第03讲 全等三角形的性质与判定（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版）

第03讲 全等三角形的性质与判定（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形的全等 典型例题二 将已知图形分割成几个全等图形 典型例题三 全等三角形的性质 典型例题四 用SSS证明三角形全等 典型例题五 用SAS证明三角形全等 典型例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等 典型例题七 添加条件使三角形全等 典型例题八 灵活选用判定方法证全等 典型例题九 旋转模型 典型例题十 垂线模型 典型例题十一 倍长中线模型 典型例题十二 利用全等三角形的判定与性质求面积 典型例题十三 全等三角形中的动点问题 典型例题十四 全等三角形的综合问题 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图2 图1 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列图形中，与如图全等的是（   ） A．B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江温州·模拟预测）观察下列图形的特点： 有几组全等图形？请一一指出： ． 知识点02全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 知识点03全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 知识点04全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，要用“”判定和全等的条件（   ） A．， B．， C．， D．， 【即时训练】 2．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 【典型例题一 图形的全等】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·课堂例题）下列每组中的两个图形，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例2】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A．B．C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·课堂例题）如图，画在透明纸上的和是全等形吗？ （填“是”或“不是”），理由是 ．    【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）观察如图1，所示的各个图形，指出其中的全等图形． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）找出七巧板中（如图）全等的图形． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形． 【典型例题二 将已知图形分割成几个全等图形】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 3．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    【典型例题三 全等三角形的性质】 【例1】（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【例2】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【典型例题四 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）小明用如图所示的方法画出了与全等的，他的具体画法是：①画射线，在射线上截取；②以点D为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点F；③连接．这样就是所要画的三角形，小明这样画图的依据是全等三角形判断方法中的 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，点B，E，C，F在直线l上（E，C之间不能直接测量），点A，D在l同侧，测得．求证：． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出 个． 3．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 【典型例题五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是 （填序号）． 【例4】（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【典型例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）． 【例4】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，，点在线段上运动（点不与点B，C重合），连接，作，交线段于点．若，求证：． 1．（2025·浙江·模拟预测）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 2．（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量怀仁塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案 如图，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点，，在一条直线上，测出的长 ， ， 方案 如图，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出，两点之间的距离 ， ， 请你选择上述两种方案中的一种，计算怀仁塔底座的直径． 【典型例题七 添加条件使三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，点在的内部，点分别在上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（   ） A． B．平分 C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，点在边上，与边交于点，，，添加下列条件能判断的是（） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件： ，使得．（只添一种情况即可） 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，．给出下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为 ，你判定的依据是 (填“”或“”或“”或“”)； (2)请用（1）中所选条件证明． 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，点在线段上，，，使，还需添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，请你添加一个条件，使得，并说明理由． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、之间的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．    (1)画出测量示意图； (2)写出测量的数据，线段长度用、、表示，角度用、、表示；(不要求写出测量过程) (3)根据你测量的数据，计算A、之间的距离．(用含、、或、、的式子表示) 【典型例题八 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小东同学想到这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知内径的长度．此方案中，判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，将其中的第 块带去玻璃店，就能配出一块与原来形状大小一样的三角形． 【例4】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，请添加一个条件，使△ABC≌△ADE，并加以证明． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)写出证明过程． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，的两条高、交于点，已知，，则的面积为 ． 3．（2025八年级上·浙江·专题练习）一个小正方形，外面有4个全等的长方形，拼成一个大正方形．问：可以得到什么结论？ 4．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）（1）如图，、、三点共线，，． 求证：； （2）如图，在中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接， 求的面积； （3）在中，，，点在上，且，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要是点恰好落在射线上，求点运动的时间． 【典型例题九 旋转模型】 【例1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（    ）    A． B． C．2 D． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝ °． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，那么等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 3．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图（1），，将和的顶点B与顶点E重合，把绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O． （1）当旋转至如图（2）位置，点，C，D在同一直线上时，与的数量关系是________． （2）当继续旋转至如图（3）位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________. 【典型例题十 垂线模型】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为    【例3】（2025八年级·浙江温州·专题练习）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：． 【例4】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）（1）如图，，．求证：． （2）如图，，．求证：． 4．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【典型例题十一 倍长中线模型】 【例1】（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．    3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）问题提出： 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究： （1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决： （2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【典型例题十二 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则PBC的面积是 cm2． 【例3】（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中画出一个与全等的． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）有以下条件：①平分；②；③．选择其中一个补充在下面的问题中，并解答． 问题：如图，在中，D是边上一点，分别是和的高，交于点，若_________（填序号）． (1)试说明：； (2)若，求的面积． 1．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，三角形的面积为，平分，，则三角形的面积是 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）（1）如图①，已知：中，，直线m经过点A，于D，于E，猜想：_______； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问第一问猜想是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【典型例题十三 全等三角形中的动点问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9                            【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为秒，当的值为 时，△≌△． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，中为直角，过边中点D作交于点E，P是直线上的一动点，若，，则周长的最小值是 ． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若与全等，点与点为对应点，求的长． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）已知点D是等边三角形的边上的一动点（且不与点A、点C重合），连接，以为边在直线的下方作等边． (1)当点D是的中点时，求证：平分； (2)连接，求证：． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【典型例题十四 全等三角形的综合问题】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知，点是边上一点，根据尺规作图的痕迹，能确定线段是的（   ） A．中线 B．中垂线 C．角平分线 D．高线 【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有 ．（请填写序号） 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知线段于点，射线于点从点向运动，每秒走点从点向运动，每秒走同时从出发，则出发 秒后，在线段上有一点，使与全等． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）求证：全等三角形对应边上的中线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程） （1）要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是： ， 结论是： ． （2）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示．    （3）结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，① ，线段分别是边上的中线． 求证：② ． 证明：… 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图①，，，点C是上一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； (3)图②中，若，，求四边形的面积． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长，即为池塘两端的距离． 乙同学：如图2，①确定射线，过点作直线； ②在直线上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交射线于点； ④测量的长，即为池塘两端的距离． (1)试说明甲同学的方案可行的理由； (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，那么添加下列选项中的条件后，仍然不能判定出的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 5．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，点、、在同一直线上，在等腰中有，在等腰中有，连接和，且交于点，交于点，连接，延长至点使得，连接，交于点，交于点，且有，以下的结论中：①；②；③；④平分．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，若，，则 ． 7．（2025八年级·浙江温州·模拟预测）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 8．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米． 9．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）（）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是 ． （）如图所示，点，，，在同一条直线上，当 ， ， 时，，所依据的数学公理是 ． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 11．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 12．（2025·浙江·模拟预测）如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 13．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的岸边点处，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直行处有一棵树，继续前行到达点处； ③从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处时，停止行走； ④测得的长为； (1)和全等吗？请说明理由． (2)请直接写出河的宽度为___________． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 全等三角形的性质与判定（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形的全等 典型例题二 将已知图形分割成几个全等图形 典型例题三 全等三角形的性质 典型例题四 用SSS证明三角形全等 典型例题五 用SAS证明三角形全等 典型例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等 典型例题七 添加条件使三角形全等 典型例题八 灵活选用判定方法证全等 典型例题九 旋转模型 典型例题十 垂线模型 典型例题十一 倍长中线模型 典型例题十二 利用全等三角形的判定与性质求面积 典型例题十三 全等三角形中的动点问题 典型例题十四 全等三角形的综合问题 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图2 图1 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列图形中，与如图全等的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等图形的概念等知识点，认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A．与已知图形能完全重合，故此选项合题意； B．五边形中黑白点颜色与已知图形不一致，故此选项不符合题意； C．五边形中两个白点位置与已知图形不一致，故此选项不符合题意； D．五边形中黑白点颜色与已知图形不一致，故此选项不符合题意； 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江温州·模拟预测）观察下列图形的特点： 有几组全等图形？请一一指出： ． 【答案】1与6；2与12；3与5与11；4与9；7与10 【分析】根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：根据全等图形可得：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10； 故答案为1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10 【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键． 知识点02全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【答案】66 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 知识点03全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积等于， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为t，由题意知，， 与全等，， ∴分两种情况求解： ①当时，，即，解得； ②当时，，即, 解得， ，即6， 解得； 综上所述，x的值是1或， 故答案为：1或． 知识点04全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，要用“”判定和全等的条件（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：A. ∵，，， ∴， ∴不能运用“”判定和，故此选项不符合题意； B. 能运用“”判定和，故此选项符合题意； C. ∵，， ∴， ∴不能运用“”判定和，故此选项不符合题意； D. ∵，，， ∴， ∴不能运用“”判定和，故此选项不符合题意； 故选：B． 【即时训练】 2．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据三角形全等的判定定理，结合已知条件分析补充条件，逐项判断即可． 【详解】解:A．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； B．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； C．，则，即，结合，，用“”可判定，故本选项符合题意； D．，这是同一个角，无法补充有效条件判定全等，故本选项不符合题意； 故选：C． 【典型例题一 图形的全等】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·课堂例题）下列每组中的两个图形，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据全等三角形的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、两图形能够完全重合，是全等形，符合题意； B、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意； C、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意； D、两图形大小不相同，形状也不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，熟练掌握此定义是解题的关键． 【例2】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断． 【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180°，即可与选项B中的图形重合， 将选项B中的图形顺时针旋转90°，即可得到选项D中的图形， 故A、B、D中的三个图形全等， 分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等的概念是解本题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·课堂例题）如图，画在透明纸上的和是全等形吗？ （填“是”或“不是”），理由是 ．    【答案】 是 把和放在一起能够完全重合 【分析】根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：根据题意可知和是全等形；理由是能把和放在一起能够完全重合； 故答案为是，把和放在一起能够完全重合． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）观察如图1，所示的各个图形，指出其中的全等图形． 【答案】见解析 【分析】如果两个图形能够完全重合，则两个图形全等． 【详解】解：①和⑥，②和⑤，③和⑧分别为全等的图形． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）找出七巧板中（如图）全等的图形． 【答案】见详解 【分析】本题考查的是全等形的概念；熟练掌握七巧板中各图形的特点是解答本题的关键． 能够完全重合的两个图形叫做全等形，做题时认真观察图形，根据是否重合去判断． 【详解】解：由图知：与与与， 四边形与四边形， 四边形与四边形是全等的图形． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形． 【答案】见解析 【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：红色分割线即为所求． 【点睛】此题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键， 考点：作图—应用与设计作图． 【典型例题二 将已知图形分割成几个全等图形】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 【例2】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 【答案】6 【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边. 【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6. 【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单. 3．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示： 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    【答案】见解析 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【详解】解：如图所示，（答案不唯一）    【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形． 【典型例题三 全等三角形的性质】 【例1】（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的性质得出，，然后结合已知，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵， ∴， 故选∶D． 【例2】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分和两种情况分别计算． 首先根据题意得到，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则有，即， 解得， 当时，则，即， 解得， 故答案为：1或3． 【例4】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积等于， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据直角三角形的全等，分类解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴, 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）解：当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【典型例题四 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据作图可得，，再根据，利用得到即可得到结论． 【详解】解：根据作图，可得，， 又∵， ， ∴， ∴是的角平分线； 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由三边相等得，即由判定三角形全等． 【详解】解：根据题意，， 又，为公共边， ， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）小明用如图所示的方法画出了与全等的，他的具体画法是：①画射线，在射线上截取；②以点D为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点F；③连接．这样就是所要画的三角形，小明这样画图的依据是全等三角形判断方法中的 ． 【答案】/边边边 【分析】根据作图可得，进而根据，证明，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴ 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，点B，E，C，F在直线l上（E，C之间不能直接测量），点A，D在l同侧，测得．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定．先证明，再根据即可证明． 【详解】证明：， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据即可证明，可得； 【详解】解：在和中， ， ， ； 故选：A 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出 个． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法：三边分别对应相等的两个三角形全等，再依次确定第三个顶点即可． 【详解】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个． 故答案为：5． 3．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)27 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2）解：∵平分，， ∴的高等于， ∵， ∴． 【典型例题五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要全等三角形的判定，由O是的中点，可得，再有对顶角相等，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据判断三角形全等即可． 【详解】解：已知， 由作图可知，， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：根据可以得到与①全等的三角形是②；③④中的角不是两边的夹角，与①不全等； 故答案为：②． 【例4】（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先证出，再利用定理即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【详解】解：如图， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法并运用分类讨论思想是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)是，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明即可； （2）利用证明，即可； （3）证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； （3）是，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)① ② ③ ④ (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； （1）利用、判定定理即可得以证明； （2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，再利用三角形判定定理证明即可解答． 【详解】（1）解：， ， ①， D、分别为BC、中点， ②，③， ， ，， ④； ① ② ③ ④． （2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， 【典型例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题词关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、． 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，．根据三角形全等的判定方法进行解答即可． 【详解】解：①中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ②中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ③中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形； 综上分析可知，①和②可以， 故答案为：①②． 【例4】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，，点在线段上运动（点不与点B，C重合），连接，作，交线段于点．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后证明即可． 【详解】证明：，，， ． 在和中， ． 1．（2025·浙江·模拟预测）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定的条件． 方案一：由题意可知，是对应边，，进而求得，由判定两个小三角形全等，方案一：√； 方案二：由题意可知，，进而求得，所以其对应边应该是和，而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等，方案二：×；即可得解． 【详解】解：方案一：如图1所示，   ，，， ， 是对应边，由判定两个小三角形全等， 故方案一：√； 方案二：如图2所示，   ，，， ，所以其对应边应该是和， 而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等， 故方案二：×； 综上所述，方案一：√、方案二：×． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 【答案】③ 【分析】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法，灵活运用常见的全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据三角形全等的判定方法即可解答． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由题得，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论． 【详解】证明：， ． ． ， ． 平分， ． ． 在和中，， ． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量怀仁塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案 如图，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点，，在一条直线上，测出的长 ， ， 方案 如图，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出，两点之间的距离 ， ， 请你选择上述两种方案中的一种，计算怀仁塔底座的直径． 【答案】怀仁塔底座的直径为． 【分析】本题考查全等三角形的应用，平行线的性质，选择方案：根据平行线的性质，得 ，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键． 【详解】解：选择方案：∵， ∴ ， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴怀仁塔底座的直径为； 选择方案：在和 中， ， ∴， ∴， ∴怀仁塔底座的直径为． 【典型例题七 添加条件使三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，点在的内部，点分别在上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定定理，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：，， A．若添加，则满足，所以和全等，故该选项不符合题意； B．若添加平分，即，则满足，所以和全等，故该选项不符合题意； C．若添加，满足，不能证明和全等，故该选项符合题意； D．若添加，满足直角三角形全等的，能证明和全等，故该选项不符合题意， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，点在边上，与边交于点，，，添加下列条件能判断的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．由全等三角形大的判定方法，即可判断． 【详解】解：A．和不是两三角形的边，添加不能判定，故A不符合题意； B．不是的角，和不是对应角，添加不能判定，故B不符合题意； C．和分别是和的对角，不能判定，故C不符合题意； D．由得到，由判定，故D符合题意． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件： ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】， ，． 添加条件，可以使得，可得； 添加条件，可以使得，可得． 故答案为或（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，．给出下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为 ，你判定的依据是 (填“”或“”或“”或“”)； (2)请用（1）中所选条件证明． 【答案】(1)②，或③， (2)见解析 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）已知一边一角相等，可以利用，或证明三角形全等，添加条件即可； （2）根据全等三角形的判定方法进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，利用可以证明； 当时，利用可以证明； 故答案为：②，或③，； （2）当选择②时：在和中， ， ∴； 当选择③时：在和中， ， ∴ 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，点在线段上，，，使，还需添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定， A.由不能判断三角形全等，即可判断； B.由不能判断三角形全等，即可判断； C.由即可判断； D.由不能判断三角形全等，即可判断； 掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， A.，，不能判断，故不符合题意； B.， ， ，，，不能判断，故不符合题意； C. ， ， ，，， ()，故符合题意； D.， ，，，不能判断，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、． 【详解】解：①、由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②、由，推出，由判定，故②符合题意； ③、，，，由判定，故③符合题意； ④、增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，请你添加一个条件，使得，并说明理由． 【答案】添加条件或（任选一个即可），理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，可添加条件或，利用全等三角形的判定方法或即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加条件． 理由如下：∵， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴ 添加条件． ∵， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、之间的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．    (1)画出测量示意图； (2)写出测量的数据，线段长度用、、表示，角度用、、表示；(不要求写出测量过程) (3)根据你测量的数据，计算A、之间的距离．(用含、、或、、的式子表示) 【答案】(1)见解析 (2)的长度为 (3)、之间的距离为 【分析】（1）由于无法直接测得，故间接构造两个涉及边的全等三角形，如解析所示． （2）在湖岸上找可以直接到达A，的一点，构即可． （3） 利用定理，由，易证，推得，则的长度就是的长度． 【详解】（1）测量示意图如图所示；    （2）在湖岸上找可以直接到达A，的一点，连接并延长到使，连接并延长到点使，连接，则测量的长度，即为的长度为； （3）设， 由测量方案可得，， 在和中， ， ≌ ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是构造两个全等的三角形． 【典型例题八 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小东同学想到这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知内径的长度．此方案中，判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，两边和夹角对应相等的两三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：是，的中点， ，， 在和中， ， ， 判定和全等的依据是． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，将其中的第 块带去玻璃店，就能配出一块与原来形状大小一样的三角形． 【答案】4 【分析】本题考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形全等判定的条件可直接选出答案． 【详解】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：4． 【例4】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，请添加一个条件，使△ABC≌△ADE，并加以证明． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)写出证明过程． 【答案】(1)∠ACB=∠AED或AE=AC或∠D=∠B（任选一个即可）．． (2)证明见解析 【分析】由∠1=∠2，可证，然后结合已知条件，根据全等三角形判定定理AAS，SAS，ASA即可得出证明△ABC≌△ADE的条件．此题开放性较强，答案不唯一． 【详解】（1）解：添加的条件可以为：∠ACB=∠AED或AE=AC或∠D=∠B（任选一个即可）． （2）证明：∵ ∠2+∠BAE=∠BAE+∠1 ，即 又∵AB=AD， ∴添加：∠ACB=∠AED， 则△ABC≌△ADE（AAS）． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定理解和掌握．解答此题的关键是判定方法确定添加的条件． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出，，有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，， 在与中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，的两条高、交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】由题意可得，进而证明，结合已知条件证明，故 ，根据分别求出与的面积即可． 【详解】，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题关键． 3．（2025八年级上·浙江·专题练习）一个小正方形，外面有4个全等的长方形，拼成一个大正方形．问：可以得到什么结论？ 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式得到大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，利用面积相等推导出（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． 【详解】解：∵大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2， 4个全等的长方形面积和为4ab， ∴得到结论：大正方形面积减去四个长方形面积＝小正方形的面积， 即：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． 【点睛】本题考查全等图形，正方形的面积，完全平方公式的几何意义；熟练掌握正方形的面积公式是解题的关键． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）（1）如图，、、三点共线，，． 求证：； （2）如图，在中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接， 求的面积； （3）在中，，，点在上，且，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要是点恰好落在射线上，求点运动的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）8 【分析】（1）由已知条件不难证明，再结合已知条件即可证明≌． （2）将边AC绕点A逆时针旋转90°至，连接，根据旋转的性质得出对应的角度，进而证明四边形是直角梯形，用梯形的面积减去的面积即可得到的面积． （3）类比第（1）问的证明过程，不难证明≌，即可得出OB=PC，由已知分别条件求出EC、OB的长度，即可得出EP的长度，即可得出点P的运动时间． 【详解】（1）， ， ， 在与中， ≌． （2）如图，将边AC绕点A逆时针旋转90°至，连接， ，， 由题意可得：， ∴ ， 四边形是直角梯形， = = = = =8； （3）， ， OB=2， 由题意可得：，OP=OF， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， OB=PC=2， EP=EC+PC=6+2=8， 点P运动的时间为t=8÷1=8秒． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，是较为典型的一线三等角证明三角形全等，根据题意得出对应的角相等，从而证明三角形全等是解题关键． 【典型例题九 旋转模型】 【例1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理求出∠A′CB′=30°，然后利用旋转的性质得到BC=B′C，再利用全等三角形的判定和性质得到A′B=A′B′进而求出此题的答案． 【详解】解：如图，连接A′BA′B．    ∵∠A=45°，∠B'=105°， ∴∠A′CB′=180°−45°−105°=30°， ∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°后得到△A'B'C， ∴∠B′CB=60°，AB=A′B′=， ∴∠A′CB=60°−30°=30°， ∴∠A′CB′=∠A′CB， 在△A′B′C和△A′BC中 , ∴△A′B′C≌△A′BC， ∴A′B′=A′B=， 故选A． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的有关知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝ °． 【答案】70 【分析】由于△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，可求出AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】∵△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED， ∴△ABC≌△AED， ∴AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°， ∴∠C＝＝＝70°． 故答案为：70． 【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及三角形内角和定理，比较简单． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于 ． 【答案】1 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质，可得，，进而根据同角的余角相等可得，根据AAS证明，进而即可证明． 【详解】证明：绕点顺时针旋转得线段， ，， ，， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了性质的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，那么等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点D在B点时，连接BE，延长AC至，使得；当D运动到C点时，延长BE至，使得，连接，则直线为点F的运动轨迹；作，则AF为最小值，设的边长为a，则，，计算即可； 【详解】当点D在B点时，连接BE，延长AC至，使得；当D运动到C点时，延长BE至，使得，连接，则直线为点F的运动轨迹；作，则AF为最小值， 设的边长为a，则，， ∴，， ∵，，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 3．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图（1），，将和的顶点B与顶点E重合，把绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O． （1）当旋转至如图（2）位置，点，C，D在同一直线上时，与的数量关系是________． （2）当继续旋转至如图（3）位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论成立，理由详见解析. 【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AOD=∠A+∠AFD，∠AOD=∠D+∠DCA，然后整理即可得解； （2）根据全等三角形对应边相等可得AB=DE，BC=EF，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，然后推出∠ABF=∠DEC，利用边角边证明△ABF与△DEC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠EDC，再推出∠FAC=∠CDF，然后利用三角形的外角性质列式即可得证； 【详解】（1）， ． 又，， ． （2）（1）中的结论成立．理由如下： ， ，，，，，即． 在与中，， ， ， ， 即． 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，找出两三角形全等的条件是解题关键． 4．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________. 【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）. 【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答； （2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合， ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线， ∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AFG和△AFE中，， ∴△AFG≌△AFE， ∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF； （2）EF＝DF−BE； 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'， ∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠E'AF， 在△AEF和△AE'F中，， ∴△AFE≌△AFE'（SAS）， ∴FE＝FE'， 又∵FE'＝DF−DE'， ∴EF＝DF−BE； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'， 同（1）可证△AED≌AED'， ∴DE＝D'E． ∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°， ∴∠ECD'＝90°， 在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【典型例题十 垂线模型】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE，AD=CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC=2，AD=CE=3，OD=6， ∴CD=OD-OC=4，OE=CE-OC=3-2=1， ∴BE=4， ∴则B点的坐标是（1，4）． 故选：D. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为    【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 【例3】（2025八年级·浙江温州·专题练习）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】延长BF至G，使，连结EG，得，，BF=GF，再证，得. 【详解】证明：延长BF至G，使，连结EG， 在△BDF和△GEF中， ， ∴ ， ∴，BF=GF， ∴BG=2BF， ∵BE⊥BA， ∴∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG， 在△ABC和△BEG中， ， ∴， ∴AC=BG=2BF. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ． 【答案】440． 【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示： 则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形， ∴BM＝DM，BN＝AN， ∵AE⊥CD， ∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°， ∴∠EAN＝∠DCM， 在△AEN和△CDM中， ， ∴△AEN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM，EN＝DM， ∴BN＝CM， ∴BM＝CN， ∴BM＝DM＝CN＝EN， ∵BE：CE＝5：6， ∴设BE＝5a， 则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a， ∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2， ∵S△BDE＝BE×DM＝×5a×3a＝75， ∴a2＝10， ∴S△ABC＝BC×AN＝×11a ×8a＝44 a2＝440； 故答案为：440． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和求三角形的面积，掌握构造全等三角形的方法、三角形的面积公式和方程思想是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）（1）如图，，．求证：． （2）如图，，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）过点分别作，，垂足分别为、，通过三角形全等得到，即可求解； （2）过点分别作，，垂足分别为、，通过角之间的关系得到点在的平分线上，再通过三角形全等得到，即可求解； 【详解】（1）证明：过点分别作，，垂足分别为、 ． ，即点在的平分线上， ，，垂足分别为、，． 在和中， ． ． 在和中， ． （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为、 ． ，， ． 即点在的平分线上． ，，垂足分别为、， ． 在和中， ．． 在和中， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意构造全等的直角三角形． 4．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE 【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可； （2）根据（1）的结论，进而可得； （3）方法同（1）证明，进而可得 （4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2） 解：∵， ∴，． 又∵， ∴． （3） 解：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴ （4） 解：．理由如下： ∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 【典型例题十一 倍长中线模型】 【例1】（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键． 延长到点E，使，连接，可证，再根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接，则， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是 ． 【答案】1＜AD＜7 【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中, ， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE=AB， ∵AB=6，AC=8， ∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14， ∴1<AD<7， 故答案为：1<AD<7． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使，且， ∴． （2）解：由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴． （3）证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新的三角形中运用三边关系定理求解．延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：如图所示，延长到，且，并连接，   是中点， ， 又， ， ， 在中， 有， ，即， ． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）问题提出： 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究： （1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决： （2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）（2）①是，理由见详解②元 【分析】（1）由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，，得，然后由三角形的三边关系求解即可； （2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论； ②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解． 【详解】解：（1）设点到的距离为，则，， 与是偏等积三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，， ， 即：， ∴ （2）①与是偏等积三角形，理由如下： 过作于，过作于，如图3所示： 则， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， 与不全等， 与是偏等积三角形； ②如图4，过点作，交的延长线于， 则， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 由①得：与是偏等积三角形， ，， ， 修建小路的总造价为：（元． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、三边关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 【典型例题十二 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据等地等高的三角形面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应边相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和面积相等，故①正确； 而和不一定相等，故②不正确； 在和中， ， ∴，故③正确； ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴，故⑤错误， 正确结论为：①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等地等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则PBC的面积是 cm2． 【答案】3 【分析】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，结合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP＝EP，根据三角形的面积即可得出S△APC＝S△EPC，再根据S△PBC＝S△BPE+S △EPC＝S△ABC即可得出结论． 【详解】解：延长AP交BC于点E，如图所示． ∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P， ∴∠ABP＝∠EBP． 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝EP． ∵△APC和△EPC等底同高， ∴S△APC＝S△CPE， ∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE＝S△ABC＝×6＝3（cm2）， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的证明以及性质，涉及了三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的证明方法和性质是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中画出一个与全等的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的性质，全等三角形的判定： （1）根据三角形高的定义画图即可； （2）根据三角形中线平分三角形面积，找到中点N，作直线即可； （3）根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，高线即为所求； （2）解：如图所示，取格点N，作直线，直线即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）有以下条件：①平分；②；③．选择其中一个补充在下面的问题中，并解答． 问题：如图，在中，D是边上一点，分别是和的高，交于点，若_________（填序号）． (1)试说明：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)①证明过程见详解；②证明过程见详解；③证明过程见详解； (2)16 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）选择①，运用角角边可判定三角形全等；选择②，运用角角边可判定三角形全等；选择③，运用边边边可判定三角形全等； （2）根据，得到，由，即可求解． 【详解】（1）证明：选择①平分， ∵分别是和的高， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； 选择②， ∵分别是和的高， ∴， 在和中， ， ∴； 选择③， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可． 【详解】解：如图①，过点E作交于点M，则 ∵ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图②，过点E作于点M，则 ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图③， ∵ ∴ ∴是钝角， 过点F作，垂足为点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 综上，面积最小的是D选项， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，三角形的面积为，平分，，则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长交于点，可证，得到，即得，，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）（1）如图①，已知：中，，直线m经过点A，于D，于E，猜想：_______； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问第一问猜想是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）与的面积之和为8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）证明，则，； （3）同理（2）可知，，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：结论仍然成立； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， 同理（2）可知，，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 与的面积之和为8． 【典型例题十三 全等三角形中的动点问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质解答即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，线段的值最小， ∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴线段的最小值为， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9 【答案】D 【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解． 【详解】解：如图甲所示，当时，， 即，解得， 如图甲所示，当时， 即，解得， 故选：D． 图甲                                  图乙 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应情况分类讨论是解题关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为秒，当的值为 时，△≌△． 【答案】1秒或6秒． 【分析】由题意知，分在，，上三种情况求解． 【详解】解：由题意知，分在，，上三种情况求解： ①当在上时，由题意知，， ∵和全等， ∴，即， 解得； ②当在上时，由题意知，，， ∴此时和不全等， ③当在上时，由题意知，， ∵和全等， ∴，即， 解得； 综上所述，和全等时，为1秒或6秒， 故答案为：1秒或秒． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及矩形的性质，解决本题的关键在于分情况求解． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，中为直角，过边中点D作交于点E，P是直线上的一动点，若，，则周长的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先根据题意得到垂直平分，则周长的为：即可解题． 【详解】解：∵中为直角，过边中点D作交于点E， ∴， ∴垂直平分， 连接，    ∴， ∴周长的为：． 故答案为：8． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【答案】(1) (2)3或3.5 【分析】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质， （1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出，最后再运用三角形内角和即可求解； （2）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ，， ； （2）解：当时，则， ， ， 当时，则， ， ． 综上可得：为3或3.5． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）已知点D是等边三角形的边上的一动点（且不与点A、点C重合），连接，以为边在直线的下方作等边． (1)当点D是的中点时，求证：平分； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定是解本题的关键． （1）先证明，再由等边三角形中，，可得，从而证得结果； （2）先证明，可得，从而得出，再由平行线的判定得出结论． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， ∵等边三角形中，，， ∴， ∵等边三角形中，， ∴， ∴平分； （2）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质，全等三角形的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）设点Q的运动速度为，分，或，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）解：设点Q的运动速度为， ∵与全等，， ∴，或，， 当P在上，点Q在上时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 当点P在上，点Q在时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 综上所述：点Q的运动速度为或或或． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）， （Ⅳ） 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （Ⅰ）根据题意列代数式即可； （Ⅱ）分点在线段上，点在延长线上两种情况计算即可； （Ⅲ）由得到，根据得到，再根据得到，得出，即可得到； （Ⅳ）证明，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得， ，， 故答案为：； （Ⅱ）由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为； （Ⅲ），， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （Ⅳ），理由如下， 如图，， ， ， , ，， ， ， ， ， ． 【典型例题十四 全等三角形的综合问题】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知，点是边上一点，根据尺规作图的痕迹，能确定线段是的（   ） A．中线 B．中垂线 C．角平分线 D．高线 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，证明，得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：根据作图可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， 即线段是的角平分线． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质，即可推出，可得，，即可推出，然后可得，即可推出． 【详解】解：，， 和为等边三角形， ， ， 则在和中，， ，故①符合题意； ， 则在和中，， ，故②符合题意； ， 则在和中，， ，故③符合题意； 但不一定成立，故④不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①③④，根据角平分线的性质定理可判定②；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故②错误； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④ ． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知线段于点，射线于点从点向运动，每秒走点从点向运动，每秒走同时从出发，则出发 秒后，在线段上有一点，使与全等． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，分两种情况考虑：当时，当时，根据全等三角形的性质即可确定出时间． 【详解】设出发x秒后，使与全等， 根据题意可知，则， 当时，， 即， 解得； 当时，米， 所以此时所用时间是6，，不合题意，舍去． 综上所述，出发3秒后，在线段上有一点C，使与全等． 故答案为：3． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，结合题意，运用角角边即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）求证：全等三角形对应边上的中线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤：（按要求填空，写出证明过程） （1）要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是： ， 结论是： ． （2）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示．    （3）结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，① ，线段分别是边上的中线． 求证：② ． 证明：… 【答案】（1）两条线段是全等三角形的对应边的中线；这两条线段相等；（3）①，②，证明见解析 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的角平分线，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项解答； （3）根据题意写出已知和求证，证明，根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：（1）条件是：两条线段是全等三角形的对应边的中线， 结论是：这两条线段相等， 故答案为：两条线段是全等三角形的对应边的中线，这两条线段相等； （3）已知：， 求证：； 证明：∵（已知）， ∴（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等）， ∵分别是和中线（已知）， ∴，′（中线的定义）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：，． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图①，，，点C是上一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； (3)图②中，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)9． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长，即为池塘两端的距离． 乙同学：如图2，①确定射线，过点作直线； ②在直线上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交射线于点； ④测量的长，即为池塘两端的距离． (1)试说明甲同学的方案可行的理由； (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)增加，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）甲同学的方案可行，利用证明，即可证明； （2）乙同学的方案不可行，增加，利用证明，即可证明． 【详解】（1）解：甲同学的方案可行，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：乙同学的方案中，只有一个条件，无法证明，得不到，故乙同学的方案不可行，增加， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，那么添加下列选项中的条件后，仍然不能判定出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先根据已知条件可知，，再选择全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 可知，． 添加时，则，所以选项A不符合题意； 添加，则，所以选项B不符合题意； 添加时，则，所以选项C不符合题意； 添加时，由不能判断，所以选项D符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， ∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行. 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，点、、在同一直线上，在等腰中有，在等腰中有，连接和，且交于点，交于点，连接，延长至点使得，连接，交于点，交于点，且有，以下的结论中：①；②；③；④平分．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，即可判断①正确；根据证明，即可判定②正确；根据全等三角形的性质可以证明，但，即，即可判定③错误；与不一定全等，，点C到、的距离不一定相等，即可判断④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴， ∴， ∴与不一定全等， ∴， ∴， ∴，故③不正确； ∵与不一定全等，， ∴点C到、的距离不一定相等， ∴不一定平分，故④不正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质．利用全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 7．（2025八年级·浙江温州·模拟预测）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③． 8．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米． 【答案】1.8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，由证明得出，即可推出结果． 【详解】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， ， ， ， ， 又由题意可知，， ， ，， ， 点到的距离为， 故答案为：1.8． 9．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）（）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是 ． （）如图所示，点，，，在同一条直线上，当 ， ， 时，，所依据的数学公理是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】（）根据垂线段最短即可求解； （）根据全等三角形的判断定理 本题考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点作于点，这样修所依据的数学公理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短； （）当，，，时，，所依据的数学公理是； 故答案为：，，，． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【答案】1或或12 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论．与全等时，，当P在上，Q在上时，得到；当P、Q在上时，得到；当P在上，Q在上时，然后分类求解即可． 【详解】解：∵于E，于F，， ∴，， ∴， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，， ∴， 解得：； 当P、Q在上时（P、Q重合）， ∵，， ∴， 解得：； 当P在上，Q在上时，即A与Q重合时， ∴． ∴t的值为1或3.5或12； 故答案为1或3.5或12． 11．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形． 【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法： 12．（2025·浙江·模拟预测）如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，证明，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 13．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的岸边点处，选对岸正对的一棵树； ②沿河岸直行处有一棵树，继续前行到达点处； ③从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处时，停止行走； ④测得的长为； (1)和全等吗？请说明理由． (2)请直接写出河的宽度为___________． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）利用“角边角”证明即可得； （2）根据全等三角形对应边相等可得即可解答． 【详解】（1）解：全等，理由如下， 由题意可知，，， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴． ∴河的宽度是． 故答案为：10． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据直角三角形的全等，分类解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴, 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）解：当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 【答案】(1)见解析 (2)不能 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，全等四边形的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明得到，则可利用证明得到，据此可证明四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等，则可证明结论； （2）同理可证明得到，再导角证明，但是不可根据证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等， ∴四边形四边形； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 而由，，，不可以根据证明， ∴满足这五个条件不能得到四边形四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$