2025年中考数学考前高频考点冲关练习：全等三角形的判定与性质

2025年中考数学考前高频考点冲关练习： 全等三角形的判定与性质 1．如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 2．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； (3)如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 4．如图： (1)【特例感知】 如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则 ． (2)【类比迁移】 如图2，将绕点A逆时针旋转得到，且满足点B，C，E三点共线．若，请猜想之间具有怎样的数量关系？并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点A为公园入口，点B、点C是公园出口，入口A与出口B，C的距离相等，且满足，点D为公园中的观景点，若米，米，计划修建一条观赏栈道，要使得栈道尽可能地长，求四边形的面积． 5．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 6．问题背景 如图1，在中，，，，点、分别是边、上的动点，过点作的垂线，垂足为，连接，．设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为 初步运用 （1）当时， ； 思维探究 （2）若与全等，则 ； 思维拓展 （3）如图2，以，为邻边作，当时，是否存在，使得的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 7．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图，在等腰三角形中，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的延长线上时，连接，若，交于点，，求的长； (2)如图，当点在的延长线上时，连接，若，在的右侧有一点，连接和，若，且，若为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，点在的角平分线上运动（不与点重合），取中点，以为边向左边作等边三角形，连接，，设，当在直线上方时，请用含的式子表示的度数． 9．已知：如图，正方形中是延长线上一点，连接，点在延长线上，且，将绕点顺时针旋转得到，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，，延长交于点． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，请直接写出的长． 10．如图，点在等边内部，，点是折线上的点（不含点C），在右上方，作． (1)如图1，当时，判断与的位置关系，并加以证明； (2)若，当点在上时，如图2，求的长； (3)如图3，点在上时，求直线相交所夹的锐角的度数； (4)若，当点从点运动到中点的过程中，直接写出点移动的距离． 11．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 12．在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 13．如图，在三角形中，于点，，． (1)求证：； (2)若平分，平分交于点，求的度数． 14．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当______时，将的面积分成相等的两部分，此时______； (2)若点不与的顶点重合，问为何值时，点在的角平分线上？ (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当直线把的周长分成相等的两部分时，请直接写出此时的值． 15．如图，在中，，点D是边上一点，点E是线段上一点． (1)如图1，若，且，且，求的长． (2)如图2，若，，点E是的中点，连接，点F是线段上一点且，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若平分，平分，于点F，的面积为4，，直接写出的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学考前高频考点冲关练习：全等三角形的判定与性质》参考答案 1．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 2．(1)见解析 (2)4 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰三角形的性质及应用，旋转变换，全等三角形的性质等知识， （1）由，，可得，由旋转的性质可得，由角平线的定义得，故； （2）设，有，从而，又，得，故，即得； 设，同的方法可得； （3）由全等三角形的性质得，，可得，设，即可得，由，，根据，，得，可得，故，解得． 【详解】（1）解：，， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， 平分， ， ， 的度数是； （2）解：设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 即； （3）解：∵， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 4．(1)6 (2)，见解析 (3)四边形的面积为 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，把握旋转的不变性，正确构造辅助线是解题的关键． （1）根据旋转得到，，然后证明为等边三角形，根据全等三角形的性质得到点共线，再由即可求解； （2）由旋转得，，，则，导角可得，是等腰直角三角形，那么，则； （3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，由于，故当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值，可得（米)，则（米)，米，同理可得，导角得到是等腰直角三角形，，由勾股定理得，求出米，再由即可求解． 【详解】（1）解：由旋转得，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴点共线， ∴； （2）解：，理由如下： 设与相交于点F， 由旋转得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， ∵， ∴当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值， 由旋转得：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴（米)， ∴（米)， ∴米， 设与相交于点F，作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴米， ， ， ∴，因此，当最大时，四边形的面积为． 5．(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据直角三角形的全等，分类解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴, 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）解：当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 6．（1）；（2）或；（3）存在，y 【分析】（1）由勾股定理得证得代入计算即可； （2）根据全等三角形的性质分类讨论，①；此时与重合，此时；②，四边形是平行四边形，则，证明，根据相似三角形的性质得出比例式，进而得出的值； （2）①落在上，作，四边形是矩形，知，由在中、、可得 ②落在上，作于点，同上知 在中证得据此求解即可． 【详解】解：（1），， ， 则， ， ， ， ， ，即， 解得， 故答案为：． （2）①，此时， 如图1， 此时与重合，此时； ②，此时， 如图， 四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ 设，则、， 则，， ∴， 解得， ， ， 故答案为：或； （3）①如图，落在上，过作于点， 则四边形是矩形，则， 在中，、、， 则； ②如图，落在上，过作于点，同上， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 8．(1)； (2)，理由见解析； (3)当点在上方时，；当点在与之间时，． 【分析】（1）证即可得解； （2）见中点构造倍长中线，延长至点，使得，连接，，易证，再证，得到是等边三角形，即可得解； （3）分类讨论，当点在上方时，当点在与之间时，当点在下方时，由题易知是等边三角形，在下方作等边，连接，易证，从而得到垂直平分，即可得解． 【详解】（1）解：在 中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：∵，，点M在的角平分线上 ∴是等边三角形， ∴， 当点在上方时，如图，在下方作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在与之间时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 综上，当点在上方时，；当点在与之间时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．(1)见解析； (2)四边形是菱形，见解析； (3)． 【分析】（）由题意，得，，则有，又，故有，通过等腰三角形性质，同角的余角相等可得，再结合正方形性质即可求证； （）由（）得，则有，证明四边形为平行四边形，然后通过菱形的判定方法即可求解； （）设与交于点，证明，则，故有，然后证明为等腰直角三角形，所以，设，则，又，，得到，在中，，即，解得，（负数不合题意，舍去），故有，然后通过勾股定理，以及线段和差即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ，   ∴； （2）解：四边形是菱形，理由： 由（）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：设与交于点，如图， 由（）知， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负数不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．(1)平行，证明见解析 (2) (3) (4)1 【分析】（1）由题意易得，当时，，可得，由内错角相等两直线平行可证； （2）设，则，当点在上时，，由含角的直角三角形可得，再根据勾股定理可得，解方程即可得的长； （3）分别延长交于点，易求，，进而可求，即为所求； （4）由题意，当点在上运动时，点的运动轨迹是直线，当点与点重合时，，易求，进而可得是等边三角形，根据勾股定理可求，当点是中点时，由相似比可得，此时，进而可得移动的距离． 【详解】（1）解：与的位置关系为平行，证明如下： ， ， ，即， 当时，， 即， ， ． （2）解：设，则， 当点在上时，， ， 又，， ，解得， ． （3）解：如图5，分别延长交于点， ， ， ，即为所求． （4）解：由题意，当点在上运动时，点的运动轨迹是直线， 如图，当点与点重合时，， 又∵， ∴， ，， 连接，由（3）得， ∴， ∴是等边三角形， 又， 又， ，此时， 当点是中点时， ∵， 可得， ，此时， ∴点移动的距离为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的判定，勾股定理，含角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 11．(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 13．(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质以及角平分线的定义，正确运用相关知识进行推理是解答本题的关键． （1）由得出，得出，进而得出，可证明，结合可得结论； （2）根据平分线的定义得出，，根据平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； ； （2）解：，平分， ，即， ， 平分， ， ， ， ． 14．(1)2，； (2)或或 (3)2或6 【分析】（1）勾股定理求出的长，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到当为的中线时，将的面积分成相等的两部分，进而得到，根据时间等于路程除以速度求出，勾股定理求出即可； （2）分平分，平分和平分三种情况进行讨论求解即可； （3）分两种情况讨论：当点在上，在上，当点在上，在上，分别画出图形，列出方程，求得t的值即可． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，将的面积分成相等的两部分， ∴， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，； （2）当平分时，如图，作，则：， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 当平分时，作，如图：则：， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴； 当平分时，作，则：， 同法可得：， ∴， ∴； 综上：或或． （3）解：如图6，当点在上，在上，    则， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， ； 如图7，当点在上，在上，    则，， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了三角形的中线平分面积、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算，正方形的判定和性质等知识的综合应用，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论进行求解是解决问题的关键． 15．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）若，则，结合，得出，，如图1，过点作于，则，，得出，根据，解直角三角形求出，根据，求出，即可求出，勾股定理求出，即可求解． （2）如图，连接，延长至，使，连接，根据，得出，结合，得出证明是等边三角形，得出，，，证明，得出，即可得，证出，，即可证明，即可证出； （3）过点作于点于点，连接，利用角平分线性质得出，再利用，得出，可知当最小时，最大，过点作于点，利用，可得，点轨迹为到直线距离为的定直线，即，且距离为，过点作直线的对称点，连接，当依次共线时，取最小值，此时，证明，证明共线，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：若，则， ∵， ， ， 如图1，过点作于，则， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点作于点于点，连接， ∵平分平分， ， ， ∵的面积为， ， 则当最小时，最大， 即当最小时，最大， 过点作于点， 则， 即， 解得：， 点轨迹为到直线距离为的定直线，即，且距离为，如图3， 过点作直线的对称点，连接， 则， 利用两点之间线段最短，知，当且仅当依次共线时，取最小值，即当依次共线时，最小值为， 当依次共线时，如图4， ， ， 又， ， ， 平分平分， 平分， ， 又， ∴共线， 即是与l的距离， ， ， ， ， 得， 解得：． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，二次根式，角平分线的性质，勾股定理，将军饮马问题，熟练掌握这些性质和定理，并会利用中点构造全等，利用动点找轨迹，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$