第四章 因式分解期末复习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级数学下册期末复习：因式分解 一．选择题（共10小题） 1．（2025•浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B． C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2 2．（2022春•碑林区校级月考）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．8a2b+4a＝2a（4ab+2） B．﹣ab3+2ab2﹣ab＝﹣ab2 （b﹣2）﹣ab C．4x3+8x﹣4＝4x（x+2） D．4my﹣2＝2（2my﹣1） 3．（2024秋•清江浦区校级期中）如果a﹣3b＝﹣2，那么代数式2a﹣6b+5的值是（　　） A．9 B．1 C．﹣1 D．﹣9 4．下列各组多项式中没有公因式的是（　　） A．3x﹣2与6x2﹣4x B．3（a﹣b）2与11（b﹣a）3 C．mx﹣my与ny﹣nx D．3ab﹣ax与ab﹣bx 5．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣y B．﹣4x2﹣25y2 C．4x2+y2 D．﹣81+y2 6．（2024•东莞市模拟）把多项式x2y﹣y因式分解正确的是（　　） A．y（x2﹣1） B．y（x﹣1）2 C．y（x+y）（x﹣1） D．y（x﹣1）（x+1） 7．下列说法正确的是（　　） A．﹣72的底数是﹣7 B．﹣110读作“﹣1的10次幂” C．（﹣8）3与﹣83意义相同 D．﹣9可以看作﹣9的1次方 8．（2024春•钱塘区期末）下列因式分解正确的是（　　） A．﹣ax﹣ay＝﹣a（x﹣y） B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） C．a2﹣3ab﹣4b2＝（a+b）（a﹣4b） D．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 9．（2023秋•太和县期中）用配方法将代数式x2+4x﹣5变形，结果正确的是（　　） A．（x+2）2﹣1 B．（x+2）2﹣5 C．（x+2）2+4 D．（x+2）2﹣9 10．（2023秋•东方期末）已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，则a、b的值分别为（　　） A．4、1 B．4、﹣1 C．﹣4、1 D．﹣4、﹣1 二．填空题（共7小题） 11．因式分解： （1）（x+2）x﹣x﹣2＝　 　 ． （2）（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　 　 ． 12．（2024春•攸县期中）甲和乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为：（x+2）（x+4），乙看错了m，分解结果为：（x+1）（x+9）．此多项式因式分解的正确结果是：　 　 ． 13．（2021秋•北林区期末）已知a、b互为相反数，x、y互为倒数，则3|a+b|﹣5xy＝　 　 ． 14．（2023秋•江岸区校级月考）已知x2﹣4（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝　 　 ． 15．因式分解：（a﹣b）2﹣（b+a）2＝　 　 ． 16．（2022秋•内江期末）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式A＝a2+a，请结合你所学知识，判断下列说法：①当a＝﹣2时，A＝2；②无论a取任何实数，不等式恒成立；③若A﹣1＝0，则；正确的有 　 　 ． 17．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如3＝22﹣12，7＝42﹣32，16＝52﹣32，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 18．多项式（a﹣1）2+2a（a﹣1）分解因式后求值，其中a＝2． 19．（2021•汨罗市校级开学）分解因式：25（a+b）2﹣4（a﹣b）2． 20．（2023秋•东胜区校级期中）已知x2+mx+1是一个完全平方式，m＝　 　 ． 21．（2023•衡水模拟）【发现】两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【验证】232﹣212的结果是8的几倍？ 【证明】论证两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的2倍； 【延伸】两个连续偶数2m+2与2m（m为整数）的平方差是8的倍数吗？如果是，说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果为8的倍数，求k的最小值． 22．若关于x的二次三项式3x2+mx﹣n分解因式的结果为（3x+2）（x﹣1），求m，n的值． 23．（2024秋•澄海区期末）先阅读，再解决问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法． 例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）． （1）分解因式：ab﹣2a﹣2b+4； （2）若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 24．（2023春•凤翔县期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a4+b2c2＝b4+a2c2，试判断ABC的形状，阅读下面解题过程： 解：由a4b2c2＝b4+a2c2得： a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2① （a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2） ② 即a2+b2＝c2③ ∴△ABC为Rt△．④ （1）试问：以上解题过程是否正确：　 　 ． （2）若不正确，请指出错在哪步？（填代号）　 　 ． （3）本题的结论应为 　 　 ． 北师大版数学八年级数学下册期末复习：因式分解 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B． D D D D C D A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B． C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2 【解答】解：A、m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； B、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； C、n（a+b）＝na+nb，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误； D、x2+2x+1＝（x+1）2，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确． 故选：D． 2．（2022春•碑林区校级月考）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．8a2b+4a＝2a（4ab+2） B．﹣ab3+2ab2﹣ab＝﹣ab2 （b﹣2）﹣ab C．4x3+8x﹣4＝4x（x+2） D．4my﹣2＝2（2my﹣1） 【解答】解：A．从左到右的变形，分解错误，本选项不符合题意 B．右边不是积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意； C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．右边不是积的形式，属于因式分解，本选项符合题意． 故选：D． 3．（2024秋•清江浦区校级期中）如果a﹣3b＝﹣2，那么代数式2a﹣6b+5的值是（　　） A．9 B．1 C．﹣1 D．﹣9 【解答】解：当a﹣3b＝﹣2时，原式＝2（a﹣3b）+5＝2×（﹣2）+5＝1． 故选：B． 4．下列各组多项式中没有公因式的是（　　） A．3x﹣2与6x2﹣4x B．3（a﹣b）2与11（b﹣a）3 C．mx﹣my与ny﹣nx D．3ab﹣ax与ab﹣bx 【解答】解：A．3x﹣2与6x2﹣4x＝2x（3x﹣2）的公因式是：（3x﹣2），故此选项不合题意； B．3（a﹣b）2＝3（b﹣a）2与11（b﹣a）3的公因式是：（a﹣b）2，故此选项不合题意； C．mx﹣my＝m（x﹣y）与ny﹣nx＝﹣n（x﹣y）的公因式是：（x﹣y），故此选项不合题意； D．3ab﹣ax＝a（3b﹣x）与ab﹣bx＝b（a﹣x），没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 5．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣y B．﹣4x2﹣25y2 C．4x2+y2 D．﹣81+y2 【解答】解：对于选项A， ∵x2﹣y不能用平方差公式分解因式， ∴选项A不符合题意； 对于选项B， ∵﹣4x2﹣25y2＝﹣（4x2+25y2）＝﹣[（2x）2+（5y）2]， ∴﹣4x2﹣25y2不能用平方差公式分解因式， ∴选项B不符合题意； 对于选项C， ∵4x2+y2＝（2x）2+y2， ∴4x2+y2不能用平方差公式分解因式， ∴选项C不符合题意； 对于选项D， ∵﹣81+y2＝y2﹣92＝（y+9）（y﹣9）， ∴﹣81+y2能用平方差公式分解因式， ∴选项D符合题意． 故选：D． 6．（2024•东莞市模拟）把多项式x2y﹣y因式分解正确的是（　　） A．y（x2﹣1） B．y（x﹣1）2 C．y（x+y）（x﹣1） D．y（x﹣1）（x+1） 【解答】解：x2y﹣y＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1）． 故选：D． 7．下列说法正确的是（　　） A．﹣72的底数是﹣7 B．﹣110读作“﹣1的10次幂” C．（﹣8）3与﹣83意义相同 D．﹣9可以看作﹣9的1次方 【解答】解：A．根据乘方的定义，﹣72的底数是7，那么A错误，故A不符合题意． B．根据乘方的定义，﹣110读作“1的10次幂的相反数”，那么B错误，故B不符合题意． C．根据乘方的定义，（﹣8）3表示3个﹣8相乘，﹣83表示3个8相乘的相反数，也就是说（﹣8）3与﹣83意义不相同，那么C错误，故C不符合题意． D．根据乘方的定义，﹣9可以表示﹣9的一次方，那么D正确，故D符合题意． 故选：D． 8．（2024春•钱塘区期末）下列因式分解正确的是（　　） A．﹣ax﹣ay＝﹣a（x﹣y） B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） C．a2﹣3ab﹣4b2＝（a+b）（a﹣4b） D．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 【解答】解：A、﹣ax﹣ay＝﹣a（x+y），故A不符合题意； B、a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），故B不符合题意； C、a2﹣3ab﹣4b2＝（a+b）（a﹣4b），故C符合题意； D、a2﹣6ab﹣9b2≠（a﹣3b）2，故D不符合题意； 故选：C． 9．（2023秋•太和县期中）用配方法将代数式x2+4x﹣5变形，结果正确的是（　　） A．（x+2）2﹣1 B．（x+2）2﹣5 C．（x+2）2+4 D．（x+2）2﹣9 【解答】解：x2+4x﹣5＝x2+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9． 故选：D． 10．（2023秋•东方期末）已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，则a、b的值分别为（　　） A．4、1 B．4、﹣1 C．﹣4、1 D．﹣4、﹣1 【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15，a﹣b＝3①， ∴a+b＝5②， ①+②得：2a＝8， ∴a＝4， 把a＝4代入①得：4﹣b＝3， ∴b＝1， 即a、b的值分别为4、1， 故选：A． 二．填空题（共7小题） 11．因式分解： （1）（x+2）x﹣x﹣2＝　（x+2）（x﹣1）　 ． （2）（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　（a﹣b）（a﹣b+1）　 ． 【解答】解：（1）（x+2）x﹣x﹣2 ＝（x+2）x﹣（x+2） ＝（x+2）（x﹣1）； （2）（a﹣b）2﹣（b﹣a） ＝（a﹣b）2+（a﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣b+1）． 故答案为：（1）（x+2）（x﹣1）； （2）（a﹣b）（a﹣b+1）． 12．（2024春•攸县期中）甲和乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为：（x+2）（x+4），乙看错了m，分解结果为：（x+1）（x+9）．此多项式因式分解的正确结果是：　（x+3）2　 ． 【解答】解：∵（x+2）（x+4） ＝x2+4x+2x+8 ＝x2+6x+8， ∴m＝6， ∵（x+1）（x+9）， ＝x2+9x+x+9 ＝x2+10x+9， ∴n＝9， ∴原多项式为：x2+6x+9， ∴x2+6x+9＝（x+3）2， ∴此多项式因式分解的正确结果是：（x+3）2， 故答案为：（x+3）2． 13．（2021秋•北林区期末）已知a、b互为相反数，x、y互为倒数，则3|a+b|﹣5xy＝　﹣3　 ． 【解答】解：∵a、b互为相反数， ∴a+b＝0； ∵x、y互为倒数，∴xy＝1． ∴3|a+b|﹣3xy＝3×|0|﹣3×1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 14．（2023秋•江岸区校级月考）已知x2﹣4（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝　0或2　 ． 【解答】解：∵x2﹣4（m﹣1）x+4是一个完全平方式， ∴﹣4（m﹣1）＝±4， 解得m＝0或m＝2， 故答案为：0或2． 15．因式分解：（a﹣b）2﹣（b+a）2＝　﹣4ab　 ． 【解答】解：原式＝（a﹣b+b+a）（a﹣b﹣b﹣a） ＝﹣4ab． 故答案为：﹣4ab． 16．（2022秋•内江期末）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式A＝a2+a，请结合你所学知识，判断下列说法：①当a＝﹣2时，A＝2；②无论a取任何实数，不等式恒成立；③若A﹣1＝0，则；正确的有 　①②　 ． 【解答】解：当a＝﹣2时，A＝a2+a＝4﹣2＝2， ∴①符合题意； ∵， ∴②符合题意； ∵A﹣1＝0， ∴a2+a﹣1＝0， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③不符合题意． 故答案为：①②． 17．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如3＝22﹣12，7＝42﹣32，16＝52﹣32，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 　2701　 ． 【解答】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． 设两个数分别为k+1，k﹣1，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，k＝2时，4k＝8， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2， ∴4k+2＝2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）①， ∵m+n和m﹣n这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵（2024﹣1）÷3＝674……1， ∴第2024个智慧数在1+674+1＝676（组），并且是第1个数，即675×4+1＝2701． 故答案为：2701． 三．解答题（共7小题） 18．多项式（a﹣1）2+2a（a﹣1）分解因式后求值，其中a＝2． 【解答】解：（a﹣1）2+2a（a﹣1） ＝（a﹣1）（a﹣1+2a） ＝（a﹣1）（3a﹣1）， 当a＝2时，原式＝（2﹣1）×（3×2﹣1） ＝1×5 ＝5． 19．（2021•汨罗市校级开学）分解因式：25（a+b）2﹣4（a﹣b）2． 【解答】解：原式＝[5（a+b）]2﹣[2（a﹣b）]2 ＝[5（a+b）+2（a﹣b）][5（a+b）﹣2（a﹣b）] ＝（5a+5b+2a﹣2b）（5a+5b﹣2a+2b） ＝（7a+3b）（3a+7b）． 20．（2023秋•东胜区校级期中）已知x2+mx+1是一个完全平方式，m＝　±2　 ． 【解答】解：∵x2+mx+1是一个完全平方式， ∴m＝±2， 故答案为：±2． 21．（2023•衡水模拟）【发现】两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【验证】232﹣212的结果是8的几倍？ 【证明】论证两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的2倍； 【延伸】两个连续偶数2m+2与2m（m为整数）的平方差是8的倍数吗？如果是，说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果为8的倍数，求k的最小值． 【解答】解：【验证】：232﹣212 ＝（23+21）（23﹣21） ＝44×2 ＝88 ＝8×11， ∴232﹣212的结果是8的11倍． 【证明】：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1） ＝4n×2 ＝8n， 2n+1+2n﹣1＝4n， 8n＝2×4n， ∴2n+1与2n﹣1的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的2倍． 【延伸】：不是8的倍数， （2m+2）2﹣（2m）2 ＝（2m+2+2m）（2m+2﹣2m） ＝（4m+2）•2 ＝8m+4， ∴不是8的倍数， 8m+4+k ＝8（m）， 当4+k＝1×8时，k最小， ∴k＝4， k的最小值是4． 22．若关于x的二次三项式3x2+mx﹣n分解因式的结果为（3x+2）（x﹣1），求m，n的值． 【解答】解：根据题意得：3x2+mx﹣n＝（3x+2）（x﹣1）＝3x2﹣x﹣2， 则m＝﹣1，n＝2． 23．（2024秋•澄海区期末）先阅读，再解决问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法． 例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）． （1）分解因式：ab﹣2a﹣2b+4； （2）若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 【解答】解：（1）ab﹣2a﹣2b+4 ＝（ab﹣2a）﹣（2b﹣4） ＝a（b﹣2）﹣2（b﹣2） ＝（b﹣2）（a﹣2）； （2）∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． 24．（2023春•凤翔县期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a4+b2c2＝b4+a2c2，试判断ABC的形状，阅读下面解题过程： 解：由a4b2c2＝b4+a2c2得： a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2① （a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2） ② 即a2+b2＝c2③ ∴△ABC为Rt△．④ （1）试问：以上解题过程是否正确：　错误　 ． （2）若不正确，请指出错在哪步？（填代号）　③　 ． （3）本题的结论应为 　直角三角形或等腰三角形　 ． 【解答】解：（1）由题意知，解答过程错误， 故答案为：错误； （2）∵（a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2） ② ∴a2+b2＝c2或a2﹣b2＝0， 故③错误， 故答案为：③； （3）∵（a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2） ② ∴a2+b2＝c2或a2﹣b2＝0， ∴△ABC为直角三角形或等腰三角形， 故答案为：直角三角形或等腰三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/18 8:23:55；用户：白智琳；邮箱：15529206098；学号：30745913 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$