程组求解的值，从而得到复数，最后确定其在复平面内的位置. 【详解】设复数，则共轭复数， 因为， 列出方程组为： 求解该方程组得：. 所以复数. 在复平面内对应点坐标为，横坐标，纵坐标， 所以该点在第一象限. 故选：A. 3．（2025·山东·二模）若，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得， 所以. 故答案为： 4．（2025·山东潍坊·二模）已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的性质得到另一个根，再结合韦达定理求出参数值，最后求解的值即可. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， ，则，故D正确. 故选：D 5．（2025·山东聊城·二模）复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到复数，然后结合复数的几何意义即可知道结果. 【详解】因为，所以 则其对应点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 6．（2025·山东枣庄·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C．1+i D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数的除法求解. 【详解】由复数在复平面内对应的点为，得， 所以. 故选：C ( 题型0 3 ) 不等式的应用 1．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 【答案】B 【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 2．（2025·山东菏泽·二模）设a，bR，则下列结论正确的是（    ） A．若a>b，则 B．若a<b<0，则 C．若a+b=2，则≥4 D．若，则a>b 【答案】C 【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，，当且仅当a＝b＝1时取等号，C正确； 对于D，取满足，而不成立，D错误. 故选：C 3．（2025·山东临沂·二模）（多选）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【详解】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 4．（2025·山东聊城·二模）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】A举反例；B利用基本不等式即可；C作差法；D举反例. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则，，则， 等号成立时，故B正确； 对于C，因且，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC 5．（2025·山东济南·二模）（多选）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知有，则，根据指数函数的单调性判断A；两侧平方有，结合基本不等式、不等式性质判断B；特殊值判断C；讨论、，结合不等式性质判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A对； 因为，所以， 由，所以，故B对； 若，满足，显然不成立，故C错； 当，则，必有， 当，则，故，必有， 故D对. 故选：ABD 6．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. ( 题型0 4 ) 平面向量的线性运算、数量积 1．（2025·山东枣庄·二模）已知向量，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以，解得. 故答案为： 2．（2025·山东菏泽·二模）已知向量，，若与垂直，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】，， 由题意， 可得：， 得， 故答案为： 3．（2025·山东潍坊·二模）已知向量在向量上的投影向量为，若，则（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【分析】根据计算投影向量的公式及，求得，再利用数量积的运算律即可得答案. 【详解】，∴, , 故选：A. 4．（2025·山东聊城·二模）中，，则的最大值为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理可得在以半径为的圆上，由向量线性运算得，根据向量运算几何意义，计算即可求解. 【详解】由正弦定理可得，， 所以在以半径为的圆上， 则 由向量数量积几何意义及垂径定理可知： 当与同向时，有最大值为， 所以的最大值为.    故选：D. 5．（2025·山东济南·二模）在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设得为的夹角，而，应用向量数量积的运算律及夹角公式求夹角余弦值. 【详解】由题意，为的夹角，而， 所以， ， ， 综上，. 故选：A    6．（2025·山东滨州·二模）在平行四边形中，点在边上，且，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．4 【答案】B 【分析】用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为， 所以，， 所以 . 故选：B 7．（2025·山东临沂·二模）已知，若向量与向量互相垂直，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】依题意可得、、、均不为，将两式相除得到，再由及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，，显然、、、均不为， 所以，即，所以， 所以， 因为向量与向量互相垂直， 所以 则，又，解得. 故选：C 8.（2025·山东青岛·二模）平面向量满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得，进而利用余弦定理以及基本不等式即可求解最值. 【详解】如图：当、不共线时，取，，则，， 故，故， 在中，, 故， 故， 由于，故，故，当且仅当时取等号， 则，由于，故的最大值为， 由于的夹角为，即为, 由于与互补，故的最小值为， 当、共线时，不妨设，则，可得， 当时，此时的夹角为，即为, 时，此时的夹角为，即为, 综上可知：的夹角的最小值为 故答案为： 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数、不等式与平面向量 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的代数运算 题型03不等式的应用 题型04平面向量的线性运算、数量积 ( 题型01 ) 复数的概念 1．（2025·山东临沂·二模）若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·二模）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东滨州·二模）在复平面内，点对应的复数为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东菏泽·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 5．（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ） A．2 B．3 C．5 D． 6．（2025·山东日照·二模）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 ( 题型0 2 ) 复数的代数运算 1．（2025·山东枣庄·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·二模）已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·山东·二模）若，则 ． 4．（2025·山东潍坊·二模）已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C．1 D．5 5．（2025·山东聊城·二模）复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·山东枣庄·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C．1+i D． ( 题型0 3 ) 不等式的应用 1．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 2．（2025·山东菏泽·二模）设a，bR，则下列结论正确的是（    ） A．若a>b，则 B．若a<b<0，则 C．若a+b=2，则≥4 D．若，则a>b 3．（2025·山东临沂·二模）（多选）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东聊城·二模）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．（2025·山东济南·二模）（多选）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． ( 题型0 4 ) 平面向量的线性运算、数量积 1．（2025·山东枣庄·二模）已知向量，则的值为 . 2．（2025·山东菏泽·二模）已知向量，，若与垂直，则实数的值为 ． 3．（2025·山东潍坊·二模）已知向量在向量上的投影向量为，若，则（   ） A． B． C．3 D．9 4．（2025·山东聊城·二模）中，，则的最大值为（    ） A．6 B． C．12 D． 5．（2025·山东济南·二模）在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（   ） A． B． C． D．   6．（2025·山东滨州·二模）在平行四边形中，点在边上，且，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．4 7．（2025·山东临沂·二模）已知，若向量与向量互相垂直，则（    ） A． B． C．5 D． 8.（2025·山东青岛·二模）平面向量满足，，则的最小值为 . 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$