专题06 数列（山东专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题06 数列 题型概览 题型01数列的概念与表示 题型02等差数列 题型03等比数列 题型04数列新定义 ( 题型01 ) 数列的概念与表示 1．（2025·山东潍坊·二模）已知数列满足，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·二模）对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2025·山东日照·二模）已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 4．（2025·山东·二模）（多选）记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 5．（2025·山东枣庄·二模）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和的最大值. ( 题型0 2 ) 等差数列 1．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2025·山东青岛·二模）记等差数列的前项和为，且，则 ． 3．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则 4．（2025·山东聊城·二模）数列是递增数列，其前项和为，且． (1)求； (2)记，数列满足：，数列的前项积与前项和分别记为．证明： ①； ②． ( 题型0 3 ) 等比数列 1．（2025·山东·二模）记等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 2．（2025·山东滨州·二模）设为等比数列，且，则（   ） A．12 B．24 C．48 D．96 3．（2025·山东菏泽·二模）已知为等比数列前项和，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 4．（2025·山东聊城·二模）各项均为正数的等比数列的前5项和为，且，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. ( 题型0 4 ) 数列新定义 1．（2025·山东菏泽·二模）（多选）如图，在的方格表中，任意填入个互不相等的实数，取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是，再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是，下列结论中可能成立的有（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 3．（2025·山东枣庄·二模）设，数列共有k项，定义：若，且这k项的和为1，则称为“和谐数列”.记. (1)若等差数列为“和谐数列”，，且共有6项，求的公差； (2)若为“和谐数列”，，比较与的大小，并说明理由； (3)若为“和谐数列”，为正项数列，证明：. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列 题型概览 题型01数列的概念与表示 题型02等差数列 题型03等比数列 题型04数列新定义 ( 题型01 ) 数列的概念与表示 1．（2025·山东潍坊·二模）已知数列满足，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推公式逐项计算可得的值. 【详解】因为数列满足，且， 所以，，，. 故选：D. 2．（2025·山东济南·二模）对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题设新定义，用多项式表示出63，即可得. 【详解】由，则. 故选：C 3．（2025·山东日照·二模）已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】根据已知列举出的项，再根据数列构成求、，即可得. 【详解】由题设，数列各项依次为， 当时，， 当时，， 所以成立的n的最小值为21. 故选：B. 4．（2025·山东·二模）（多选）记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 【答案】ACD 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 5．（2025·山东枣庄·二模）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和的最大值. 【答案】(1)； (2)90. 【分析】（1）利用累加法，结合分组求和法及等比数列前项和公式求解. （2）求出并判断单调性，求出所有非负数项的和即可. 【详解】（1）依题意，当时，，则 ，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，数列是递减等差数列， 由，得，则数列前10项均为非负数，从第11项起为负数， 而，因此数列前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列的前项和的最大值为. ( 题型0 2 ) 等差数列 1．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意求得，，进一步将所求转换为关于的二次式子即可求解. 【详解】，解得， 由于为正项等差数列，则，解得， ，等号成立当且仅当， 所以的最大值为8. 故选：C. 2．（2025·山东青岛·二模）记等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用通项与前项和的关系，把等式转化为的递推关系，利用等差数列公式即可求解. 【详解】由代入已知可得：， 可得是公差为2的等差数列，因为，所以， 即， 所以， 故答案为：. 3．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则 【答案】 【分析】根据等差数列的定义有，即，利用关系求通项公式. 【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列， 则，所以， 当，则，显然满足上式， 所以. 故答案为： 4．（2025·山东聊城·二模）数列是递增数列，其前项和为，且． (1)求； (2)记，数列满足：，数列的前项积与前项和分别记为．证明： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【分析】（1）降标作差得，再根据数列的增减性即可得，利用等差数列的通项公式和前项和公式即可； （2）①通过变形得到即可求；②通过变形得到，即可求. 【详解】（1）由得，． 两式相减得：，即， 因为是递增数列，所以， 由，得，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，； （2）①由已知得，， 所以，即， 所以； ②由，可得， 所以 ， 所以． ( 题型0 3 ) 等比数列 1．（2025·山东·二模）记等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】根据等比数列下标和性质可得，结合题意可得，进而可得，即可得解. 【详解】因为数列为等比数列，则， 可得，解得或， 若，则公比， 可得，所以； 若，则公比， 可得，所以； 综上所述：. 故选：A. 2．（2025·山东滨州·二模）设为等比数列，且，则（   ） A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】D 【分析】利用等比数列性质以及等比数列定义直接计算即可. 【详解】设数列的公比为， 由可得， 所以. 故选：D 3．（2025·山东菏泽·二模）已知为等比数列前项和，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式来求解即可. 【详解】由等比数列公式可得：， 所以， 故选：A. 4．（2025·山东聊城·二模）各项均为正数的等比数列的前5项和为，且，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式和等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为（）， 根据题意即，解得（舍）， 而，故，所以 选选：A. 5．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 【答案】(1)是数阵第4行，第3097个数． (2)（i），，；（ii）. 【分析】（1）设，利用二项展开式得当且仅当为偶数时，可以取得正整数，则，即可确定位置； （2）（i）当时，直接得到，代入并去掉12即可得到的值，代入，去掉19个数即可得到； （ii）分析得，利用特征根法得，，再消去即可得到其通项. 【详解】（1）设，因为， ， 所以， 所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数， 所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项， 所以，，故， 所以，是数阵第4行，第3097个数． （2）（i）当时，显然． 当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉． 故． 当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉： 百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个． 故． （ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法， 但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个． 综上，由加法原理知． 设， 所以，，即， 解得， 所以，是首项为，公比为的等比数列； 是首项为，公比为的等比数列； 所以，， ， 所以，当时，， 经检验，当时，也成立 当时，也成立． 综上，． ( 题型0 4 ) 数列新定义 1．（2025·山东菏泽·二模）（多选）如图，在的方格表中，任意填入个互不相等的实数，取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是，再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是，下列结论中可能成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，由的定义即可比较的大小关系，然后构造方格表验证，即可得到结果. 【详解】设，因为是第行的最大数，所以对于第行的任意， 都有， 设，因为是第列的最小数，所以对于第列的任意， 都有， 因为是第行的最大数，所以， 因为是第列的最小数，所以，所以， 构造方格表 1 2 3 4 则， 构造方格表 1 3 2 4 则，即， 所以， 当时，取，，， 则，即. 故选：ACD 2．（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得； （3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解. 【详解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 3．（2025·山东枣庄·二模）设，数列共有k项，定义：若，且这k项的和为1，则称为“和谐数列”.记. (1)若等差数列为“和谐数列”，，且共有6项，求的公差； (2)若为“和谐数列”，，比较与的大小，并说明理由； (3)若为“和谐数列”，为正项数列，证明：. 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由等差数列基本量列出等式求解即可； （2）构造函数，通过求导得到，将问题，转换成.结合，即可求证； （3）将转换成证.再结合，可求证. 【详解】（1）解：设的公差为，由题意得. 因为是等差数列，， 所以，解得. （2）解：，理由如下： 因为为“和谐数列”， 所以， 即. 令， 则. 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 即. 要证， 只需证， 即证， 只需证， 只需证. 因为， 所以，得证. （3）证明：要证， 只需证， 即证. 因为为“和谐数列”， 所以， 所以只需证. 设，只需证. 因为， 所以， 所以， 所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$