专题07 平面解析几何（山东专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题07 平面解析几何 题型概览 题型01直线与圆的位置关系 题型02椭圆 题型03双曲线 题型04抛物线 题型05圆锥曲线中的最值问题 题型06圆锥曲线中的定点、定值问题 题型07圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 ( 题型01 )直线与圆的位置关系 1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 2．（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，联立方程组得出，由平面向量数量积的坐标运算列出方程求解即可． 【详解】设， 由得，，则， ， 由得，， 故选：B． 3．（2025·山东菏泽·二模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得直线过定点，当时，弦长最短，结合勾股定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 令，解得， 所以直线过定点， 又圆的圆心，半径， 则， 当时，弦长最短， 此时. 故选：D 4．（2025·山东济宁·二模）若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由题意得直线过圆心，即得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由得， 所以圆心为，又圆关于直线对称， 则直线过圆心，即， 所以， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：C. 5．（2025·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，点，动点满足，记点的轨迹为，直线与交于两点，若，则的值为 . 【答案】或 【分析】设，根据写出动点的轨迹方程，设圆心到直线的距离为，根据弦长公式求得，再由点到直线距离公式即可求解. 【详解】设，则由，得， 化简整理得，圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为， 因为，所以，， 所以，解得或. 故答案为：或. 6．（2025·山东济南·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． (1)判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． (2)过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； (3)从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 【答案】(1)①不是，②是； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据有趣数组的定义判断即可； （2）联立直线与圆，应用韦达定理有，，代入圆的方程得，取，其中，应用反证思想，假设存在正整数i和j且i，，使得到矛盾，即可证明结论并确定2的一列有趣数组； （3）由（1）（2）结论，只需讨论，结合新定义及反证思想判断是否为有趣数组，即可得. 【详解】（1）①不是，因为数组中的任何两个都是比例关系； ②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系. （2）直线AB的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理得，即， 于是，又点B的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中， 若存在正整数i和j且i，，使，那么． 因为，则有比例性质， 于是， ， 故，则，矛盾！ 故对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则2是有趣数， 所以2的一列有趣数组为． （3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数； 当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使x最小的一组解，由，故是3的倍数， 若，k，l为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！ 同理，或，或也不成立． 若为3的倍数，则也为3的倍数， 设，则，即，故为3的倍数． 设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程没有正整数解，则3不是有趣数， 当时，由（1）知，则， 此时取，其中，…， 由比例性质同理可知对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则4是有趣数， 当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点D， 则直线CD的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理可得，即， 于是，又点D的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中，…， 由比例性质同理知：对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则5是有趣数．         当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使x最小的一组解． 由于，故是3的倍数， 由时的分析可知和都是3的倍数， 设，则，即， 故：为3的倍数． 设，则有． 所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数．            因此1，2，…，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为． ( 题型0 2 ) 椭圆 1．（2025·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 【答案】A 【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6. 【详解】易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径， 易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：    易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为， 因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6. 故选：A 2．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称性设出，，三点的坐标，并得到与的表达式，然后由，在椭圆上得到与的关系，因为直线与垂直，所以进一步转化为与的关系，最后利用题目中与的比例以及离心率公式求解. 【详解】 设，，则， 所以，. 又，， 所以. 因为直线与垂直，所以， ，所以，所以. 又，所以，的离心率. 故选：. 3．（2025·山东潍坊·二模）在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，，则，， 设该椭圆长半轴长为，由椭圆的定义可知： ，解得 所以，，， 在中，显然有，所以， 设，由余弦定理可知：， 即解得 因此椭圆的焦距为， 所以椭圆的离心率为：. 故选：C. 4．（2025·山东济宁·二模）已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据方程联立求得，再代入椭圆方程构造齐次式即可得解. 【详解】如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点， 所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形是矩形， 所以，，所以点在圆上， 则，解得，代入椭圆方程， 又，可得： ， 设（），则上式可化为， 化简可得， 即， 因为，所以，解得. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 5．（2025·山东泰安·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据椭圆定义表示，，再根据勾股定理建立关系，解得离心率. 【详解】由，可得， 设，则，，， 由，则，即，解得， 所以，， ，即，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 6．（2025·山东临沂·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】先由离心率为得到，，之间的关系，再建立平面直角坐标系求出各点坐标，最后由求出，的周长为. 【详解】因为离心率，且在椭圆中可得 ，， 建立如何所示的平面直角坐标系， ，， 因为垂直于轴，垂足为，故， 代入椭圆方程可得，， 又为与轴交点，可得， 因为，由两点之间的距离公式可得， 又，， 解得，， 则则的周长为 ， 故答案为：. 7．（2025·山东·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，点在上． (1)求的方程； (2)设为的角平分线所在的直线，上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据焦距和椭圆上的点得到方程组，结合，求出，得到椭圆方程； （2）假设在椭圆上存在关于直线对称的相异两点，分别设为，，设直线与轴的交点为，，根据为的角平分线和正弦定理得到，解得，所以，的方程，关于直线对称，设出直线方程，与椭圆方程联立，根据，求出，并得到两根之和，两根之积，求出中点，将代入方程，可得，与矛盾，故假设不成立，所以椭圆上不存在关于直线对称的相异两点. 【详解】（1）由题意可得： ，解得， 所以椭圆方程为； （2）假设在椭圆上存在关于直线对称的相异两点，分别设为，， 由已知，， 设直线与轴的交点为，， 因为为的角平分线，所以， 又，故，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式相除得，所以， 化简得， 解得（舍去）或，所以， 所以的方程为，即， 因为关于直线对称，可知， 设直线方程为， 由消得：， ，解得， 由韦达定理得， 设线段中点为， ，代入直线方程得，所以， 将代入方程，可得，与矛盾， 故假设不成立，所以椭圆上不存在关于直线对称的相异两点 ( 题型0 3 ) 双曲线 1．（2025·山东临沂·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意找到等量关系，列齐次方程求解即可. 【详解】    因为，，所以的三个内角都是， 从而，结合双曲线定义得，故， 又，故，结合， 故由余弦定理得，化简得，解得. 故选：D. 2．（2025·山东聊城·二模）双曲线的方程为，直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】设，，联立直线l与双曲线E的方程，得，再求出E，F点坐标，根据即可得解. 【详解】设，， 联立直线l与双曲线E的方程，得， 消去x，得， 则，且， 双曲线的渐近线方程为， 联立直线l与双曲线E的渐近线方程，得， 得，即，同理， 因为E，F是线段AB的三等分点，所以， 即，则， 所以， 则，所以. 故选：D    3．（2025·山东滨州·二模）（多选）已知是双曲线的左、右焦点、抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．且是双曲线与抛物线的一个公共点．若是等腰三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据已知有且，，利用抛物线焦点弦的性质表示点M的坐标，代入双曲线方程化简后得离心率方程，即可求解. 【详解】由题设且，， 当时，由抛物线的性质可知，所以， 故，所以，即，化简得， 所以，求得或， 又，得到，解得（负值舍）； 当时，则， 由抛物线的性质可知，则， 所以，所以即， 化简得，所以， 所以，所以， 所以或, 解得、或，又，所以，解得. 综上，或. 故选：AC 4．（2025·山东青岛·二模）（多选）双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（ ） A．存在使得 B．P到两条渐近线的距离之积为定值 C．当直线运动时，始终有 D．△内切圆的圆心的横坐标为 【答案】BC 【分析】设，计算直线的斜率，比较斜率关系即可判断A；先确定渐近线，分别计算距离求解即可判断B；设直线，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，利用弦长公式确定关系即可判断C；设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点的横坐标即可判断D. 【详解】双曲线的，所以， 则双曲线渐近线方程为，设，则，且， 对于A，，则，则，而，而，所以，则不存在使得，故A不正确； 对于B，点到两条渐近线的距离分别为， 故，则到两条渐近线的距离之积为定值，故B正确； 对于C，设点， 显然直线的斜率存在，设直线，且， 联立方程，所以， 所以， 直线分别与渐近线与联立得，， 得，所以有，即， 由题可知，所以，故C正确； 对于D，如图所示： 设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为， 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知， 故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为， 故，解得，故D错误. 故选：BC. 5．（2025·山东·二模）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】设双曲线右焦点坐标为，左焦点为，由题意得出的长，再根据几何关系列出等式即可求解． 【详解】设双曲线右焦点坐标为，左焦点为，则抛物线准线为， 将代入得，， 所以， 在中，， 解得或（舍）， 所以的离心率为， 故答案为：．    6．（2025·山东菏泽·二模）已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义，结合等腰三角形和相似比性质来求解各线段长度，最后根据勾股定理找到等式关系，从而可求离心率. 【详解】 如图，由于，可作轴，垂足为，可知为中点， 由，可知， 由，可知， 令，则，即， 根据双曲线定义：， 即，， 再由勾股定理可得：， 即， 即， 故答案为：. 7．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点. (1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标； (2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题设条件结合双曲线性质得到P点在以为圆心、3为半径的圆上，联立两曲线方程即可求解； （2）由题意设直线，点，联立直线与双曲线方程，由题意结合判别式、韦达定理以及向量数量积的定义直接计算并化简得到即可分析求解. 【详解】（1）当时，双曲线，其中， 因为为等腰三角形，点在第一象限， 所以由双曲线性质可知，为三角形的底边，， 所以P点在以为圆心、3为半径的圆上， 设，其中，则有，解得，即. （2）由题意的斜率不为0，设直线， 设点，则 联立得 由已知二次项系数，且， 即， 所以， 则 即. 代入得， 即， 化简得，即，所以 因为，代入，得， 所以所以， 综上， ( 题型0 4 ) 抛物线 1．（2025·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设,,根据判别式求出为切点的切线方程和以为切点的切线方程,设过直线上任一点为,将代入和,即可求得直线的方程,进而求得点到直线的距离. 【详解】设,,可得,， 设以为切点的切线方程为， 联立与抛物线的方程可得， 故，解得， 故以为切点的切线方程为:,即——① 同理可得,以为切点的切线方程为: ——② 设过直线上任一点为 代入①②得 所以直线的方程为,即, 故过定点, 当时,到的距离的最大值为:. 故选:B 2．（2025·山东潍坊·二模）若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程： ． 【答案】或（填一个答案即可） 【分析】根据题意，判断抛物线的准线方程为或，分别求出焦准距，写出抛物线方程即可. 【详解】依题意，抛物线的准线与直线平行，且距离为2， 故抛物线的准线方程为或， 当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的负半轴上，且，，故抛物线方程为：； 当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，，故抛物线方程为：. 综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是或. 故答案为：或（填一个答案即可） 3．（2025·山东济宁·二模）已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【分析】设点，由抛物线的定义有，两点间的距离公式有，即，只需的最大值即可. 【详解】由题意得，设点，则， 由抛物线的定义有， 所以， 又， 当时，; 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以． 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以． 综上所述，当时，取得最小值， 此时，得点， 所以. 故答案为：. ( 题型0 5 )圆锥曲线中的最值问题 1．（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 【答案】8 【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 因为两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大， 最大值为. 故答案为：8 2．（2025·山东潍坊·二模）双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为． （i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式； （ii）记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，，（ii）． 【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式可求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）写出直线方程，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理可得出，，再利用等比数列的定义可证得结论成立； （ii）求出、的表达式，可得出的表达式，结合数列的单调性可求得的最大值. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，， 则点到渐近线的距离为，所以，所以的方程为． （2）（i）因为，所以、， 直线的方程为，即， 代入，得， 根据韦达定理得． 所以，， 由题设有， 因为， 所以是公比为的等比数列． 因为， 所以是公比为的等比数列， 所以，所以，. （ii）先证明结论：若，为两个不共线的非零向量， 则 . 本题中，因为．， 所以． 因为，， ， 又因为， ， 所以，， 所以， 设，则， 所以，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为． 3．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②3. 【分析】（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；②利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此，解得，， 所以的标准方程为. （2）①由（1）知点，设直线的方程为，， 由消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. ( 题型0 6 )圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（2022·山东青岛·二模）已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程. (2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明. （ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点. 【详解】（1）解：由题知，，的面积等于， 所以，解得，，所以，椭圆C的方程为. （2）（i）设直线PA的方程为， 直线PB的方程为，由题知， 所以，所以， 同理，， 所以，是方程的两根，所以. （ii）设，，设直线AB的方程为， 将代入得， 所以，① ，② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以，所以， 若，则直线，此时AB过点P，舍去. 若，则直线，此时AB恒过点， 所以直线AB过定点. 2．（2025·山东青岛·二模）抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. (1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； (2)若||＝，求面积的最大值; (3)证明：||·||=. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分别求出直线和直线的方程，由直线和直线都过即可求出直线的方程，再根据点的纵坐标为，即可得到直线恒过定点； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出的高，即可求出面积的最大值. （3）设直线方程为，与抛物线方程联立，可得，直线的方程为，进而可得直线的方程为，求得，进而可得，可得结论. 【详解】（1）设，， 由得，则直线的方程为， 即，即， 同理，直线的方程为   又直线与直线都过， 则，， 从而均在直线上， 故直线的方程为，又， 故直线的方程为， 故直线过定点； （2）联立，得， ，则， 则， 于是，， 又点N到直线AB的距离， 所以 (当时取等号). 则面积的最大值为； （3）由题意知直线斜率存在，且. 设直线方程为， 由，得， ，. 对求导，， 所以， ， 直线的方程为， 又，直线的方程为， 同理可得直线的方程为. 由，得，所以， 当时，||=||=2，，所以||·||=； 当时，，， 又，， 所以.所以||·||=， 综上：||·||=. 3．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，直线的倾斜角为定值 【分析】（1）由题意即可得即，又点在双曲线上，即可解出； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，得韦达定理，又的平分线与轴垂直，得，即得，代入韦达定理即可得证. 【详解】（1）由题意有，又点在双曲线上，所以， 解得，所以双曲线的方程为； （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设 所以， 所以， 由韦达定理有：， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以，即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为，即直线过点，不符合题意， 所以，设倾斜角为，即，， 即直线的倾斜角为定值.    4．（2025·山东日照·二模）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）存在，4条. 【分析】（1）根据已知有点在抛物线上，代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设，，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，导数的几何意义求点处切线方程，且，进而得到、，易得，即可证； （ii）连接，由（i）得，则有四边形为平行四边形，再由且，结合已知及导数研究根的个数，即可得. 【详解】（1）当直线轴时，则点在抛物线上，故， 所以抛物线方程为； （2）（i）由题设，直线的斜率存在且不为0，设，则斜率， 若，，联立，得， 所以，， 由，则，故点处切线斜率为， 所以对应切线方程为， 令，故， 由，令，则，故， 所以， 所以，即，所以； （ii）连接，由（i）得，，则， 又，所以轴，即四边形为平行四边形， 所以 ， 若四边形的面积为，则，整理得， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以使， 在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增， 而，，存在使， 所以在上有两个零点，为和，即在上有2个不同根， 由对称性，四边形的面积为的直线共有4条. 5．（2025·山东济南·二模）已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由点在椭圆上求出椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设，结合及点在椭圆上求得，即可得直线方程；（ii）设直线方程联立椭圆，应用韦达定理及得到，再分类讨论求直线所过的定点，注意直线斜率不存在的情况，进而求弦长最小值. 【详解】（1）由题意，知PF与x轴垂直，， 令，解得，即，解得或（舍去）， 故，椭圆C的标准方程为． （2）（i）当直线AB斜率不存在时，设， 则，， 由，知，又，解得或1（舍去）， 故直线AB的方程为； （ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立椭圆C的方程，得， 设，由韦达定理知， 于是， 由知， ， 若，则直线AB为，直线AB恒过定点，不合题意， 若，则直线AB为，直线AB过定点， 当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点， 于是直线AB恒过定点， 当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为， 故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为．    6．（2025·山东滨州·二模）在平面直角坐标系中，设，规定：点叫做点的仿射对应点．已知点的轨迹的方程为，点的仿射对应点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设是曲线上的两点，的仿射对应点分别为．和的面积分别记为．求； (3)设是曲线上两点，若的面积为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）点的的仿射对应点为，根据仿射点的关系得，代入即得椭圆方程； （2）设，则，利用向量法及三角形面积公式求得，及，即可求解； （3）设的仿射对应点分别为，根据（2）的结论得的面积为，设，然后利用三角形面积求得，进而有，结合得，进而利用仿射点的关系得，得证. 【详解】（1）设为上任意一点，点的的仿射对应点为， 则，所以，又因为在上，从而得， 所以点Q的轨迹方程为； （2）设，则， 因为，所以 ， 同理，所以； （3）设的仿射对应点分别为， 由（2）可知：由的面积为得的面积为，设， 从而的面积为，所以， 又，所以， 又因为均在上，所以， 又，所以，所以， 所以，又， 所以. ( 题型0 7 )圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 1．（2025·山东枣庄·二模）已知抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由点在抛物线上及焦半径公式列出等式求解即可； （2）（i）法一：设直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理，结合，求得或即可；法二：设，由，结合直线BD的方程为，代入化简得到即可求证；（ii）设，设直线的方程为，直线的方程为，结合弦长公式及三角形面积公式，进而可求解； 【详解】（1）解：因为点在C上， 所以. 因为，所以， 则，解得， 所以的方程为. （2） （i）证明：法一：由题意知直线的斜率存在，. 设直线的方程为， 联立）得， 则， ， ， 所以， 解得或. 当时，直线的方程为，过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为，恒过点. 综上，直线BD过定点. 法二：由题意知，设， 则， 同理可得. 由，得， 整理得①. 直线BD的方程为， ， 两式相加得， 即， 即. 由①得，故直线BD过点. （ii）解：设，易知直线和的斜率均存在且不为0，设直线的方程为，直线的方程为， 此时， 则. 由，得. 联立得， 由，得， 同理，所以， 则， 同理可得， 所以， ， 由题意得 . 因为在和上均单调递增， 所以， 又， 即16， 所以. 2．（2025·山东·二模）已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，且的最大值为． (1)求抛物线的方程； (2)过点P的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且AC分别是线段PB，PD的中点，设线段BD的中点为M． （i）证明：直线轴： （ii）求△PBD面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）48 【分析】（1）由题意，的最大值为，则，求出答案； （2）（ⅰ）设，根据中点在抛物线上，则，求出点横坐标为，即可证明；（ii），△PBD面积，则，根据，求出最大值. 【详解】（1） 由题意可知，所以． 所以抛物线的标准方程为：． （2） 设 （ⅰ）由题意，中点在抛物线上，即， 又，将代入， 得：， 同理：， 有， 此时点横坐标为， 所以直线轴： （ⅱ）因为， 所以点， 此时， ， ， 所以， 又因为点在圆上，有，即， 代入上式可得：， 由， 所以时，取到最大值． 所以的最大值为48． 3．（2025·山东临沂·二模）已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为． (1)求的方程； (2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为． ①证明：当时，； ②设的面积为，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）画出图形，根据圆的几何性质即可列方程求出，从而得到抛物线方程； （2）①设，求导，写出点作的垂线，联立抛物线方程得的横坐标为，从而得出，累加即可得证；②先得到，即当时，，从而通过放缩裂项求和的方法即可得证. 【详解】（1） 抛物线的准线方程为， 由题意可知，所以，解得， 所以的方程为； （2） ①设，因为， 所以点处的切线斜率为，所以直线斜率为， 所以直线， 与联立可得，， 可得，即的横坐标为， 所以， 当时，有， 又，故，所以； ②直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以， 所以， 由（1）知，即， 所以当时，， 所以当时，， 所以， 当时，， 当时， ， 所以，. 4．（2025·山东菏泽·二模）抛物线的焦点为，且过点． (1)求的方程； (2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点． ①证明：点到和的距离相等； ②若的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②P. 【分析】（1）将点的坐标代入计算，即可得到抛物线方程； （2）①联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到，即可证明；②由题意可得点P在线段AF的中垂线上，即可得到结果. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以，得：，所以C的方程为：. （2）①设直线方程为，，， 由得：，则， ，， 又， ， 易知点，所以垂直于轴， 所以，所以点到和的距离相等. ②因为，所以， 故直线PA//FQ，所以， 由①知，所以， 所以点P在线段AF的中垂线上，点的纵坐标为1，代入抛物线方程可得点P. 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面解析几何 题型概览 题型01直线与圆的位置关系 题型02椭圆 题型03双曲线 题型04抛物线 题型05圆锥曲线中的最值问题 题型06圆锥曲线中的定点、定值问题 题型07圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 ( 题型01 )直线与圆的位置关系 1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 2．（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东菏泽·二模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 4．（2025·山东济宁·二模）若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 5．（2025·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，点，动点满足，记点的轨迹为，直线与交于两点，若，则的值为 . 6．（2025·山东济南·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． (1)判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． (2)过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； (3)从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． ( 题型0 2 ) 椭圆 1．（2025·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 2．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东潍坊·二模）在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济宁·二模）已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东临沂·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为 ． 7．（2025·山东·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，点在上． (1)求的方程； (2)设为的角平分线所在的直线，上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由． ( 题型0 3 ) 双曲线 1．（2025·山东临沂·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·二模）双曲线的方程为，直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 3．（2025·山东滨州·二模）（多选）已知是双曲线的左、右焦点、抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．且是双曲线与抛物线的一个公共点．若是等腰三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·二模）（多选）双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（ ） A．存在使得 B．P到两条渐近线的距离之积为定值 C．当直线运动时，始终有 D．△内切圆的圆心的横坐标为 5．（2025·山东·二模）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为 ． 6．（2025·山东菏泽·二模）已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ． 7．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点. (1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标； (2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围. ( 题型0 4 ) 抛物线 1．（2025·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·山东潍坊·二模）若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程： ． 3．（2025·山东济宁·二模）已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为 . ( 题型0 5 )圆锥曲线中的最值问题 1．（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 2．（2025·山东潍坊·二模）双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为． （i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式； （ii）记的面积为，的面积为，求的最大值． 3．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. ( 题型0 6 )圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（2022·山东青岛·二模）已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 2．（2025·山东青岛·二模）抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. (1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； (2)若||＝，求面积的最大值; (3)证明：||·||=. 3．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 4．（2025·山东日照·二模）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 5．（2025·山东济南·二模）已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 6．（2025·山东滨州·二模）在平面直角坐标系中，设，规定：点叫做点的仿射对应点．已知点的轨迹的方程为，点的仿射对应点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设是曲线上的两点，的仿射对应点分别为．和的面积分别记为．求； (3)设是曲线上两点，若的面积为，求证：为定值． ( 题型0 7 )圆锥曲线中的三角形、四边形面积问题 1．（2025·山东枣庄·二模）已知抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 2．（2025·山东·二模）已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，且的最大值为． (1)求抛物线的方程； (2)过点P的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且AC分别是线段PB，PD的中点，设线段BD的中点为M． （i）证明：直线轴： （ii）求△PBD面积的最大值． 3．（2025·山东临沂·二模）已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为． (1)求的方程； (2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为． ①证明：当时，； ②设的面积为，证明：． 4．（2025·山东菏泽·二模）抛物线的焦点为，且过点． (1)求的方程； (2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点． ①证明：点到和的距离相等； ②若的面积等于的面积，求点的坐标． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$