精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2025届高三三模数学试题

湖南省长沙市雅礼中学2025届模拟试卷（三）数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求集合A，再根据指数函数性质求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，即可求出，即可求解． 【详解】设， 则， 则． 故选：D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得的坐标，由即可得的值，结合充分必要条件判断即可. 【详解】因为向量，，则， 若，则，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最小值为. 故选：C. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D 6. 已知圆，圆，过动点P分别作圆圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的等式，利用切线的性质以及两点距离公式，可得答案. 【详解】 由，得．易知， 因为两圆的半径均为1，则． 设，且， 则，即． 所以点的轨迹方程为． 故选：D. 7. 如图，从正六边形的顶点和该正六边形的中心这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合古典概型和对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 即、、或、、或、、， 其中能构成的等边三角形的有：、、、、、 、、，共个， 因此，构成的三角形不是等边三角形的概率是. 故选：B. 8. 三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，所以O必在上，在中求得，在中得，由勾股定理计算得球半径，从而得球面积． 【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点， 又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上， 因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，， 因为平面，与平面所成的角为， 则，从而， 设球O的半径为R，在中，，则，解得， 所以球O的表面积为. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知正项等比数列的公比，将的前9项按照从小到大的顺序排列组成一组数据，则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的分位数为 B. 该组数据的中位数小于其平均数 C. 若去掉，所得新数据的中位数与原中位数相等 D. 若，则，，…，的方差是，，…，的方差的9倍 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解A，根据等比数列的性质，结合基本不等式即可求解BC，根据方差的性质即可求解D. 【详解】由题意可知，故为单调递减数列， 对于A，，故数据的分位数为从小到大的第三个数，A错误； 对于B，该组数据的中位数为，由于，因此，故平均数，B正确； 对于C， 若去掉，所得新数据的中位数为，而原中位数为，两者不相等，C错误； 对于D， ，则，，…，的方差是，，…，的方差的9倍，D正确. 故选：BD. 10. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 11. 已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（ ） A. 恒过的焦点 B. ，的横坐标之积为定值4 C. ，距离的最大值为6 D. 直线的斜率恒为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AC，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而根据求解可得的方程为，的方程为即可判断；对B，根据韦达定理结合求解即可；对D，根据中点坐标求解的坐标即可判断. 【详解】对AC，设直线的方程为， 的方程为， ，，，， 联立，得， 所以，，， 所以， 解得或， 所以的方程为或， 同理可得的方程为或， 又，所以的方程为，的方程为， 所以恒过焦点，恒过点（6，0），且，距离的最大值为，A项正确，C项错误； 对B，，B项正确； 对D，由题得，同理得， 所以，D项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则这个圆台的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意计算母线长，再利用圆台的侧面积公式计算得到答案. 【详解】因为圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4，它的侧面展开图扇环的圆心角为， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，如图，由题意可得： ，解得， 所以圆台的侧面积, 故答案为：. 13. 已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用余弦的二倍角公式函数的解析式，由的取值范围可得的取值范围， 再利用余弦函数的图象可得关于的不等式，由此即可解得的取值范围. 【详解】由二倍角的余弦公式可得，因为，所以， 又函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点， 即区间内恰好取得2次最大值和1次最小值，由余弦函数的图象可知， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可得当时函数有2个零点，进而方程有2个正解，利用导数的几何意义求出直线与函数图象相切时k的值，根据数形结合的思想即可求解. 【详解】设，则，所以函数为偶函数， 又，则，所以当时，有两个零点， 且当时，，则， 令，令， 则，所以函数在上单调递增. 下面讨论直线与函数图象相切的情况， 设切点为（）， 则曲线在处的切线方程为，即， 有，解得， 由图可知，当时，直线与函数图象在上有2个交点， 即函数在上有2个零点，所以实数k得取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键，是根据函数的奇偶性确定其在在上有2个零点，结合数形结合的思想从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点. （1）求证：平面GED； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：取DE的中点M，连接OM，GM， 在△BDE中，，. 又因为G为CF的中点，所以，， 所以，. 所以四边形为平行四边形，所以， 又面，面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，得出，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABED，所以，， 又因为，所以四边形ABED为菱形，所以， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CE , 于是，，， ，， 设平面BCE的一个法向量为， 则即 不妨令，则，，取. 又为平面ACE的一个法向量， 设二面角A－CE－B平面角的大小为θ，显然θ为锐角， 于是， 故二面角A－CE－B的余弦值为. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）设为椭圆的左、右顶点，过的右焦点作直线交椭圆于，两点，分别记的面积为，求的最大值. 【答案】（1）；（2）4. 【解析】 【分析】 （1）根据题意建立方程组，解得，可得椭圆的标准方程； （2）由（1）知，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况分别求得，再由基本不等式可求得最大值. 【详解】（1）根据题意可得：，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，，于是， 当直线的斜率存在时，设直线，设 联立，得， ， 于是 ，当且仅当时等号成立， 此时的最大值为. 综上，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查求直线与椭圆的位置之面积的最值问题，解题关键是直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，然后表示出，再由基本不等式求得最值，属于中档题． 17. 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）． （1）求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示； （2）求证：为等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率． 【答案】（1）；； ；, （2） 证明：由（1）可得且， ∴数列为等比数列，且公比为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接求得、、，然后讨论棋子跳到第站，所包括两种情形，可得出关于和的表达式； （2）计算得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （3）求得，利用累加法可求得，即可得解． 【小问1详解】 棋子开始在第站是必然事件，∴， 棋子跳到第站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点， 其概率为，∴； 棋子跳到第站，包括两种情形， ①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为； ②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为， ∴； 棋子跳到第站，包括两种情形， ①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为； ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为， 故， 棋子跳到站只有一种情况， 棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为，∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知， ∴ ． ∴玩该游戏获胜的概率为． 18. 已知的角所对应的边为，，. （1）若，求； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，求证：. 【答案】（1） （2）； （3）因，则， 则，即， 故， 即， 因为，故为钝角，令，， 令， 由， 故在上单调递减， 有，，所以， 因，则 由可得， 则，从而，则. 又，则， 所以，即 又，则， 综上： 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，得到，由同角三角函数关系求出； （2）再由的等式推出，结合三角形内角和得到； （3）通过三角函数公式化简得到关于的方程，构造函数利用单调性确定范围，进而得到、范围.最后根据角的大小关系比较边的大小，得出. 【小问1详解】 由和正弦定理知， 又，则，又， 因，解得； 【小问2详解】 由得， ， 即， 由，，即， 则或， 当时，，与题目中的矛盾，舍去， 故，又，故， 即； 【小问3详解】 略 19. 已知数列，，记集合的元素个数为. （1）若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值； （2）若为1，3，a，b，且，求和集合； （3）若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”. 【答案】（1），； （2）； （3）证明如下： 充分性：若是递增的等比数列，设的公比为， 当时，， 所以，且，故充分性成立； 必要性：若是递增数列，且，则， 于是，且互不相等，又， 则，且互不相等， 因此，， 从而，所以为等比数列，故必要性成立， 综上，“”的充要条件是“为等比数列”. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，计算出所有即可. （2）结合集合的性质，可得，解出即可. （3）根据给定的定义，分别证明命题成立的充分条件和必要条件即可. 【小问1详解】 集合，. 【小问2详解】 由为1，3，，，当之一为2时，不妨令，则互不相等， 是集合中元素，又，则，，解得，不符合题意， 则必有，得，，互不相等， 则3，，都是集合中的元素，又，则，解得，， 因此为1，3，9，27，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市雅礼中学2025届模拟试卷（三）数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，圆，过动点P分别作圆圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，从正六边形的顶点和该正六边形的中心这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知正项等比数列的公比，将的前9项按照从小到大的顺序排列组成一组数据，则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的分位数为 B. 该组数据的中位数小于其平均数 C. 若去掉，所得新数据的中位数与原中位数相等 D. 若，则，，…，的方差是，，…，的方差的9倍 10. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 11. 已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（ ） A. 恒过的焦点 B. ，的横坐标之积为定值4 C. ，距离的最大值为6 D. 直线的斜率恒为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则这个圆台的侧面积为______. 13. 已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为__________. 14. 已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点. （1）求证：平面GED； （2）若，求二面角的余弦值. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）设为椭圆的左、右顶点，过的右焦点作直线交椭圆于，两点，分别记的面积为，求的最大值. 17. 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）． （1）求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示； （2）求证：为等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率． 18. 已知的角所对应的边为，，. （1）若，求； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，求证：. 19. 已知数列，，记集合的元素个数为. （1）若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值； （2）若为1，3，a，b，且，求和集合； （3）若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $