第04讲 有理数的乘除运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第04讲 有理数的乘除运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 倒数 典型例题二 两个有理数的乘法运算 典型例题三 多个有理数的乘法运算 典型例题四 有理数乘法运算律 典型例题五 有理数的除法运算 典型例题六 有理数乘除混合运算 典型例题七 有理数四则混合运算 典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题九 有理数乘除法的实际应用 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）的倒数为 【即时训练】 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 知识点02 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算 ． 【即时训练】 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）计算：． 知识点03 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）某同学在计算时，误将“”看成“+”，结果是，则的正确结果是（   ） A．6 B． C．4 D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）计算的结果为 ． 即时训练】 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若规定：，例如：，试求的值． 【典型例题一 倒数】 【例1】（2025·安徽宣城·模拟预测）的倒数是（  ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法　思路：原式；对吗？答：______． 解法　提示：先计算原式的倒数：，故原式等于． 请你用解法的方法计算：． 1．（2024·安徽宣城·模拟预测）的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，那么代数式 的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了不同的方法解决这个问题：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)请你运用小明的解法计算：． 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）数学老师布置了一道思考题：“计算小红和小明两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小红的解法：原式的倒数为， 所以 小明的解法： 原式 请你分别用小红和小明的方法计算： 【典型例题二 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2025·安徽亳州·模拟预测）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）若的运算结果为正数，则□内的数字可以为（   ） A． B．1 C．0 D．1 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【例4】（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．（2025·安徽六安·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）现定义两种运算“”和“※”，对于任意两个整数，，，那么 ． 3．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 【典型例题三 多个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【例2】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）3个非零有理数相乘，在什么情况下积一定是负数？4个非零有理数相乘，在什么情况下积一定是负数？5个非零有理数相乘呢？你找出什么规律了吗？ 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 【典型例题四 有理数乘法运算律】 【例1】（2025·安徽·模拟预测）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）小杨对算式“”进行计算时的过程如下： 解：原式　① 　②   ③ ．　④ 根据小杨的计算过程，回答下列问题： （1）小杨在进行第①步时，运用了乘法的 律； （2）他在计算中出现了错误，你认为在第 步出错了．（请填写序号） 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业） ． 3．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 4．（2025·安徽淮北·模拟预测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【典型例题五 有理数的除法运算】 【例1】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知a，b为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示a，b异号的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）用运算符号“、、、”填入“”中，使运算结果最大，应该填入的符号是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ． 【例4】（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如下图所示，则下列各式正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 3．（2024七年级上·辽宁·专题练习）数学老师布置了一道题“计算”．姝姝仔细思考了一会儿，用了一种巧妙的解法算出了这道题的答案． 姝姝的解法：原式的倒数为，所以． (1)请你判断姝姝的解法是否正确； (2)请你用姝姝的解法计算． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题． 【提出问题】若非零有理数，同号，求的值． 【解决问题】解：由，同号可知，，有两种可能． （1）若，，有，，所以__________； （2）若_____0，，有，_____，所以_____． 综上所述，的值为2或． 【拓展探究】若三个有理数，，满足，求的值． 【典型例题六 有理数乘除混合运算】 【例1】（24-25七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【例2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p、q是正整数，且），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：例如35可以分解成，则，则的值是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 【例4】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）如图，将一条长为的卷尺铺平放置在数轴上，使得刻度线和刻度线分别落在数轴上表示数和数10的点上. （1）数轴的原点对应的是卷尺上 cm的刻度线； （2）将卷尺沿直线向右折叠，使得刻度线与刻度线重合，此时刻度线在数轴上对应点表示的数是 . 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？ 观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到， 发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即，由此可知，所以根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程． 4．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【典型例题七 有理数四则混合运算】 【例1】（24-25七年级上·广西钦州·期末）规定一种新运算：．计算的结果为（   ） A． B． C．19 D．29 【例2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）按图中程序计算，若输入，则最后输出的结果是 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； (2)将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2025·安徽池州·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·重庆江津·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上点分别表示有理数，则 ．(填“”“”或“”) 【例4】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中O是原点，且． (1)用“＜”号把连接起来； (2)的值是多少？ (3)判断与的符号． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，．根据图中各点位置，下列各式大于的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是 ． 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，根据数在数轴上的对应点的位置，写出描述关系的三条正确结论． 【典型例题九 有理数乘除法的实际应用】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期中）天干地支纪年法源于中国，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支．如下表，算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以的余数查出地支．如：年尾数3为癸，除以余数为7，7为卯，那么年就是癸卯年，七年级某班小明同学出生年份是年，则年是（   ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 A．庚寅年 B．庚辰年 C．辛卯年 D．辛辰年 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是 ．    【例4】（24-25七年级上·安徽六安·期末）扇面书画是中国历史悠久的传统艺术品，福州的扇画艺人喜欢以三坊七巷、三山两塔等福州地标景点为创作题材，将地方文化元素融入扇画之中．现需制作直径为的圆形扇面，同时需对扇面边缘用缎带进行包边处理． (1)请计算制作一把圆形扇面需要多长的缎带．（取3.14） (2)将圆形扇面按比例分割成3个扇形分别作画，它们的圆心角的度数比为．若圆形扇面的面积为，请分别求出这三个扇形的面积． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一件苹果重40千克，第一天吃了它的，第二天吃了千克；则还剩 千克． 3．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图，在长方形中，长为，宽为，内部放置2个相同的正方形（两边和长方形的两边重合），且边长是长方形边长的，则阴影部分的面积是 ． 4．（2025·安徽池州·模拟预测）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）周老师要买60个小足球，三个店的小足球单价都是25元，请帮周老师选择到哪个店去买比较合算？（   ） 三个店的优惠情况如下： 甲店：每买10个送2个； 乙店：打八折优惠； 丙店：购物每满200元，返现金30元． A．甲店 B．乙店 C．丙店 D．都一样 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，在长为、宽为的长方形空地上修建两条宽均为的道路，余下部分种植某种花卉，则种植花卉的面积为 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中，最接近25千克的那筐白菜为______千克； (2)以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北衡水·阶段练习）如图中，厘米，厘米，厘米，厘米，四边形的面积是( )平方厘米． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行驶15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇．这时快车开到甲城还需要多少小时？ 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下面算法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（   ） A．1 B．1或5 C．1或 D．5 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3．除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干：地支的计算方法是年份减3．除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支：属相的计算方法与地支一致．依据上述规律推断，2037年为（   ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）以下四个说法中，正确的是 （请填写序号） ①一个正数一定大于它的相反数；②若，则一定是负数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ． 9．（24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）已知a，b，c三个数在数轴上的对应点如图所示，用“”或“”号填空． （1）a 0；    （2）c 0； （3）a b；    （4）ac bc； （5） ； （6） ． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间(分钟) 已知每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 11．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）直接写出得数 (1) (2) (3) (4)（得数保留两位小数） (5) (6) (7) 12．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 14．（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘除运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 倒数 典型例题二 两个有理数的乘法运算 典型例题三 多个有理数的乘法运算 典型例题四 有理数乘法运算律 典型例题五 有理数的除法运算 典型例题六 有理数乘除混合运算 典型例题七 有理数四则混合运算 典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题九 有理数乘除法的实际应用 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的倒数，掌握倒数的意义是解题的关键．根据倒数定义即可求解． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）的倒数为 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，根据互为倒数的两个数的乘积为1，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴的倒数为， 故答案为：． 【即时训练】 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值和代数式求值，正确得到，或是解题的关键． 【详解】解∶ ∵a，b互为倒数，x，y互为相反数，且， 由题可知，或．· 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值为18或． 知识点02 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律； 原式变形后，利用乘法分配律判断即可． 【详解】解：， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】先确定积的符号，然后根据有理数的乘法交换律，先计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键． 【即时训练】 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 知识点03 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）某同学在计算时，误将“”看成“+”，结果是，则的正确结果是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法，先利用错误的结果求出a的值，再把a代入计算正确的结果即可． 【详解】解：依题意， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，熟练掌握有理数除法运算法则进行计算即可．根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 即时训练】 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，新定义运算，熟练掌握新定义，是解题的关键．根据新定义，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【典型例题一 倒数】 【例1】（2025·安徽宣城·模拟预测）的倒数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1 两个数互为倒数可得答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数轴，倒数，相反数，根据数轴上点的位置及，互为相反数，得，然后根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：∵由数轴商店的位置可得， 又∵实数，互为相反数， ∴原点位于，之间， 即， ∴的倒数最大， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数，倒数的性质，先整理，，，然后结合倒数，相反数，绝对值等性质进行逐个解答即可． 【详解】解：∵， 则的倒数是， ∴的相反数是 ， ∴的绝对值是， 故答案为： 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法　思路：原式；对吗？答：______． 解法　提示：先计算原式的倒数：，故原式等于． 请你用解法的方法计算：． 【答案】不对， 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，倒数等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．仿照解法，先求出原式的倒数，然后即可得出答案． 【详解】解：解法不对， 除法没有分配律，故解法不对， 故答案为：不对； 按解法计算，先计算原式的倒数： ， 故原式等于． 1．（2024·安徽宣城·模拟预测）的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值和倒数，掌握绝对值和倒数的定义成为解题的关键． 先求出，再根据互为倒数的两个数的积为1即可解答． 【详解】解：，的倒数是． 故选C． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，那么代数式 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，互为相反数且均不为0，，互为倒数，，可以得到，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为相反数且均不为0，，互为倒数，， ，， 当时， ， 综上所述，的值为 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了不同的方法解决这个问题：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)请你运用小明的解法计算：． 【答案】(1)小明的解法正确，见解析 (2) 【分析】本题考查有理数的除法，倒数的定义．熟练掌握有理数的运算法则，倒数的定义：“两数之积为1，两数互为倒数．”是解题的关键． （1）先算括号里的运算，再算除法，得出结果进行验证即可； （2）先算原式的倒数，再求这个数即可． 【详解】（1）解：小明的解法正确， ． （2）解：原式的倒数 ， ∴原式． 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）数学老师布置了一道思考题：“计算小红和小明两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小红的解法：原式的倒数为， 所以 小明的解法： 原式 请你分别用小红和小明的方法计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式分别利用小红与小明的解法计算即可． 【详解】小红的解法： 原式的倒数为 ， 所以的值为， 小明的解法： 原式， ， ， 【典型例题二 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2025·安徽亳州·模拟预测）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本考查有理数的乘法，根据乘法法则计算即可，注意：若两个乘数的符号相同，则结果为正数，若两个乘数的符号相反则结果为负数． 【详解】解：， 故选：A． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）若的运算结果为正数，则□内的数字可以为（   ） A． B．1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算．根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有A选项是正数， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 【例4】（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘法，然后根据加法结合律进行同分母运算，最后算加法即可； （）先算括号内的除法，再算加法，最后算减法即可； （）根据加法结合律进行同分母运算，最后算减法即可； （）分别算括号内的加法，乘法和减法，最后算除法即可； （）先算乘法，然后通过乘法分配律进行简便计算即可； （）先算括号内的加法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 1．（2025·安徽六安·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法和乘法运算，根据绝对值的意义及有理数的加法和乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、若，则，该选项运算错误，不合题意； 、若， ，则或，该选项运算错误，不合题意； 、若， 则为任意有理数，该选项运算正确，符合题意； 、若  则，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）现定义两种运算“”和“※”，对于任意两个整数，，，那么 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义，认真审题，得出新定义表示的含义是解本题的关键．根据题中的新定义，，根据规律及运算顺序有括号先算括号里边的，化简所求的式子即可求出值． 【详解】 解：，， ， 故答案为：． 3．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 【答案】(1) (2)，，不满足结合律 【分析】（1）利用新定义得到，然后进行有理数的混合运算； （2）利用新定义计算出，，则可判定运算“@”不满足结合律． 本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【详解】（1）解： ； （2）解：，，即； 而，，即， 所以，所以运算“@”不满足结合律． 【典型例题三 多个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【答案】C 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧，关键是要理解“！”的运算规律．根据“！”的运算规律计算​即可得出本题的答案． 【详解】解：根据题目的运算规则可得：， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【例3】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）3个非零有理数相乘，在什么情况下积一定是负数？4个非零有理数相乘，在什么情况下积一定是负数？5个非零有理数相乘呢？你找出什么规律了吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，根据两个数相乘，同号为正，异号为负可知，多个非零有理数相乘时，负数的个数为奇数个时，计算的结果为负数，负数的个数为偶数个时，计算的结果为正数，据此求解即可． 【详解】解：3个非零有理数相乘，当其中有1个或3个是负数时，结果为负数； 4个非零有理数相乘，当其中有1个或3个是负数时，结果为负数； 5个非零有理数相乘，当其中有1个或3个或5个是负数时，结果为负数． 规律：几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，则积为负数；当负因数的个数为偶数时，则积为正数． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解． 【详解】解：由已知得， 故选C． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法、有理数的加法，由题意可得、、中两个数为负数，一个数为正数，再分三种情况：当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；分别求解即可得解． 【详解】解：∵、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0， ∴、、中两个数为负数，一个数为正数， 当为正数，、为负数时，此时， 当为正数，、为负数时，此时； 当为正数，、为负数时，此时； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可 （3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 【答案】（）负数；（）正数，负数；（）． 【分析】（）先判断负因数个数，然后根据法则即可求解； （）根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； （）先算括号内的，再根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； 本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正；根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 【详解】（）中有个负因数， ∴结果是负数； （）根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 故答案为：正数，负数； （）原式 ． 【典型例题四 有理数乘法运算律】 【例1】（2025·安徽·模拟预测）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ∵， ∴得数最小的是D选项， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则进行判断即可． 【详解】解： ∴出错的是乙． 故选：B． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）小杨对算式“”进行计算时的过程如下： 解：原式　① 　②   ③ ．　④ 根据小杨的计算过程，回答下列问题： （1）小杨在进行第①步时，运用了乘法的 律； （2）他在计算中出现了错误，你认为在第 步出错了．（请填写序号） 【答案】 分配 ② 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律的运用，根据算式特点，运用运算律简化分运算是解题的关键； （1）计算第①步时，用到了乘法分配律，故可完成解答； （2）逐步检查各步运算过程，考虑运算顺序、运算结果及符号，即可找到出错的地方． 【详解】解：（1）观察运算过程知，进行第①步时，运用了乘法的分配律； 故答案为：分配； （2）观察第②步运算知，计算时出现错误，应计算减法后得； 故答案为：②． 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了运算与技巧，先将公因数提出来，然后将分母进行裂项即可求解，根据式子的特点进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（2025·安徽淮北·模拟预测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】(1)张明，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：喜欢张明的解法． 理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数 ， ∴． 【典型例题五 有理数的除法运算】 【例1】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知a，b为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示a，b异号的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘除法，加法运算法则和化简绝对值，根据有理数的乘除法运算，加法法则，与化简绝对值的方法逐项判断即可． 【详解】①，则，（否则，可推出，矛盾），即a与b异号，符合题意； ②， a与b异号，符合题意； ③，若成立，a与b不一定异号，不符合题意； ④，当时成立，不符合题意； 则其中一定能够表示a、b异号的有2个． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）用运算符号“、、、”填入“”中，使运算结果最大，应该填入的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据题目中的数字，将选项中的运算符号代入求值，即可解答本题，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】解：∵， ， ， ； 又∵， ∴的值最大， ∴□里应填的运算符号是， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的，据此求解即可． 【详解】解：∵要使两张卡片上的数字的商最小， ∴在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的， ∴根据题意可选择一正一负， ∴当选择这两张卡片时，商最小为， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用有理数的乘除运算法则即可求解； （）利用有理数的除法法则即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如下图所示，则下列各式正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①错误； ， ， ， ，即，故②正确； ，， ，故③错误； ，， ，，， ，， ，故④正确； 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了相反数定义，有理数的运算，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，有理数运算法则． ①根据得出定a、b异号，不能判断，即可判断①错误； ②根据，分，时，，时，，时，，时，进行讨论，即可判断②正确； ③根据，得出，求出，即可判断③错误； ④根据，，得出，，得出，根据，得出，根据，得出要使成立必须使，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：①若，只能判定a、b异号，不能判断，且c，b互为相反数与没有关系，故①错误； ②若， 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； ∴若，则是正数，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴要使成立必须使， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有②④． 故答案为：②④． 3．（2024七年级上·辽宁·专题练习）数学老师布置了一道题“计算”．姝姝仔细思考了一会儿，用了一种巧妙的解法算出了这道题的答案． 姝姝的解法：原式的倒数为，所以． (1)请你判断姝姝的解法是否正确； (2)请你用姝姝的解法计算． 【答案】(1)正确 (2) 【分析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：正确． 理由：一个数的倒数的倒数是其本身． （2）解：原式的倒数为 ， ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题． 【提出问题】若非零有理数，同号，求的值． 【解决问题】解：由，同号可知，，有两种可能． （1）若，，有，，所以__________； （2）若_____0，，有，_____，所以_____． 综上所述，的值为2或． 【拓展探究】若三个有理数，，满足，求的值． 【答案】（1）2；（2）；3或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 解决问题：（1）当a、b都正数；（2）当a、b都是负数分别求解即可； 拓展探究：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，代入计算即可． 【详解】解：（1）若，，有，，所以， （2）若，，有，，所以， 故答案为：（1）2；（2）； 拓展探究：由，可得a，b，c三个有理数都为正数或一正两负，分情况讨论如下： ①当a，b，c都是正数，即时， 则， ②当a，b，c一正两负时：设， 则， 的值为3或． 【典型例题六 有理数乘除混合运算】 【例1】（24-25七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 【例2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p、q是正整数，且），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：例如35可以分解成，则，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．理解题意掌握最佳分解的定义是解题的关键． 由结合最佳分解的定义即可知． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 【答案】 【分析】利用题中的新定义列式，约分即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【例4】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化除为乘，然后根据乘法交换律，进行计算，即可； （2）先根据有理数的乘法运算律进行计算，然后再进行减法运算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为，找出共有个即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）如图，将一条长为的卷尺铺平放置在数轴上，使得刻度线和刻度线分别落在数轴上表示数和数10的点上. （1）数轴的原点对应的是卷尺上 cm的刻度线； （2）将卷尺沿直线向右折叠，使得刻度线与刻度线重合，此时刻度线在数轴上对应点表示的数是 . 【答案】 40 4 【分析】（1）求出数轴上的一个单位长度为，进而可得原点对应的卷尺上的刻度线； （2）根据刻度线与刻度线重合，可知直线过卷尺的刻度线，所以刻度线与刻度线重合，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵刻度线和刻度线分别落在数轴上表示数和数10的点上， ∴数轴上的一个单位长度为， ∵， ∴数轴的原点对应的是卷尺上的刻度线， 故答案为：40； （2）刻度线与刻度线重合， 直线过卷尺的刻度线， 刻度线与刻度线重合， 刻度线在数轴上对应点表示的数是． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了数轴，有理数混合运算的实际应用，熟练掌握数轴特点是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？ 观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到， 发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即，由此可知，所以根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程． 【答案】(1)4，； (2)；见解析． 【分析】本题主要考查了把无限循环小数化成分数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据材料中方法即可解答； （2）根据材料中方法即可解答； 【详解】（1）解：是以4为循环节的无限循环小数， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4，； （2）∵， 即 ∴． 4．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 【典型例题七 有理数四则混合运算】 【例1】（24-25七年级上·广西钦州·期末）规定一种新运算：．计算的结果为（   ） A． B． C．19 D．29 【答案】C 【分析】本题考查了新运算和有理数的混合运算．根据新运算的定义代入直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【例2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）按图中程序计算，若输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查有理数的混合运算和程序框图，解答本题的关键是明确题意，会用程序计算问题． 根据题目中的程序，将代入计算出结果和2比较大小即可，大于2就输出，不大于2就继续按程序计算． 【详解】解：当输入时， ∴继续输入2时， ． ∴最后输出的结果是5． 故答案为：5． 【例4】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)3 (3) (4)80 (5)2 (6) 【分析】本题考查了乘法运算律，小数与整数的乘法运算法则，含百分数的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据小数与整数的乘法运算法则进行计算，即可作答． （2）先把百分数化为小数，再运算乘法，即可作答． （3）先把百分数化为小数，然后运算除法，再运算乘法，即可作答． （4）先把百分数化为小数，然后运用乘法运算律进行计算，即可作答． （5）先把分数和百分数化为小数，然后运算加法即可作答． （6）先运算括号内，再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解： ； 故选B． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：第一组所有数的和为， 第二组所有数的和为， 第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是， 同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差． （1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得； （2）将原式利用（1）中所得规律裂项求和可得． （3）先利用乘方分配律每一项提出一个，再将式子利用（1）中所得规律裂项求和可得． 【详解】（1）解：根据题意知，①；② 故答案为；． （2）解：＋＋＋ ． （3）解： ． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； (2)将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列式是关键． （1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可；②根据题意得到摸出的四个数字为，5，2，．再求和即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：① ②∵摸出的四个数字的积不为0， ∴摸出的四个数字为，5，2，． （2）当摸出的四个小球上的数字为，0，5，2时，计算结果最小， 即，即计算结果的最小值为． 【典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2025·安徽池州·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴特点判定式子符号，整式的运算，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴特点，整式的运算，确定符号即可求解． 【详解】解：根据图示可得，，则A选项错误，不符合题意； ，则B选项错误，不符合题意； ，则C选项错误，不符合题意； ，则D选项正确，符合题意； 故选：D ． 【例2】（24-25七年级上·重庆江津·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，有理数的乘法， 先根据数轴可知，再根据“两数相乘同号得正，异号得负”分情况讨论，并逐个判断即可. 【详解】解：根据题意，得， 如果，当或时，可知，所以（1）正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（2）正确； 如果，当或时，不能确定的正负性，所以（3）不正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（4）不正确. 正确的有2个. 故选：B. 【例3】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上点分别表示有理数，则 ．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了数轴的定义、有理数减法，除法的应用，先根据数轴的定义得出数、的取值范围，再得出的符号，即可得． 【详解】解：根据数轴可得 ∴， ∴ 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中O是原点，且． (1)用“＜”号把连接起来； (2)的值是多少？ (3)判断与的符号． 【答案】(1) (2)的值是0 (3) 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，以及式子的符号．掌握数轴上的数右边的比左边的大，是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置，判断即可； （2）根据点在数轴上的位置，以及，得到互为相反数，即可得出结果； （3）根据点在数轴上的位置，进行判断即可． 【详解】（1）解：由图可知：，， ∴； （2）∵两点在原点的两侧，且， ∴互为相反数， ∴； （3）∵，， ∴． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，．根据图中各点位置，下列各式大于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数乘法，从数轴可知：，，，，，，，然后根据有理数的乘法法则逐一判断即可，掌握数轴的特点和有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：从数轴可知：，，，，，，， 则、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∵， ，故①正确； ∵，， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴， ，故③正确； ∵ ，故④错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，化简绝对值： （1）根据数轴可得，据此根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）由（1）可知，，据此化简绝对值，然后根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴， 故答案为：；；；； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，根据数在数轴上的对应点的位置，写出描述关系的三条正确结论． 【答案】答案不唯一，如等 【分析】本题主要考查了数轴的定义和性质，解题的关键是熟练掌握数轴的定义． 利用数轴的定义和性质进行描述即可． 【详解】解：由图可知， ∴． 【典型例题九 有理数乘除法的实际应用】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，正确理解收入等于房价乘以数量乘以入住率是解题的关键． 分别计算不同房价对应的收入，比较即可． 【详解】解：当每间客房的定价为300元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为280元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为260元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为220元时，客房的收入为（元）. 所以当每间客房的定价为260元时，客房的收入最高． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期中）天干地支纪年法源于中国，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支．如下表，算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以的余数查出地支．如：年尾数3为癸，除以余数为7，7为卯，那么年就是癸卯年，七年级某班小明同学出生年份是年，则年是（   ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 A．庚寅年 B．庚辰年 C．辛卯年 D．辛辰年 【答案】C 【分析】本题考查了有理数除法的实际应用，理解并掌握天干地支纪年法的确定方法是解题的关键．先根据的尾数确定天干，再用得到余数，确定地支即可． 【详解】的尾数为，1为辛， ，为卯， 年是辛卯年． 故选：C． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是 ．    【答案】 【分析】本题考查有理数除法的应用，根据“电流＝电压÷电阻”即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·期末）扇面书画是中国历史悠久的传统艺术品，福州的扇画艺人喜欢以三坊七巷、三山两塔等福州地标景点为创作题材，将地方文化元素融入扇画之中．现需制作直径为的圆形扇面，同时需对扇面边缘用缎带进行包边处理． (1)请计算制作一把圆形扇面需要多长的缎带．（取3.14） (2)将圆形扇面按比例分割成3个扇形分别作画，它们的圆心角的度数比为．若圆形扇面的面积为，请分别求出这三个扇形的面积． 【答案】(1) (2)这三个扇形的面积分别为，， 【分析】此题考查了有理数的乘法运算的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据圆的周长公式求解即可； （2）根据圆心角的度数比为结合圆形扇面的面积求解即可． 【详解】（1）∵圆形扇面得直径为， ∴周长； （2）根据题意得，，， ∴这三个扇形的面积分别为，，． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】先求出5分钟后，两人相距多少米，用相距路程(甲的速度乙的速度)来计算；再用追及时间相距路程(乙的速度甲的速度)来求乙追上甲经过的时间． 【详解】解：（米）； （分钟）． 故选D． 【点睛】本题考查行程问题．解题的关键是熟练掌握计算方法． 2．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一件苹果重40千克，第一天吃了它的，第二天吃了千克；则还剩 千克． 【答案】 【分析】本题考查了考查有理数乘法和减法的实际应用，根据第一天吃了它的，第二天吃了千克，列式计算即可． 【详解】解：根据题意： （千克）． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图，在长方形中，长为，宽为，内部放置2个相同的正方形（两边和长方形的两边重合），且边长是长方形边长的，则阴影部分的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的减法和乘法运算，求阴影部分的面积，理解题意是解题的关键．根据题意，先求出正方形的边长，再根据正方形边长相等，长方形的长相等，宽相等，求出阴影部分长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图： ， 因为2个相同的正方形的边长是长方形边长的， 所以， 所以，， 所以，， 所以阴影部分的面积是， 故答案为：8． 4．（2025·安徽池州·模拟预测）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【答案】(1)4千米 (2)6 (3)升 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可； （3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解． 【详解】（1）（千米） ∴说明出租车离A市多远4千米； （2）∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正 ∴向南行驶为负 ∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站； ∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站； ∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站； 综上所述，出租车经过加油站6次； （3） （升） ∴该出租车一天共耗油升． 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）周老师要买60个小足球，三个店的小足球单价都是25元，请帮周老师选择到哪个店去买比较合算？（   ） 三个店的优惠情况如下： 甲店：每买10个送2个； 乙店：打八折优惠； 丙店：购物每满200元，返现金30元． A．甲店 B．乙店 C．丙店 D．都一样 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意分别求出三个店购买所需费用，即可得到答案． 【详解】解：甲店购买所需费用：元； 乙店购买所需费用：元； ∵ ∴丙店购买所需费用：； ， 即周老师到乙店去买比较合算， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示列式计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴ ， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，在长为、宽为的长方形空地上修建两条宽均为的道路，余下部分种植某种花卉，则种植花卉的面积为 ． 【答案】551 【分析】本题主要考查了有理数混合运算在图形面积中的应用，根据种植花卉的面积等于长乘以宽求解即可． 【详解】解：根据题意种植花卉的面积为：， 故答案为：551． 【例4】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中，最接近25千克的那筐白菜为______千克； (2)以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)24.5 (2)不足5.5千克 (3)389元 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的混合运算， 对于（1），比较各数的绝对值，再根据绝对值最小的数即为答案； 对于（2），求出8个数的和，可得答案； 对于（3），先求出总重量，再乘以单价即可. 【详解】（1）解：， 可知， 即（千克） 所以最接近25千克的那筐白菜为24.5千克. 故答案为：24.5； （2）解：， 所以不足5.5千克； （3）解：（元）， 所以出售者8筐白菜可卖389元. 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北衡水·阶段练习）如图中，厘米，厘米，厘米，厘米，四边形的面积是( )平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，连接，根据四边形的面积列出算式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 则四边形的面积平方厘米， 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行驶15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇．这时快车开到甲城还需要多少小时？ 【答案】快车开到甲城还需要小时 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：15分钟小时， （时） 答：快车开到甲城还需要小时． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【答案】(1)310单； (2)1760元； (3)够买扫地机器人． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用有理数的混合运算解决实际问题，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （2）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （3）根据题意求出购买机器人优惠完后的价格，然后和工资进行对比即可． 【详解】（1）解：（单） 所以，外卖员小张这一周一共送餐310单； （2）解：（元） 所以，小张这一周工资收入是1760元； （3）解：（元） （元） ， 所以，小张这周的工资够买下这台扫地机器人． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下面算法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法、减法、乘法的运算，据此相关性质法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一条数轴上有点，其中点表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（   ） A．1 B．1或5 C．1或 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．根据折叠分类讨论，当点A落在4和16对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：，， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数16对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或1， 故选：C． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①中“”的位置有种可能，“”确定位置后，“”的位置有种可能，则添加“”“”两个运算符号，得到的算式有种不同的结果，故①错误； ②结果为， 必须添加“”， 若添加“”， 添加“”， 添加“”，则有，故②正确； ③添加的运算符号中有“”，且同时添加三个运算符号， 要是结果最大，必须添加“”，不能添加，此时添加“”， 添加“”，即可得到最大结果，为，故③错误； 综上所述，正确的有②，个数为， 故选：B． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3．除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干：地支的计算方法是年份减3．除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支：属相的计算方法与地支一致．依据上述规律推断，2037年为（   ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙 【答案】B 【分析】根据有理数加减乘除的混合运算，计算判定即可． 本题考查了有理数加减乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故天干为丁； 根据题意，得， 故地支为巳； 属相为蛇， 故为丁巳蛇， 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算和有理数的大小比较，先进行有理数的乘法运算，再与0比较大小即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为： ． 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）以下四个说法中，正确的是 （请填写序号） ①一个正数一定大于它的相反数；②若，则一定是负数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的性质、倒数、有理数除法运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．根据相反数的定义，绝对值的性质、倒数、有理数除法运算逐个判定即可． 【详解】解：①一个正数一定大于它的相反数，故①正确； ②若，则x可能是负数，也可能是零，故②错误； ③除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数，故③错误； ④若，则，说法正确； 故答案为∶①④． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算的应用，熟练掌握有理数的乘除法运算是解本题的关键．先求出20与26之间的数，再求出26与x之间的数，进而可求x的值． 【详解】解：∵相邻的连续三个数之积均为520， ∴20与26之间的数为：， ∴26与x之间的数为：， ∴， ∴x的值为 1． 故答案为：1． 9．（24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）已知a，b，c三个数在数轴上的对应点如图所示，用“”或“”号填空． （1）a 0；    （2）c 0； （3）a b；    （4）ac bc； （5） ； （6） ． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴，有理数的乘法运算，有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的数右边比左边大以及不等式的性质是解题的关键．本题观察数轴得出，进一步运用有理数的乘法运算法则逐空进行分析即可． 【详解】解：观察数轴得出， （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间(分钟) 已知每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ① 【分析】本题考查了推理与论证，有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）因为要先修理时间短的，时间长放在最后，所以两名修理工最后修理的是分钟和分钟的，最先修理的是分钟和分钟的． 【详解】解：（1）要使经济损失最少，就要使总停产的 时间最短即可，显然先修复时间短，让机器尽快恢复运转，所以按照、、、、分钟顺序修复，即按照的顺序， 故答案为：①； （2）一名修理工修理分钟、分钟和分钟共需分钟，另一名修理工修理分钟和分钟共需分钟，五台机器总停产时间为： （分钟）， （元）． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）直接写出得数 (1) (2) (3) (4)（得数保留两位小数） (5) (6) (7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，正确计算是解答本题的关键． （1）先算乘法，再算减法即可解答； （2）根据有理数的除法法则计算即可； （3）根据有理数的加法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的除法法则计算即可； （6）根据有理数的加法法则计算即可； （7）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：． 12．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 【答案】(1)⑤，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，乘方分配律的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）运用运算律分析即可； （3）根据材料提示，运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得第⑤步出现错误， ∵， ∴正确结果是， 故答案为：⑤，； （2）解：第①步的变形依据是加法交换律，第②步的变形依据乘法分配律， 故答案为：，； （3）解： ． 14．（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】(1) (2)225，150 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 学科网（北京）股份有限公司 $$