期末阶段复习解答压轴题专题训练 2024-2025学年浙教版七年级数学下册

2024-2025学年浙教版七年级数学下册期末阶段复习解答压轴题专题训练（附答案） 1．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 2．阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1) ； (2) ． 3．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． （1）利用“热门定理”把分解因式． 热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式：． 4．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解：， 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】利用配方法解决下列问题： （1）代数式的最小值为 　 　，的最大值为 　 　． 【拓展提高】 （2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ （3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由． 5．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片（其中种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长分别为、的长方形），并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：__________； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号卡片 _____张，号卡片 _____  张，号卡片 _____张； (3)解答问题：若，，则的值为 _____； (4)根据（）中得出的等量关系，解决如下问题，已知，求的值； (5)两个正方形，如图摆放，边长分别为，．若，，则图中阴影部分面积的和为 _____． 6．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】； 【应用】计算 解：令，， 则 结合上述材料，完成下列问题： (1)证明等式：； (2)应用（1）中所证明等式，计算； (3)若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系． 7．【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 8．【阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则__________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和． 9．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 (1)例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 10．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为 ．           (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 11．阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 12．下面的框中有一道应用题，但缺了一个条件．现有两个条件： ①如果买2个篮球和6个足球共需480元； ②如果买3个篮球和4个足球共需460元； 请你任选一个条件补充在下面的横线上（填序号），并按你补充的条件解答（1）（2）两问．注意：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分． 某体育用品店售卖一批篮球和足球．如果篮球与足球各买1个共需140元；____________ （1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？ （2）营业员在月底结算时发现售卖一个篮球获得的利润是售卖一个足球获得利润的倍．该店在这个月售卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，求一个篮球和一个足球的进价各是多少元？（利润售价进价） 13．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得， 从而可得， ∴原方程组的解是． (1)请你仿照上面的解题方法解方程组； (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请大胆猜测关于的方程组 的解是什么？并用方程组的解加以验证． 14．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 15．2025年“五一”假期，我市某景区精心准备，推出了A、B、C、D四种文旅项目，吸引众多游客纷至沓来．景区为进一步优化活动项目，提升服务水平，了解游客最喜欢哪一种文旅项目，某天景区工作人员随机向来访的游客进行调查，对最喜欢的文旅项目进行了统计，将统计结果绘制成图1、图2两幅统计图（不完整），请根据图中的信息解答下列问题： (1)当天共随机调查了________名游客，图2中，________； (2)补全图1中的条形统计图； (3)在图2中的扇形统计图中，求“C”所在扇形的圆心角度数； (4)据统计，2025年“五一”假期，约有5万名游客来该景区游玩，那么根据随机调查的统计信息，估计最喜欢B项目的游客大约有多少人？ 16．书法，不仅可以让青少年认识美、发现美和感受美，而且可以让青少年培养专注力和耐心．为了解学生每周的练字情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周的练字时间（单位：），并对数据进行整理、描述和分析，以下是根据调查结果绘制的不完整的统计图表． 平均每周练字时间频数统计表 平均每周练字时间 频数 频率 4 0.1 14 10 0.25 0.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)此次调查的样本容量为______，表格中的______，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)①若该校有1600名学生，请估计平均每周练字时间在范围内的学生人数； ②为了加强练字教育，促进学生增加每周练字时间，请你站在学校的角度上，提出一条合理化建议． 17．如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 18．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．    (1)若三角板如图1摆放时，则__________，__________ (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，请画出当和时的图形，并求此时的值． 19．太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识． 情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射． （1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______． 拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由； 应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值． 20．综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为 ；如图2，，，则与之间的数量关系为 ． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 参考答案 1．（1）解：令， ∴原式 ； （2）解：令， ∴ ． 2．（1）解：， 设，则原式， ∴； （2）解：， 设，则原式 ； ∴． 3．解：（1） ； （2） ． 4．解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是； ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值是． 故答案为：，20； （2） ， ∵， ∴当，，即时，代数式取得最小值，最小值为16； 故答案为：当时，代数式取得最小值，最小值为16； （3），理由如下： 根据题意，可得， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 5．（1）解：由图知，大正方形的面积为，又可以为， ， 故答案为：； （2）解：， 种纸片的面积为，种纸片的面积为，种纸片的面积为， 需种纸片张，种纸片张，种纸片张， 故答案为：，，； （3）解：，， ， 或， 故答案为：； （4）解：设，，则，， ， ∵， ， ； （5）解：由题意和图形知，， ∴， ， ， ， ∴阴影部分的面积和为， 故答案为：． 6．（1）解： …… ∴ （2）计算 解：令，， 则 （3）解：∵ ∴ 当时， ∵ ∴ 当时， ∵， ∴ ∴ 7．解： 正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； 由可知， ， 又 ，， ， 故答案为：； 类比可得：， 故答案为：； 由可得：， ，， ， 故答案为：； 由可得：， 故答案为：． 8．解：【理解应用】解：设，， 则，， ， ， 故答案为：； 设，， 则， ， ， ， ， ， 解得：， ； 【拓展应用】解：，，， ，， ， ， ， 设，， 则，， ． 9．解：（1）∵， ∴． 故答案为：> （2）， ， ， ， ， ， ． （3）小王的平均单价为： ， 设油箱的容积为V，则小张的平均单价为：， 则 ． ， ， ， ∴小王的加油方式平均单价更低． 10．（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 11．解：（1）∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵取倒数得：， ∴． （2）∵，知， ， 即． ∴， ∴． 12．解：选择条件① 解：（1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元， 依题意得：， 解得． 答：一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是50元． （2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元， ∴ ∴， 即设卖一个足球获得利润为8元，卖一个篮球获得的利润为元， ∴一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 答：一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 选择条件② 解：（1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元， 依题意得：， 解得． 答：一个篮球的售价是100元，一个足球的售价是40元． （2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元， ∴ ∴， 即设卖一个足球获得利润为8元，卖一个篮球获得的利润为元， 解得 ∴一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 答：一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 13．（1）解： ，得， ， 得， 得， 把代入②得， 解得：， 方程组的解是； （2）解：； 得，即③， 得， 得， 把代入③得， 解得， 原方程组的解是； （3）解：猜测方程组的解是， 检验：把代入方程得左边，右边，左边＝右边， 把代入方程，得左边，右边，左边＝右边， 是关于的方程组 的解． 14．（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 15．（1）解：名， ∴当天共随机调查了1000名游客； ∴， ∴； （2）解：B文旅项目的人数为名， 补全统计图如下所示： （3）解：， ∴“C”所在扇形的圆心角度数； （4）解：人， ∴估计最喜欢B项目的游客大约有17500人。 16．（1）解：样本容量：； ； ， 故答案为：； （2）补全直方图如图： （3）①（人）； 答：平均每周练字时间在范围内的学生人数约为720人； ②落实书法课的开展，将书法练习常态化，从而提高书法练习的时间（答案不唯一，合理即可） 17．（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，的度数为或或． 18．（1）解：过E作，如图1，   ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15；150． （2）利用（1）可证，， ， ， ， ， ， 分别平分和， ， ． （3）当时，如图2，      延长，交于点J， ， ， ， ， ， 过点A作，则， ， ， ， ， ； 当时，如图3，   ， ， ， ， ， 综上所述，当时，，当时，． 19．解：（1）如图 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，延长交于点，延长交于点， 则，， ， ， ， ， 即， ； （3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒， ∴射线最多运动到， 当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点， ∵， ∴， 与互相垂直时， ， ， 解得， ②如图所示，当射线返回时， ， ， 解得； ③当回到时，刚好垂直， ， 综上所述，，，时，与互相垂直． 20．解：（1）∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）延长，交于点， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴．      学科网（北京）股份有限公司 $$