2025年湖北省中考数学压轴题思维训练押题集

2025中考压轴题思维训练押题 一．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），开口向下，对称轴为直线x＝﹣1．下列结论正确的是（　　） A．ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a﹣3b+c＞0 D．at2+bt＜a﹣b（t≠﹣1） 2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③2a+b＝0；④3a+c＜0；⑤（a+c）2＞b2．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．抛物线与x轴的交点（共1小题） 3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 三．二次函数的应用（共5小题） 4．某商场经营一种进价为100元/件的商品，根据市场调查发现，该商品日销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系，且100≤x≤200，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/（元/件） … 120 140 160 180 … 销售量y/件 … 3000 2400 1800 1200 … （1）求y与x之间的函数解析式； （2）求该商品的日销售利润W的最大值； （3）该商场这种商品参加“迎五一，大返现”活动，决定每销售一件该商品便向顾客返现a（a＞0）元．根据市场情况，若150≤x≤170，要保证日销售利润不低于84000元，求a的取值范围． 5．科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程． ①在科研所到宿舍楼之间修一条高科技的道路；②对宿舍楼进行防辐射处理， 已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为y＝ax+b（0≤x≤3）．当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿舍楼的距离为3km或大于3km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设修路的费用与x2成正比，且比例系数为m万元，配套工程费w＝防辐射费+修路费． （1）当科研所到宿舍楼的距离x＝3km时，防辐射费y＝　 　 万元，a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若m＝90时，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工程费最少？ （3）如果最低配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于等于3km，求m的范围？ 6．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 7．为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝2m，EF＝0.5m．其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，喷水口到绿化带的水平距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）通过计算求点B的坐标； （3）绿化带右侧（图中点E的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出d的取值范围． 8．如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为（4，4）．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是； ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点（13，2）？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E横坐标xE的取值范围 　 　 ． 四．二次函数综合题（共16小题） 9．如图1，抛物线过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线G1的函数解析式及对称轴； （2）点P为直线BC下方抛物线上的动点，当△ACP的面积是4时，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线G2与G1相交于点A，B，且与y轴交于点（0，8）．点E（m，n）位于第一象限且在抛物线G2上，过点E作平行于x轴的直线，交抛物线G2于另一点F（点F在点E左侧），交抛物线G1于点M，N（点N在点M左侧）．当时，直接写出m的取值范围． 10．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，且过点C（2，3），对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，D是x轴上方的对称轴上一点，DE⊥AD交对称轴右侧的抛物线于点E．若AD＝2DE，求点E的坐标； （3）如图2，直线y＝kx﹣2k+1交抛物线于M，N两点（点M在点N的左侧），过点N作y轴的平行线，与MC的延长线交于点P，连接AP，交抛物线于另一点Q，求的最大值． 11．【概念学习】 在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），若图形F上存在一点N（x2，y2），且满足当x1＝x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”． 【初步理解】 （1）如图1，图形F为线段AB，点A（﹣1，2），B（3，2）． ①试判断点M（1.5，0）　 　 （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”． ②请在图中画出点M所有可能的位置．（用阴影部分表示） 【知识应用】 （2）若图形F为直线y＝b，二次函数y＝ax2+2ax+a图象上仅有一个“垂近点”，求b的值． （3）如图2，若图形F为抛物线y4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，求出a的取值范围． 12．已知抛物线L：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），且与x轴的另一个交点为点C． （1）当a＝1时，解决下列问题． ①求抛物线的解析式、顶点坐标以及点C的坐标； ②坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及L的一段，分别记为C1，L1．平移该胶片，使L1所在抛物线对应的函数恰为y＝x2﹣3，求点C1移动的最短路程； （2）已知直线l：y＝k（x+1）．定义：横纵坐标均为整数的点称为“美点”． ①判断直线l是否过点A； ②当k＝a时，直接写出直线l与抛物线L围成的封闭图形边界上“美点”的个数； ③当a时，记抛物线L在0≤x≤2024的部分为L2．光点Q从点A弹出，沿直线l发射，若击中抛物线L2上的“美点”，就算发射成功，直接写出此时整数k的个数． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线上一个动点（点P不与点B，C重合），连接PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，设平行四边形CPBD的面积为S，点P的横坐标为m． （1）求抛物线函数解析式； （2）当点P在第四象限，且S＝6时，求点P坐标． （3）①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C． （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）点D是线段OC上一点，直线BD交抛物线于点M，若BD：DM＝2：3，求直线BM的解析式； （3）在（2）的条件下，点E为线段BM上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以EF，FG为邻边构造矩形EFGH． ①设点E的横坐标为m，矩形EFGH的周长为d，求d关于m的函数关系式，并注明自变量的取值范围； ②当直线d＝t与①中求得的函数的图象有两个交点时，请直接写出t的取值范围． 15．已知y1是自变量x的函数，当y2＝x﹣y1时，称函数y2为函数y1的“平衡函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，m﹣n）为点A“关于y1的平衡点”，点B在函数y1的“平衡函数”y2的图象上． 例如：函数y1＝3x，当y2＝x﹣3x＝﹣2x时，则函数y2＝﹣2x是函数y1＝3x的“平衡函数”． 在平面直角坐标系中，函数y1＝3x的图象上任意一点A（m，3m），点B（m，﹣2m）为点A“关于y1＝3x的平衡点”，点B在函数y1＝3x的“平衡函数”y2＝﹣2x的图象上． （1）求函数的“平衡函数”y2的函数表达式； （2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于的平衡点”B在点A的下方，当AB＝3时，求点A的坐标； （3）点A在函数y1＝2x﹣1的图象上，点A“关于y1＝2x﹣1的平衡点”为点B，设点A的横坐标为m． ①若点B与点A重合，求m的值； ②若点B在y轴的右侧，且点B与点A不重合时，设三角形ABO的面积为y，求y关于m的函数表达式； ③在②的条件下，当直线y＝t与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当F为EG的中点时，请直接写出t的值． 16．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图1，连结PA，PC，求△PAC的面积的最大值； （3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与AC交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 17．抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）若点A（﹣1，0），求m的值； （2）如图，在（1）的条件下，点D（﹣3，t）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，求四边形BDCM的面积为S最大值及此时点M的坐标； （3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围． 18．已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上． （1）求证：抛物线与x轴必有交点． （2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值． （3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）当a＝﹣1时，动直线x＝m与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q． ①设线段PQ的长为d，求d关于m的函数解析式； ②若0＜m＜3，连接PB，PC构成△PBC，当m为何值时，S△PBC最大，并求出其最大值； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），顶点为D．点M、N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接CM，CN． （1）求抛物线的解析式； （2）当点M、N都在第一象限时，∠OCM+∠OCN＝180°，求m的值； （3）设此抛物线点M与点N之间的部分（包括点M、N）的最高点与最低点的纵坐标的差为S， ①求S关于m的函数解析式； ②当S随m增大而增大时，直接写出m的取值范围． 21．抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当S△PBC＝3时，求点P的坐标； （3）如图2，点N是经过点B的直线y＝m（x﹣3）上一点，直线PN∥y轴，交直线BC于点M，过点P作直线PQ∥x轴，交直线BC于点Q． ①当0＜m＜3时，求线段MN长度的最大值； ②记线段MQ的长度为l，当时，求m的取值范围． 22．如图抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C， （1）求抛物线的解析式； （2）点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； （3）将抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，若新抛物线的顶点G在△ABC内（不含边界），直接写出m的取值范围． 23．如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，5），直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）． （1）求该抛物线的解析式及D，E两点的坐标； （2）如图2，将位于直线DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，点P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G． ①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标； ②在点P的运动过程中，请求出线段PQ的最大值． 24．如图1，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）已知点M是抛物线的顶点，点E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作ED⊥x轴于点D，交抛物线于点F． ①求四边形ABMC的面积； ②求△CEF的边CE上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 五．三角形综合题（共1小题） 25．（1）证明推断 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的高，点E是边AB上一点，连接CE，过点A作CE的垂线，垂足为F，交CD于点G． ①求证：△ADG≌△CDE；②推断：的值为 　 　 ； （2）类比探究 如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，m，CD是AB边上的高，点E是边AB上一点，连接CE，过点A作CE的垂线，垂足为F，交CD于点G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用 在（2）的条件下，连接DF．当m，AF平分∠BAC时，若BE＝10，求DF的长． 六．四边形综合题（共2小题） 26．“折纸”是同学们经常做的手工活动． 【活动一】 如图1，有一张长方形纸片ABCD，AB＝30cm，BC＝40cm，小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点A′落在纸片的内部，折痕与边AD交于点E，第2次折叠，在边DC上取一点F，将∠ADC沿EF进行折叠，使得点D落在射线EA′上． （1）如图1，在第1次折叠中，若点A′恰好落在对角线BD上，则AE＝　 　 ； （2）用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕EF（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚），并求出DF的最大值． 【活动二】 如图3，有一张四边形纸片MNPQ，已知∠MQP＝∠MNP＝90°，MN＝45cm，MQ＝35cm，PQ＝30cm，小明认为他可以用一张边长为35cm的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片MNPQ一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由． 27．综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的限光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图②）． 问题1：重叠部分的△ABC的形状 　 　 （是、不是）等腰三角形． 问题2：如果长方形纸片AB＝4cm，BC＝5cm，重叠部分△ABC的面积为 　 　 cm2． （2）折纸2：如图③，长方形纸片ABCD，点E为边CD上一点，将△BCE沿着直线BE折叠，使点C的对应点F落在边AD上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点E的位置． （3）折纸3：如图④，长方形纸片ABCD，AB＝5，BC＝6，若点M为射线BC上一点，将△ABM沿着直线AM折叠，折叠后点B的对应点为B'，当点B'恰好落在BC的垂直平分线上时，求BM的长． 七．圆内接四边形的性质（共1小题） 28．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG． （1）求证：FB2＝FE•FG； （2）若AB＝6，求FB和EG的长． 八．三角形的外接圆与外心（共1小题） 29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝120°，OP⊥AC于点P，OP＝1，则AC的长为（　　） A． B． C． D．2 九．直线与圆的位置关系（共1小题） 30．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE． （1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠ECD，CE，求⊙O的半径． 一十．切线的性质（共1小题） 31．△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN． （1）如图1，连接OC，求证：∠BAC＝∠DOC； （2）如图2，当AC是⊙O的直径，点E是OD的中点，时，连接BD，求图中阴影部分的面积． 一十一．切线的判定（共1小题） 32．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线MN，使得∠ACN＝∠ABC． （1）求证：直线MN是⊙O的切线． （2）点D为直线MN上一点，连接AD，交⊙O于点E，若AC平分∠BAD，DE＝3，AC＝2CD，求图中阴影部分（弓形）的面积． 一十二．切线的判定与性质（共2小题） 33．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC，AC于点D，F，过点D作DE⊥CF于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AF＝2DE，，求图中阴影部分的面积． 34．如图，在⊙O中，BC为非直径弦，以BC为边作△ABC，边AB交⊙O于点D，且点D是劣弧BC的中点，CD是△ABC的角平分线． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）当∠BCD＝30°，时，求阴影部分的面积． 一十三．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 35．如图，正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点A′、B′处，且点B'恰好为线段CD的中点，A′B′交AD于点G，作DP⊥MN于点P，交AB于点Q．若AG＝4， （1）正方形ABCD的边长是　 　 ． （2）PM的长＝　 　 ． 36．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连结AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝　 　 ． 一十四．相似三角形的判定与性质（共4小题） 37．如图，在⊙O中，弦AB＝CD＝24，将沿AB翻折，恰好与弦CD相切于点N，若⊙O的半径是13，则切线长CN的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 38．如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，连接AD．若，则AE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 39．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD折叠得到△AED，AE与边BC相交，连接BE，CE；过点C作CG⊥AD于点G，交AE于点H．若，，CD＝DE，则CG的长为　 　 ． 40．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，CG＝2，求阴影部分的面积． 一十五．圆周角定理（共1小题） 41．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是劣弧的中点，连接BC，CD．若∠ABC＝26°，则∠BCD的度数为　 　 ． 2025年06月11日18154414015的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 29 37 38 答案 D C D B D B 一．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），开口向下，对称轴为直线x＝﹣1．下列结论正确的是（　　） A．ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a﹣3b+c＞0 D．at2+bt＜a﹣b（t≠﹣1） 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．版权所有 【答案】D 【分析】根据题意，结合二次函数的图象和性质与系数的关系并对四个选项依次进行判断即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与y轴的正半轴相交， ∴a＜0，c＞0， ∴ac＜0，故选项A不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个不同交点， ∴b2﹣4ac＞0，故选项B不符合题意； ∵对称轴是直线x＝﹣1，经过点（1，0）， ∴抛物线经过点（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0，故选项C不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴x＝﹣1时y取最大值， ∴at2+bt+c＜a﹣b+c（t≠﹣1）， ∴at2+bt＜a﹣b（t≠﹣1），故选项D符合题意； 故答案为：D． 2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③2a+b＝0；④3a+c＜0；⑤（a+c）2＞b2．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【答案】C 【分析】根据所给二次函数的图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， 所以a＜0． 抛物线的对称轴在y轴右侧， 所以， 所以b＞0． 因为抛物线与y轴的交点在正半轴， 所以c＞0， 所以abc＜0． 故①正确． 因为抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝1， 所以当x＝1时，函数取得最大值为a+b+c， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于a+b+c， 即am2+bm+c≤a+b+c， 所以am2+bm≤a+b． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以， 即2a+b＝0． 故③正确． 由函数图象可知， 当x＝3时，函数值小于零， 所以9a+3b+c＜0， 又因为b＝﹣2a， 所以9a+3×（﹣2a）+c＜0， 即3a+c＜0． 故④正确． 因为抛物线对称轴为直线x＝1，且x＝3时函数值小于零， 所以当x＝﹣1时，函数值小于零； 又因为当x＝1时，函数值大于零， 则a﹣b+c＜0，a+b+c＞0， 所以﹣b＜a+c＜b， 所以（a+c）2＜b2． 故⑤错误． 故选：C． 二．抛物线与x轴的交点（共1小题） 3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】D 【分析】由题干条件可以得出二次函数解析式y＝﹣（x+1）2+4，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断． 【解答】解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误； 选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误； 选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确． 故选：D． 三．二次函数的应用（共5小题） 4．某商场经营一种进价为100元/件的商品，根据市场调查发现，该商品日销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系，且100≤x≤200，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/（元/件） … 120 140 160 180 … 销售量y/件 … 3000 2400 1800 1200 … （1）求y与x之间的函数解析式； （2）求该商品的日销售利润W的最大值； （3）该商场这种商品参加“迎五一，大返现”活动，决定每销售一件该商品便向顾客返现a（a＞0）元．根据市场情况，若150≤x≤170，要保证日销售利润不低于84000元，求a的取值范围． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【答案】（1）y＝﹣30x+6600； （2）W有最大值为108000； （3）0＜a≤10． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为W元，根据利润＝单件利润×销售量；求出W关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为W元，根据利润＝单件利润×销售量﹣a×销售量求出W关于x的函数表达式，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【解答】解：（1）设y＝kx+b， 由题意可得：， ∴， ∴y＝﹣30x+6600； （2）日销售利润W＝（x﹣100）•y ＝（x﹣100）（﹣30x+6600） ＝﹣30x2+9600x﹣660000 ＝﹣30（x﹣160）2+108000， ∵100≤x≤200， ∴当x＝160时，W有最大值为108000； （3）设返现后日销售利润为W′元， W′＝（x﹣10﹣a）•y＝（x﹣10﹣a）（﹣30x+6600）， ∵150≤x≤170，要保证日销售利润不低于84000元，且W′图象的开口向下， ∴， 解得：0＜a≤10． 5．科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程． ①在科研所到宿舍楼之间修一条高科技的道路；②对宿舍楼进行防辐射处理， 已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为y＝ax+b（0≤x≤3）．当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿舍楼的距离为3km或大于3km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设修路的费用与x2成正比，且比例系数为m万元，配套工程费w＝防辐射费+修路费． （1）当科研所到宿舍楼的距离x＝3km时，防辐射费y＝　0　 万元，a＝　﹣360　 ，b＝　1080　 ； （2）若m＝90时，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工程费最少？ （3）如果最低配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于等于3km，求m的范围？ 【考点】二次函数的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）当x＝1时，y＝720，当x＝3时，y＝0，将x、y代入y＝ax+b，结课求解； （2）①当0≤x≤3时，配套工程费W＝90x2﹣360x+1080，②当x≥3时，W＝90x2，分别求最小值即可； （3）0≤x≤3，W＝mx2﹣360x+1080，（m＞0），其对称轴x，然后讨论：x3时和x3时两种情况m取值即可求解． 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝720，当x＝3时，y＝0，将x、y代入y＝ax+b， 解得：a＝﹣360，b＝1080， 故答案为：0，﹣360，1080； （2）①当0≤x≤3时，配套工程费W＝90x2﹣360x+1080， ∴当x＝2时，Wmin＝720； ②当x≥3时，W＝90x2， W随x最大而最大， 当x＝3时，Wmin＝810＞720， ∴当距离为2公里时，配套工程费用最少； （3）∵0≤x≤3， W＝mx2﹣360x+1080，（m＞0），其对称轴x， 当x3时，即：m≥60， Wmin＝m（）2﹣360（）+1080， ∵Wmin≤675，解得：60≤m≤80； 当x3时，即m＜60， 当x＝3时，Wmin＝9m＜675， 解得：0＜m＜60， 故：0＜m≤80． 6．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【答案】（1）y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6；6m； （2）（2，0）； （3）． 【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标； （3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案． 【解答】解：（1）如图，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+1.6， 又∵抛物线过点（0，1.2）， ∴1.2＝4a+1.6， ∴a＝﹣0.1， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，当y＝0时，﹣0.1（x﹣2）2+1.6＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； （2）解：∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）解：∵EF＝0.5， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴0.5＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，解得， ∵x＞0， ∴， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5， 则， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.2＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则， ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 7．为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝2m，EF＝0.5m．其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，喷水口到绿化带的水平距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）通过计算求点B的坐标； （3）绿化带右侧（图中点E的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出d的取值范围． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【答案】（1）上边缘的抛物线解析式为：y（x﹣2）2+2，喷出水的最大射程OC长6 m； （2）点B的坐标为（2，0）； （3）3≤d≤2． 【分析】（1）易得上边缘的抛物线顶点A的坐标为（2，2），用顶点式设出抛物线解析式，把点H的坐标代入可得二次项系数的值，即可求得上边缘的抛物线的解析式，取y＝0，求得相对应的x的正值，求得点C的坐标即可求得OC的长度； （2）求得点H在上边缘的抛物线上的对称点，即可判断出下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移几个单位长度得到的，就能求得下边缘的抛物线解析式，取y＝0，求得相对应的x的正值，即可求得点B的坐标； （3）要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线恰好经过点F；不会淋湿行人，那么上边缘抛物线恰好经过人行道的左边缘，求出相关的d的值，即可求得d的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点A的坐标为（2，2）． ∴设上边缘的抛物线解析式为：y＝a（x﹣2）2+2． ∵经过点H（0，1.5）， ∴4a+2＝1.5． 解得：a． ∴上边缘的抛物线解析式为：y（x﹣2）2+2． 当y＝0时，0（x﹣2）2+2． （x﹣2）2＝16． 解得：x1＝6，x2＝﹣2． ∵点C在x轴正半轴， ∴C（6，0）． ∴喷出水的最大射程OC长6 m； （2）∵点H（0，1.5）在上边缘抛物线抛物线的对称点的坐标为（4，1.5）． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到． ∴下边缘的抛物线解析式为：y（x﹣2+4）2+2（x+2）2+2． 当y＝0时，0（x+2）2+2． 解得：x1＝﹣6，x2＝2． ∵点B在x轴的正半轴， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）由题意得：点F的纵坐标为0.5． 若上边缘抛物线恰好经过点F，则0.5（x﹣2）2+2． （x﹣2）2＝12． 解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2． ∵点F在第一象限， ∴x＝2+2． ∴点E的坐标为（2+2，0）． ∴OE＝（2+2）m． ∵DE＝2m， ∴OD＝2 m． 若上边缘的抛物线恰好经过人行道的左边缘．则：0（d+2+1﹣2）2+2． （d+1）2＝16． 解得：d1＝3，d2＝﹣5． ∵距离d为正数， ∴d＝3． ∴d的取值范围为：3≤d≤2． 8．如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为（4，4）．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是； ①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点（13，2）？请说明理由． （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E横坐标xE的取值范围 　xE≥10　 ． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【答案】（1）抛物线L的解析式为：y（x﹣4）2+4； （2）①点A的横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点（13，2），理由见解答部分； （3）xE≥10． 【分析】（1）用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把（0，0）代入可得a的值，即可求得抛物线L的解析式； （2）①取（1）中的y＝0，求得合适的x的解即为点A的横坐标； ②求出反弹后的抛物线解析式，取x＝13，看y是否是2可得反弹后的小球是否经过点（13，2）； （3）求得抛物线L与一次函数的交点D，进而求得反弹后的抛物线解析式，那么可求得反弹后的抛物线与一次函数的交点，则挡板的端点E在反弹后的抛物线与一次函数的交点或者交点的右边． 【解答】解：（1）设抛物线L的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4， ∵经过点（0，0）， ∴0＝a（0﹣4）2+4， 解得：a， ∴抛物线L的解析式为：y（x﹣4）2+4； （2）①当y＝0时，0（x﹣4）2+4， （x﹣4）2＝16， （x﹣4）2＝±4， 解得：x1＝0，x2＝8， ∴点A的横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点（13，2），理由如下： 由题意得：反弹后的抛物线的顶点的纵坐标为，二次项的系数不变， ∴设反弹后的抛物线解析式为：y（x﹣h）2， ∵过点（8，0）， ∴0（8﹣h）2， （8﹣h）2＝9， 8﹣h＝±3， 解得：h1＝5（不合题意，舍去），h2＝11， ∴y（x﹣11）2， 当x＝13时，y2， ∴反弹后的小球不经过点（13，2）； （3）由题意得：， 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝7， ∴点D的坐标为（7，）， 设反弹后的抛物线解析式为：y（x﹣m）2， ∵经过点D（7，）， ∴（7﹣m）2， 解得：m1＝5（不合题意，舍去），m2＝9， ∴y（x﹣9）2， ∴， 解得：x1＝7（不合题意，舍去），x2＝10， ∴反弹后抛物线与挡板的交点的横坐标为10， ∴挡板端点E横坐标xE的取值范围是xE≥10． 故答案为：xE≥10． 四．二次函数综合题（共16小题） 9．如图1，抛物线过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线G1的函数解析式及对称轴； （2）点P为直线BC下方抛物线上的动点，当△ACP的面积是4时，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线G2与G1相交于点A，B，且与y轴交于点（0，8）．点E（m，n）位于第一象限且在抛物线G2上，过点E作平行于x轴的直线，交抛物线G2于另一点F（点F在点E左侧），交抛物线G1于点M，N（点N在点M左侧）．当时，直接写出m的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）抛物线的关系式为，抛物线的对称轴是直线x＝1；（2）点P（2，﹣4）；（3）． 【分析】（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入，得出方程组，求出解即可； （2）作PD⊥AB，设点P（x2），可得点D，即可表示出DO，DP，CO，AO，CO，再根据S四边形OCPD+S△ACO﹣S△ADP＝S△ACP＝得出方程，结合点P的位置求出解； （3）将点（0，8）代入关系式y＝a（x+2）（x﹣4）可求出关系式，再根据点E的坐标及对称轴求出EF，分MN＝2EF，MN＝3EF两种情况求出m值，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣2，0），B（4，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1； （2）如图所示，过点P作PD⊥AB，交x轴于点D， 设点，可得点D（a，0）， ∴DO＝a， 则， 当x＝0时，y＝﹣4， ∴点C（0，﹣4）， ∵A（﹣2，0），B（4，0）， ∵CO＝4，AO＝2， ∴AD＝a+2， ∴， 即， 解得a＝﹣4（舍去），a＝2， ∴点P（2，﹣4）； （3）设抛物线G2的关系式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 将点（0，8）代入得2×（﹣4）a＝8， 解得a＝﹣1， ∴抛物线G2的关系式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， 则抛物线G2的对称轴也是x＝1， ∵点E（m，n），对称轴为x＝1， ∴点F（2﹣m，n）， ∴EF＝2m﹣2， 当时，即MN＝3EF， ∴EM＝EF＝2m﹣2， ∴点M（3m﹣2，n）， ∴， 解得或（舍去）； 当时，即MN＝2EF， ∴ ∴点M（2m﹣1，n）， ∴， 解得或（舍去）， ∵0＜m＜4， ∴． 10．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，且过点C（2，3），对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，D是x轴上方的对称轴上一点，DE⊥AD交对称轴右侧的抛物线于点E．若AD＝2DE，求点E的坐标； （3）如图2，直线y＝kx﹣2k+1交抛物线于M，N两点（点M在点N的左侧），过点N作y轴的平行线，与MC的延长线交于点P，连接AP，交抛物线于另一点Q，求的最大值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明△DGE∽△AHD，得到，进而求解； （3）过点Q作QT∥PS 交x轴于点T，则，当直线QT与抛物线有唯一公共点时，AT最大，此时取得最大值，进而求解． 【解答】解：（1）∵对称轴为 ， ∴b＝2， ∴﹣4+4+c＝3， ∴c＝3， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设对称轴交x轴于点H，过点E作 EG⊥DH于点G， 则△DGE∽△AHD， ∴，设D（1，t）， 由﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0）， ∴AH＝2． 则 ， ， ∴GH＝t﹣1， ∴点E的坐标为 ， ∴， 解得：t＝22或﹣22（舍去）， ∴点E的坐标为 ； （3）设点M，N的横坐标分别为m，n， 联立y＝kx﹣2k+1和抛物线的表达式并整理得：x2+（k﹣2）x﹣2k﹣2＝0， ∴m+n＝﹣k+2，mn＝﹣2k﹣2， ∴﹣mn＝﹣2（m+n）+6， 由C（2，3），M（m，﹣m2+2m+3），得CM：y＝﹣mx+2m+3， ∴当 x＝n 时，yP＝﹣mn+2m+3＝﹣2（m+n）+6+2m+3＝﹣2n+9， ∴P（n，﹣2n+9）， ∴点P在直线l：y＝﹣2x+9上， 设直线l交x轴于点S，则 ， 过点Q作QT∥PS 交x轴于点T， 则， 当直线QT与抛物线有唯一公共点时，AT最大，此时取得最大值， 设QT的表达式为：y＝﹣2x+s， 联立上式和抛物线的表达式并整理得：x2﹣4x+s﹣3＝0， 由Δ＝16﹣4（s﹣3）＝0， 解得 s＝7，此时， ∴ 的最大值为 ． 11．【概念学习】 在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），若图形F上存在一点N（x2，y2），且满足当x1＝x2时，MN≤2，则称点M为图形F的一个“垂近点”． 【初步理解】 （1）如图1，图形F为线段AB，点A（﹣1，2），B（3，2）． ①试判断点M（1.5，0）　是　 （填“是”或“不是”）线段AB的“垂近点”． ②请在图中画出点M所有可能的位置．（用阴影部分表示） 【知识应用】 （2）若图形F为直线y＝b，二次函数y＝ax2+2ax+a图象上仅有一个“垂近点”，求b的值． （3）如图2，若图形F为抛物线y4，正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交点）为P（a，0），如果正方形ABCD上存在“垂近点”，求出a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据“垂近点”的定义，即可进行判断， （2）将y＝ax2+2ax+a化成顶点式，分a＜0，a＞0，两种情况进行讨论，根据“垂近点”的定义，即可求解， （3）由题意得A（a﹣1，﹣1），B（a+1，﹣1），C（a+1，1），D（a﹣1，1），设正方形上点M是抛物线y4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2，分a＜0，a＞0，两种情况，点M分别与点D、B、C、A重合时，列出等量关系式，即可求解， 【解答】解：（1）①当x＝1.5时，|2﹣0|＝2≤2， ∴点M（1.5，0）是线段AB的“垂近点”， 故答案为：是； ②M所有可能的位置，如图所示， （2）将y＝ax2+2ax+a化成顶点式，y＝a（x+1）2， 当a＜0时，b， 当a＞0时，b， ∴b或b， （3）∵点P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为2， ∴A（a﹣1，﹣1），B（a+1，﹣1），C（a+1，1），D（a﹣1，1）， 设正方形上点M是抛物线y4的“垂近点”，抛物线上存在点N（xN，yN），使得当xM＝xN时，MN≤2， 当点P在y轴右侧时，a＞0， 如图2，当点M与点D重合时，， ∴MN4﹣1＝2， 解得：a＝1+2或a＝1﹣2（不合题意，舍去）， 如图3，当点M与点B重合时，， ∴MN＝﹣14＝2， 解得：a＝1或a＝﹣3（舍）， 当点P在y轴左侧时，a＜0， 如图4，当点M与点C重合时，， ∴MN4﹣1＝2， 解得：a＝﹣1﹣2或a＝﹣1+2（舍）， 如图4，当点M与点A重合时，， ∴MN＝﹣14＝2， 解得：a＝﹣1或a＝3（舍）， ∴当1≤a≤1+2或﹣1﹣2a≤﹣1时，正方形上存在抛物线y4的“垂近点”． 12．已知抛物线L：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0），且与x轴的另一个交点为点C． （1）当a＝1时，解决下列问题． ①求抛物线的解析式、顶点坐标以及点C的坐标； ②坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及L的一段，分别记为C1，L1．平移该胶片，使L1所在抛物线对应的函数恰为y＝x2﹣3，求点C1移动的最短路程； （2）已知直线l：y＝k（x+1）．定义：横纵坐标均为整数的点称为“美点”． ①判断直线l是否过点A； ②当k＝a时，直接写出直线l与抛物线L围成的封闭图形边界上“美点”的个数； ③当a时，记抛物线L在0≤x≤2024的部分为L2．光点Q从点A弹出，沿直线l发射，若击中抛物线L2上的“美点”，就算发射成功，直接写出此时整数k的个数． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）①y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4），C（3，0）； ②； （2）①过点A； ②5个点； ③1012个． 【分析】（1）①把A（﹣1，0）代入L：y＝ax2+bx﹣3a（a≠0），得出0＝a﹣b﹣3a＝﹣b﹣2a，结合a＝1，得b＝﹣2，则y＝x2﹣2x﹣3，所以顶点坐标为（1，﹣4），则C（3，0）； ②由①知y＝（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4）；结合函数y＝x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3）；根据勾股定理求出这两点间的距离，则点C1移动的最短路程为； （2）①把A（﹣1，0）代入l：y＝k（x+1）得等号左右相等，即直线l过点A； ②当时，，解得b＝﹣1；顶点坐标为（1，﹣2），作图运用数形结合思想，即可作答． ③因为，则b＝﹣13，则，结合光点Q从点A弹出，沿直线l发射，若击中抛物线L2上的“美点”，就算发射成功，建立，整理得，因为x，k均为整数，当x为偶数时，k为的整数倍，不是整数，不符合题意；当x为奇数时，k为13 的整数倍，是整数，符合题意；则0≤x≤2024，此时整数k的个数为1012个． 【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0）， ∴把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）， 得0＝a﹣b﹣3a＝﹣b﹣2a， ∵a＝1， ∴0＝﹣b﹣2×1， 解得b＝﹣2， ∴把b＝﹣2，a＝1代入y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）， 得出y＝x2﹣2x﹣3； ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 则顶点坐标为（1，﹣4）； ∵y＝x2﹣2x﹣3与x轴的另一个交点为点C， ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝0， 则x1＝﹣1 x2＝3， ∴C（3，0）； ②由①知 y＝（x﹣1）2﹣4 的顶点坐标为 （1，﹣4）； ∵坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及L的一段，分别记为C1，L1，平移该胶片，使L1所在抛物线对应的函数恰为y＝x2﹣3， ∴函数y＝x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3）， 即点C移动的最短路程为（1，﹣4）与 （0，﹣3）之间的距离（两点之间线段最短）， ∴， ∴点C1移动的最短路程为． （2）①依题意，把x＝﹣1代入y＝k（x+1）， 得y＝k（x+1）＝k（﹣1+1）＝0， ∴直线l过点A； ②抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0）， ∴把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）， 得0＝a﹣b﹣3a＝﹣b﹣2a， 当时， ∴， 解得b＝﹣1， ∴，顶点坐标为（1，﹣2）， ∴， 则直线l与抛物线L围成的封闭图形如图所示， ∴边界上“美点”的个数有5个点； ③抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0）， ∴把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）， 得0＝a﹣b﹣3a＝﹣b﹣2a， ∵， ∴b＝﹣13， ∴， ∵光点Q从点A弹出，沿直线l发射，若击中抛物线L2上的“美点”，就算发射成功， ∴， ∴， ∴， ∵x，k均为整数，抛物线L在0≤x≤2024的部分为L2， ∴当x＝0时，则（不符合题意，舍去）； 当x＝1时，则（符合题意）； 当x＝2时，则（不符合题意，舍去）； 当x＝3时，则（符合题意）； 当x＝4时，则（不符合题意，舍去）； 当x＝5时，则（符合题意）； 以此类推，当x为偶数时，k为的整数倍，不是整数，不符合题意； 以此类推，当x为奇数时，k为13的整数倍，是整数，符合题意； ∴0≤x≤2024含有（个）， ∴此时整数k的个数为1012个． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线上一个动点（点P不与点B，C重合），连接PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，设平行四边形CPBD的面积为S，点P的横坐标为m． （1）求抛物线函数解析式； （2）当点P在第四象限，且S＝6时，求点P坐标． （3）①求S与m之间的函数关系式． ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）（1，﹣4）或（2，﹣3）； （3）①； ②当时，点P的个数有两个；当时，点P的个数有三个；当时，点P的个数有四个． 【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式； （2）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x﹣5，设P（m，m2﹣2m﹣5），则Q（m，m﹣5），然后求出PQ长，根据S＝2S△PBC＝2（S△PQC+S△PQB）求出S，代入数值即可解方程求得点P的坐标； （3）①根据（2）得到0＜m＜3时的解析式，当m＜0或m＞3时，如图2，PQ＝m2﹣3m，同理可得 S＝3m2﹣9m； ②画出S关于m的函数图象，然后根据函数的图象分三种情况解答即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3， ∴抛物线函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1， 设直线BC的解析式为y＝kx+a，把C（0，﹣3），B（3，0）代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为 y＝x﹣3， 设P（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3）， 当0＜m＜3时，如图1，PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3， ， ∵S＝6， ∴﹣3m2+9m＝6， 解得：m1＝1，m2＝2， ∴点P的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）； （3）①由（2）得当0＜m＜3时，S＝﹣3m2+9m； 当 m＜0或m＞3时，如图2， PQ＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m， ∴， 综上所述：S； ②当0＜m＜3时，， S关于m的函数图象如图3所示， ∴当时，点P的个数有两个； 当时，点P的个数有三个； 当时，点P的个数有四个． 14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C． （1）填空：a＝ 　　 ，b＝ 　﹣1　 ； （2）点D是线段OC上一点，直线BD交抛物线于点M，若BD：DM＝2：3，求直线BM的解析式； （3）在（2）的条件下，点E为线段BM上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以EF，FG为邻边构造矩形EFGH． ①设点E的横坐标为m，矩形EFGH的周长为d，求d关于m的函数关系式，并注明自变量的取值范围； ②当直线d＝t与①中求得的函数的图象有两个交点时，请直接写出t的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）；﹣1； （2）； （3）①； ②t的取值范围为6＜t≤8或或；理由见解答过程． 【分析】（1）由待定系数法可求出答案； （2）过点M作MN⊥x轴于点N，证明△BDO∽△BMN，得出，根据BD：DM＝2：3，求出NO＝5﹣2＝3，得出N（﹣3，0），把x＝﹣3代入求出，用待定系数法求出直线解析式即可； （3）①根据点E的横坐标为m，得出，，求出，分两种情况：当﹣3＜m＜﹣1时，当﹣1＜m＜2时，分别求出结果即可； ②先根据①的结论画出d的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， 故答案为：；﹣1； （2）过点M作MN⊥x轴于点N，如图1： 则∠MNB＝90°， ∵∠MNB＝∠DOB＝90°，∠DBO＝∠NBM， ∴△BDO∽△BMN， ∴， ∵BD：DM＝2：3， ∴， ∴， ∵B（2，0）， ∴BO＝2， ∴BN＝5， ∴NO＝5﹣2＝3， ∴N（﹣3，0）， 由（1）知：抛物线的解析式为，将x＝﹣3代入得： ， ∴， 设直线BM的解析式为y＝kx+b（k≠0），把点B，点M的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BM的解析式为； （3）∵点E的横坐标为m， ∴，， 则， 根据解析（1）可知：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 当﹣3＜m＜﹣1时，如图2， 则FG＝2（﹣1﹣m）＝﹣2m﹣2， ∴d＝2（EF+FG） ＝﹣m2﹣5m+2； 当﹣1＜m＜2时，如图4， FG＝2（m+1）＝2m+2， ∴d＝2（EF+FG） ＝﹣m2+3m+10； 综上所述，； ②t的取值范围为6＜t≤8或或；理由如下： d关于m的函数图象如图5， 当﹣3＜m＜﹣1时，， 此时； 当﹣1＜m＜2时，， 此时； 由图象可知，当直线d＝t与①中求得的函数的图象有两个交点时，t的取值范围为6＜t＜8或或． 15．已知y1是自变量x的函数，当y2＝x﹣y1时，称函数y2为函数y1的“平衡函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，m﹣n）为点A“关于y1的平衡点”，点B在函数y1的“平衡函数”y2的图象上． 例如：函数y1＝3x，当y2＝x﹣3x＝﹣2x时，则函数y2＝﹣2x是函数y1＝3x的“平衡函数”． 在平面直角坐标系中，函数y1＝3x的图象上任意一点A（m，3m），点B（m，﹣2m）为点A“关于y1＝3x的平衡点”，点B在函数y1＝3x的“平衡函数”y2＝﹣2x的图象上． （1）求函数的“平衡函数”y2的函数表达式； （2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于的平衡点”B在点A的下方，当AB＝3时，求点A的坐标； （3）点A在函数y1＝2x﹣1的图象上，点A“关于y1＝2x﹣1的平衡点”为点B，设点A的横坐标为m． ①若点B与点A重合，求m的值； ②若点B在y轴的右侧，且点B与点A不重合时，设三角形ABO的面积为y，求y关于m的函数表达式； ③在②的条件下，当直线y＝t与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当F为EG的中点时，请直接写出t的值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）； （2）或（1，2）； （3）①； ②； ③． 【分析】（1）根据“平衡函数”的定义解答即可； （2）设点A（m，2m2），则点B（m，m﹣2m2），根据题意可得2m2﹣（m﹣2m2）＝3，解方程即可求解； （3）①由题意得点A的坐标为（m，2m﹣1），点B的坐标为（m，﹣m+1），即得2m﹣1＝﹣m+1，解方程即可求解； ②分和两种情况根据三角形的面积公式解答即可求解； ③画出函数图象，求出点E、F、G的横坐标，再根据中点坐标公式列出方程即可求解． 【解答】解：（1）∵当y2＝x﹣y1时，称函数y2为函数y1的“平衡函数”，， ∴函数的“平衡函数”y2的函数表达式为， 即； （2）点A在函数y1＝2x﹣1的图象上，点A“关于y1＝2x﹣1的平衡点”为点B， 设点A（m，2m2），则点B（m，m﹣2m2）， ∵AB＝3，点B在点A的下方， ∴2m2﹣（m﹣2m2）＝3， 整理得，4m2﹣m﹣3＝0， 解得，m2＝1， ∴点A的坐标为或（1，2）； （3）①由题意得点A的坐标为（m，2m﹣1）， ∴点B的坐标为（m，﹣m+1）， ∵点B与点A重合， ∴2m﹣1＝﹣m+1， 解得； ②当，即2m﹣1＜﹣m+1时，点B在点A的上方， ∴AB＝﹣m+1﹣（2m﹣1）＝﹣3m+2， ∴； 当，即2m﹣1＞﹣m+1时，点B在点A的下方， ∴AB＝2m﹣1﹣（﹣m+1）＝3m﹣2， ∴； 综上，； ③如图，把y＝t代入得，， 解得，， 即点E的横坐标为，点F的横坐标为， 把y＝t代入得，， 解得，， ∴点G的横坐标为， ∵点F为EG的中点， ∴， 整理得，， 解得． 16．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图1，连结PA，PC，求△PAC的面积的最大值； （3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与AC交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）先求出直线AC的解析式为 y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则Q（t，t+3），用含t的代数式表示△APC的面积，进而即可求解； （3）分两种情况：①△CPQ∽△ADQ；②△PCQ∽△ADQ，讨论即可． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A（﹣3，0）、C（0，3）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 过点P作PN⊥x轴交直线AC于点N，如图1， 设P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t，t+3）， ∴PN＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∴S△ACP＝S△APN+S△CPN3×PNPN（﹣t2﹣3t）， ∴当t时，S△ACP有最大值，最大值为； （3）当△CPQ∽△ADQ时，如图2，连接AP， ∴∠CPQ＝∠ADQ＝90°， ∴CP∥x轴， ∴点P的纵坐标为3， ∴3＝﹣x2﹣2x+3， 解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣2， ∴P（﹣2，3）； 当△PCQ∽△ADQ时，如图3，过点C作CM⊥PD于M， ∴∠PCQ＝∠ADQ＝90°， ∴C（0，3），A（﹣3，0），PD⊥x轴， ∴OC＝OA＝3，∠OAC＝45°， ∴∠CQP＝∠CPQ＝45°， ∵PC＝QC， ∵PQ＝2CM， 由（2）得PQ＝﹣t2﹣3t，CM＝﹣t， ∴﹣t2﹣3t＝﹣2t， 解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1， ∴P（﹣1，4）， 综上，点P的坐标为（﹣2，3）或 （﹣1，4）． 17．抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）若点A（﹣1，0），求m的值； （2）如图，在（1）的条件下，点D（﹣3，t）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，求四边形BDCM的面积为S最大值及此时点M的坐标； （3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）m＝﹣1 （2）， （3）①；理由见解答过程； ②当1≤n≤5时m的取值范围为；理由见解答过程． 【分析】（1）把点A坐标代入抛物线方程，求解方程得m； （2）先确定各点坐标与直线BC解析式，将S拆分为S△BDC+S△BCM，用坐标表示面积得二次函数，依其性质求解； （3）①求n关于m关系式：确定P，C坐标得直线PC式，平移后联立抛物线，由判别式Δ＝0推导； ②求m取值范围，将n关系式代入不等式，换元求解再回代． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于点A和点B，将点A（﹣1，0）代入得： 1+（m+3）+3m＝0， 解得：m＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）点D（﹣3，t）是抛物线y＝x2﹣2x﹣3上一点，代入得：t＝12， ∴D（﹣3，12）， 抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． 当y＝0时，得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴B（3，0），C（0，﹣3）， ∴AB＝4， 设CD的解析式为y＝kx﹣3，将点D坐标代入得： ﹣3k﹣3＝12， 解得：k＝﹣5， ∴CD的解析式为y＝﹣5x﹣3， 当y＝0时，得：﹣5x﹣3＝0， 解得：x， ∴S△BDC（3）×（12+3）＝27， 过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴y＝x﹣3， 设M（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a，a﹣3）， ∴MQ＝﹣a2+3a， ∴， ∴， ∴当， 此时； （3）①；理由如下： y＝x2﹣（m+3）x+3m的对称轴为直线， ∴， 设直线PC的解析式为y＝k′x+b′，将点P，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴y＝﹣6x+3m， ∴直线PC平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n， 联立， 整理得x2﹣（m﹣3）x+n＝0， ∵直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点， ∴Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0， ∴； ②当1≤n≤5时m的取值范围为；理由如下： 当n＝1时，m＝1或m＝5， 当n＝5时，， ∴． 18．已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上． （1）求证：抛物线与x轴必有交点． （2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值． （3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出Δ＝b2﹣4ac的值即可求证； （2）当a＝1时，m＝2t2+7t+3，n＝2t﹣1，那么2t2+7t+3≤2t﹣1+2成立时，可通过画图方法，求得t值； （3）由题意可知，m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1，那么2at2+（6a+1）t+3≤（a+1）t﹣1+2成立时，可整理为2at2+5at+2≤0，不妨设 y′＝2at2+5at+2，那么其对称轴为，仅存在一个整数t，使得2at2+5at+2≤0成立，那么t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0且t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0，从而求得a的取值范围． 【解答】（1）证明：， ∴Δ＝（6a+1）2﹣4×2a×3＝36a2﹣12a+1＝（6a﹣1）2≥0， ∴抛物线与x轴必有交点； （2）解：当a＝1时，，y2＝2x﹣1， ∵点A（t，m）在抛物线上， ∴m＝2t2+7t+3， ∵点B（t，n）在直线y2＝2x﹣1上，将点B的坐标代入得：n＝2t﹣1， ∵m≤n+2， ∴2t2+7t+3≤2t﹣1+2， 即2t2+5t+2≤0， 设w＝2t2+5t+2＝（2t+1）（t+2）， 当或t＝﹣2时，w＝0； 画函数w＝2t2+5t+2如图1： 由图象可知，当w≤0，即m≤n+2，满足条件的整数t的值为﹣2和﹣1； （3）解：依题意得：m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1， 设y′＝m﹣n﹣2， ∴y′＝2at2+5at+2， ∴其对称轴为，如图2： ∵m≤n+2， ∴2at2+5at+2≤0， ∵若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立， ∴t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0； t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0， ∴a的取值范围为：． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）当a＝﹣1时，动直线x＝m与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q． ①设线段PQ的长为d，求d关于m的函数解析式； ②若0＜m＜3，连接PB，PC构成△PBC，当m为何值时，S△PBC最大，并求出其最大值； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）； （2）①d＝|﹣m2+3m|； ②当时，S△PBC有最大，最大值为； （3）a的取值范围是a或a． 【分析】（1）将函数解析式进行因式分解得y＝a（x+1）（x﹣3），即可求出点的坐标； （2）当a＝﹣1时，令x＝0，求出点D的坐标，设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将点B、C的坐标代入，可得直线BC的解析式，①结合题意设P（m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3），则可表示出PQ的长度，进而即可求出d关于m的函数解析式； ②结合图象可知，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ，因此，当时，S△PBC有最大，求出最大值即可； （3）分两种情况讨论：a＞0和a＜0，结合图象确定有6个整数点时，a的最大值和最小值，进而确定a的取值范围． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0， 即a（x+1）（x﹣3）＝0， ∵a≠0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与y轴交于点C．当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、C的坐标代入，得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵动直线x＝m与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q， 设P（m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）， ①∵线段PQ的长为d， ∴|﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）|＝d， 即d关于m的函数解析式为d＝|﹣m2+3m|； ②由题意可知，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ， ∴， ∵，且0＜m＜3， ∴当时，S△PBC有最大，最大值为； （3）y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4a）， 当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 当a＞0时，抛物线经过（0，﹣2）时抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点， ∴﹣3a＝﹣2， 解得a； 抛物线经过（1，﹣3）时抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点， ∴﹣4a＝﹣3， 解得a； 结合函数图象可得，a； 若a＜0，同理可得a； ∴a的取值范围是a或a． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），顶点为D．点M、N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接CM，CN． （1）求抛物线的解析式； （2）当点M、N都在第一象限时，∠OCM+∠OCN＝180°，求m的值； （3）设此抛物线点M与点N之间的部分（包括点M、N）的最高点与最低点的纵坐标的差为S， ①求S关于m的函数解析式； ②当S随m增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）； （3）①； ②m的取值范围为或；理由见解答过程． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过M作ME⊥OC于E，过N作NF⊥OC于F，可得ME＝m，OE＝﹣m2+2m+3，NF＝2m，OF＝﹣4m2+4m+3，EF＝3m2﹣2m，由△MEC∽△NFC得，再根据OC＝OF+CF列出方程即可求解； （3）①由二次函数解析式可得顶点D（1，4），M（m，﹣m2+2m+3），N（2m，﹣4m2+4m+3），分四种情况结合图形解答即可求解； ②分别求得①中四种情况下抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性解答即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过M作ME⊥OC于E，过N作NF⊥OC于F，则∠MEC＝∠NFC＝90°， ∵点M、N都在第一象限，M、N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m， ∴ME＝m，OE＝﹣m2+2m+3，NF＝2m，OF＝﹣4m2+4m+3， ∴EF＝3m2﹣2m， ∵∠OCM+∠OCN＝180°，∠OCM+∠ECM＝180°， ∴∠OCN＝∠ECM， 又∵∠MEC＝∠NFC＝90°， ∴△MEC∽△NFC， ∴， ∴， ∵C（0，3）， ∴OC＝3， ∵OC＝OF+CF， ∴， 解得， ∴m的值为； （3）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点为D（1，4）， ∵点M、N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0）， ∴M（m，﹣m2+2m+3），N（2m，﹣4m2+4m+3）， 如图2， 当点M、N都在顶点D左侧时，，M为最低点，N为最高点， 则S＝﹣4m2+4m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝﹣3m2+2m； 如图3， 当点M在点D左侧，N在顶点D右侧时，，M为最低点，D为最高点， 则S＝4﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m+1； 如图4， 当点M在点D左侧，N在顶点D右侧时，，N为最低点，D为最高点， 则S＝4﹣（﹣4m2+4m+3）＝4m2﹣4m+1； 如图5， 当点M、N都在顶点D右侧时，m＞1，N为最低点，M为最高点， 则S＝﹣m2+2m+3﹣（﹣4m2+4m+3）＝3m2﹣2m； 综上所述，； ②m的取值范围为或；理由如下： 当S＝﹣3m2+2m时，抛物线的对称轴为直线， ∵﹣3＜0， ∴当时，S随m增大而增大， 又∵， ∴； 当S＝m2﹣2m+1时，抛物线的对称轴为直线m＝1， ∵1＞0， ∴当m＞1时，S随m增大而增大， ∵， ∴此种情况不存在； 当S＝4m2﹣4m+1时，抛物线的对称轴为直线， ∵4＞0， ∴当时，S随m增大而增大， ∵， ∴； 当S＝3m2﹣2m时，抛物线的对称轴为直线， ∵3＞0， ∴当，S随m增大而增大， ∵m＞1， ∴m＞1； 综上，当S随m增大而增大时，m的取值范围为或． 21．抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当S△PBC＝3时，求点P的坐标； （3）如图2，点N是经过点B的直线y＝m（x﹣3）上一点，直线PN∥y轴，交直线BC于点M，过点P作直线PQ∥x轴，交直线BC于点Q． ①当0＜m＜3时，求线段MN长度的最大值； ②记线段MQ的长度为l，当时，求m的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）； （2）（1，4）或（2，3）； （3）1≤m≤2． 【分析】（1）y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，可得点C的坐标，令y＝0，求出方程的解，可得A，B的坐标； （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，连接PC，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），根据S△PBC＝S△PEC+S△PEBPE•（xB﹣xC）求出m的值即可； （3）①设P（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣3m），用关于m的二次函数表示出线段MN长度，即可求解； ②依次说明△BOC，△QPM是等腰直角三角形，可得PMMQ2，同（2）可得PM＝﹣m2+3m，即﹣m2+3m≥2，由此可解． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 当x＝0时，得y＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， 综上所述，A，B，C三点的坐标为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标代入，得： ， 解得， ∴y＝﹣x+3． 点P在第一象限内抛物线上运动，如图1，作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，连接PC， 设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3）， ∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∴S△PBC＝S△PEC+S△PEB PE•（xE﹣xC）PE•（xB﹣xE） PE•（xB﹣xC） ＝3， ∴（﹣m2+3m）×（3﹣0）＝3， ∴m2﹣3m+2＝0， 解得m1＝1，m2＝2， ∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）； （3）①设P（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3）， ∵点N是经过点B的直线y＝m（x﹣3）上一点，直线PN∥y轴，交直线BC于点M， ∴N（m，m2﹣3m）， ∴MN＝﹣m+3﹣（m2﹣3m）＝﹣（m﹣1）2+4， ∵0＜m＜3， ∴当m＝1时，线段MN长度的最大值为4； ②∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 又∵PN∥y轴，PQ∥x轴， ∴∠PQM＝∠PMQ＝45°， ∴△QPM是等腰直角三角形， ∴， 同（2）可得PM＝﹣m2+3m， ∵线段MQ的长度为l，l≥2， ∴PMMQ2， ∴﹣m2+3m≥2， ∴m2﹣3m+2≤0， 设w＝m2﹣3m+2， 当w＝0时，m2﹣3m+2＝0， 解得m1＝1，m2＝2， 即函数w＝m2﹣3m+2与x轴交点坐标为（1，0），（2，0），如图2： 由图象可知，当1≤m≤2时，m2﹣3m+2≤0， ∴m的取值范围是1≤m≤2． 22．如图抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C， （1）求抛物线的解析式； （2）点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； （3）将抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，若新抛物线的顶点G在△ABC内（不含边界），直接写出m的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）；理由见解答过程； （2）①；理由见解答过程； ②周长l的最大值为； （3）；理由见解答过程． 【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线解析式y＝ax2+bx﹣2即可求解； （2）①对于抛物线，令x＝0，得到C（0，﹣2），采用待定系数法求得直线BC的解析式为，进而得到，，从而表示出，PM＝|4t﹣t2|，矩形的周长为，分两种情况：点P在点M的左侧，即﹣1＜t≤0；点P在点M的右侧，即0＜t＜4，进行化简即可； ②根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为，从而由平移得到，根据点G在△ABC内（不含边界），得到点G的横坐标的取值范围，进而求解即可． 【解答】解：（1）抛物线的解析式为；理由如下： 抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0）和B（4，0）两点，把点A，点B的坐标代入得： ， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①l关于t的函数关系式为．理由如下： 对于抛物线， 当x＝0时，得：y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，把点B，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为， ∵点P是x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为t， ∴， ∵PM∥x轴， ∴点M的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得x＝t2﹣3t， ∴， ∴，PM＝|t﹣（t2﹣3t）|＝|4t﹣t2|， ∴以PM，PQ为邻边的矩形的周长为， ∴若点P在点M的左侧，即当﹣1＜t≤0时， ， 若点P在点M的右侧，即当0＜t＜4时， ， 综上所述，l关于t的函数关系式为； ②当﹣1＜t≤0时，， ∴当时，l随着t的增大而减小， 当t＝﹣1时，l＝10，当t＝0时，l＝4， ∴4≤l＜10； 当0＜t＜4时，， ∴当时，l有最大值，为， 当t＝0时，l＝4，当t＝4时，l＝0， ∴； 综上所述，周长l的最大值为． （3）．理由如下： ∵抛物线，顶点坐标为， ∴将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，新抛物线的顶点G为， 由点A（﹣1，0），C（0，﹣2）可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2， 对于直线AC：y＝﹣2x﹣2，令，则， 解得． 对于直线，令，则， 解得． ∵点G在△ABC内（不含边界）， ∴， ∴． 23．如图所示，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，5），直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）． （1）求该抛物线的解析式及D，E两点的坐标； （2）如图2，将位于直线DE上方的抛物线沿着直线DE翻折，点P是DE上方的抛物线上的一动点，点P的对应点为点Q，连接PQ交DE于点G． ①当四边形DPEQ是菱形时，请直接写出点P的坐标； ②在点P的运动过程中，请求出线段PQ的最大值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+5，D（﹣1，2），E（4，﹣3）； （2）①； ②． 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得a＝﹣1，再将点C（0，5）代入二次函数的解析式可得c＝5，由此可得二次函数的解析式；然后与直线y＝﹣x+1联立求解可得点D，E的坐标； （2）①设直线DE分别交x轴，y轴于点L，F，PQ交y轴于点H，过点G作GK⊥y轴于点K，先得出∠GFH＝45°，再根据菱形的性质可得DG＝EG，PQ⊥DE，从而可得点G的坐标，然后证出Rt△FGH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得FH＝2GK＝3，从而可得点H的坐标，利用待定系数法可得直线GH的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线DE交y轴于点F，过点P作PJ∥y轴，交DE于点J，设点P的坐标为P（t，﹣t2+2t+5）（﹣1＜t＜4），则点J的坐标为J（t，﹣t+1），PJ＝﹣t2+3t+4，再证出Rt△PJG是等腰直角三角形，且PG＝JG，然后根据轴对称的性质可得PQ＝2PG，利用二次函数的性质求解即可得． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，5）， 依题意得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+5． ∵直线y＝﹣x+1与该抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）， 联立， 解得或， ∴D（﹣1，2），E（4，﹣3）； （2）①点P的坐标为．理由如下： 如图1，设直线DE分别交x轴，y轴于点L，F，PQ交y轴于点H，过点G作GK⊥y轴于点K， 对于直线y＝﹣x+1， 当x＝0时，得：y＝1， 当y＝0时，得：﹣x+1＝0， 解得x＝1， ∴F（0，1），L（1，0）， ∴OF＝OL＝1， ∵∠FOL＝90°， ∴Rt△FOL是等腰直角三角形，且∠GFH＝45°， ∵四边形DPEQ是菱形， ∴DG＝EG，PQ⊥DE， ∴，即， ∵GK⊥y轴， ∴， 又∵PQ⊥DE，∠GFH＝45°， ∴Rt△FGH是等腰直角三角形， ∴FH＝2GK＝3， ∴H（0，1﹣3），即H（0，﹣2）， 设直线GH的解析式为y＝k0x+b0（k0≠0）， 将点，H（0，﹣2）代入得： ， 解得， ∴直线GH的解析式为y＝x﹣2， 联立， 解得或， ∵点P是DE上方的抛物线上的一动点，且D（﹣1，2），E（4，﹣3）， ∴点P的横坐标大于﹣1，且小于4， ∴点P的坐标为． ②如图2，设直线DE交y轴于点F，过点P作PJ∥y轴，交DE于点J， 设点P的坐标为P（t，﹣t2+2t+5）（﹣1＜t＜4），则点J的坐标为J（t，﹣t+1）， ∴PJ＝﹣t2+2t+5﹣（﹣t+1）＝﹣t2+3t+4， 由（1）可知∠JFO＝45°， ∵PJ∥y轴， ∴∠PJG＝∠JFO＝45°， ∵P，Q关于直线DE对称， ∴PQ⊥DE，PQ＝2PG， ∴Rt△PJG是等腰直角三角形，且PG＝JG， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在﹣1＜t＜4内，当时，PQ取得最大值． 24．如图1，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）已知点M是抛物线的顶点，点E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作ED⊥x轴于点D，交抛物线于点F． ①求四边形ABMC的面积； ②求△CEF的边CE上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）①9； ②； ③． 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，设函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），再将点C（0，3）代入求解即可； （2）①先求出抛物线的顶点M坐标为（1，4），再根据四边形ABMC的面积＝S△AOC+S△MOC+S△BOM计算即可； ②求出直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，求出∠BED＝45°，设△CEF的边CE上的高为FH，设点E为（t，﹣t+3），则F（t，﹣t2+2t+3），在Rt△FHE中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作∠GAM＝30°，过点G作GM⊥AM于点M，得到E、G、M三点共线时，有最小值，即为EM的长，此时点G在点G′的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【解答】（1）已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．设该抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入得： a（0+1）（0﹣3）＝3， 解得a＝﹣1， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点M坐标为（1，4）， 如图1.1，连接OM， ∴四边形ABMC的面积＝S△AOC+S△MOC+S△BOM； 即四边形ABMC的面积1×33×13×4＝9； ②设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点C，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3． ∵B（3，0）C（0，3），∠COB＝90°， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵DF⊥x轴， ∴∠BDE＝90°， ∴∠BED＝∠CEF＝90°﹣∠OBC＝45°， 设△CEF的边CE上的高为FH，如图1.2， 设点E为（t，﹣t+3），则F（t，﹣t2+2t+3）， 则EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t， 在Rt△FHE中，， ∵， ∴当时，FH有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作∠GAM＝30°，过点G作GM⊥AM于点M，如图2.1， ∴， ∴，即E、G、M三点共线时，有最小值，即为EM的长，此时点G在点G′的位置， 如图2.2， 由可知，当时，， ∴FH有最大值时，点E的坐标为，则， 在Rt△EDG′中，∠EG′D＝∠AG′M′＝60°， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 五．三角形综合题（共1小题） 25．（1）证明推断 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的高，点E是边AB上一点，连接CE，过点A作CE的垂线，垂足为F，交CD于点G． ①求证：△ADG≌△CDE；②推断：的值为 　1　 ； （2）类比探究 如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，m，CD是AB边上的高，点E是边AB上一点，连接CE，过点A作CE的垂线，垂足为F，交CD于点G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用 在（2）的条件下，连接DF．当m，AF平分∠BAC时，若BE＝10，求DF的长． 【考点】三角形综合题．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①根据ASA证明三角形全等即可； ②根据三角形全等的性质可得结论； （2）先根据正切得tan∠CAD，证明△ADG∽△CDE，列比例式可得结论； （3）设AC＝3x，BC＝4x，表示AB＝5x，BE＝2x，根据BE＝10，可得AC＝15，BC＝20，AB＝25，根据三角函数可得CD的长，从而计算AD，DE，CE的长，最后根据直角三角形斜边中线的性质可得结论． 【解答】（1）①证明：如图1中， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴AD＝CD， ∵AF⊥CE， ∴∠AFC＝∠ADG＝90°， ∵∠AGD＝∠CGF， ∴∠DAG＝∠DCE， 在△ADG和△CDE中， ， ∴△ADG≌△CDE（ASA）； ②解：∵△ADG≌△CDE， ∴DG＝DE， ∴1； 故答案为：1； （2）解：如图2中， ∵tan∠CAD， ∵∠DAG＝∠FCG，∠ADG＝∠CDE＝90°， ∴△ADG∽△CDE， ∴， ∵m， ∴m； （3）解：∵AF⊥CE， ∴∠AFC＝∠AFE＝90°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠CAF＝∠EAF， ∴∠ACF＝∠AEF， ∴AC＝AE， 设AC＝3x，BC＝4x， ∴AB＝5x，BE＝5x﹣3x＝2x， ∵BE＝10， ∴2x＝10， ∴x＝5， ∴AC＝15，BC＝20，AB＝25， ∵sin∠CAD， ∴CD＝12， ∴AD＝9， ∴ED＝25﹣9﹣10＝6， 由勾股定理得：CE6， Rt△CDE中，F是CE的中点， ∴DFCE＝3． 六．四边形综合题（共2小题） 26．“折纸”是同学们经常做的手工活动． 【活动一】 如图1，有一张长方形纸片ABCD，AB＝30cm，BC＝40cm，小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点A′落在纸片的内部，折痕与边AD交于点E，第2次折叠，在边DC上取一点F，将∠ADC沿EF进行折叠，使得点D落在射线EA′上． （1）如图1，在第1次折叠中，若点A′恰好落在对角线BD上，则AE＝　15cm　 ； （2）用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕EF（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚），并求出DF的最大值． 【活动二】 如图3，有一张四边形纸片MNPQ，已知∠MQP＝∠MNP＝90°，MN＝45cm，MQ＝35cm，PQ＝30cm，小明认为他可以用一张边长为35cm的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片MNPQ一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由． 【考点】四边形综合题．版权所有 【答案】【活动一】（1）15cm； （2）cm； 【活动二】小明的想法不对，见解析． 【分析】【活动一】（1）根据折叠可知AB＝A'B＝30cm，AE＝A'E，∠EA'D＝∠A＝90°，在Rt△EDA'中，ED2＝A'E2+A'D2，可得关于AE的方程（40﹣AE）2＝AE2+202，求出AE即可； （2）作∠DEA'的角平分线，交CD于点F，证明△ABE∽△DEF，设AE＝x cm，DF＝y cm，则DE＝（40﹣x）cm，由，可得函数y（x﹣20）2，当x＝20时，DF的最大值为cm； 【活动二】根据题意，可能的折法有以下两种：折法一：如图3，可得一边长为45，不符合题意；折法二：如图4，将所得的四边形纸片MNPQ展开得长方形，由△PHN∽△NGM，可求两个三角形的相似比为，设HN＝2a cm，则GM＝9a cm，PH＝（9a﹣30）cm，NG＝（35﹣2a）cm，能得到方程，求出a＝4cm，则MG＝36cm，不符合题意． 【解答】解：【活动一】（1）由折叠可知AB＝A'B＝30cm，AE＝A'E，∠EA'D＝∠A＝90°， ∵AB＝30cm，BC＝40cm， ∴BD＝50cm， ∴A'D＝20cm， 在Rt△EDA'中，ED2＝A'E2+A'D2， ∴（40﹣AE）2＝AE2+202， 解得AE＝15cm， 故答案为：15cm； （2）如图2，作∠DEA'的角平分线，交CD于点F， 由折叠可知，∠AEB＝∠A'EB，∠A'EF＝∠DEF， ∴∠BEF＝90°， ∴△ABE∽△DEF， 设AE＝x cm，DF＝y cm，则DE＝（40﹣x）cm， ∵△ABE∽△DEF， ∴， ∴， 整理得，y（x﹣20）2， ∴当x＝20时，y有最大值， ∴DF的最大值为cm； 【活动二】小明的想法不对，理由如下： 根据题意，可能的折法有以下两种： 折法一：如图3，可得一边长为45cm， ∵45＞35，不符合题意； 折法二：如图4，将所得的四边形纸片MNPQ展开得长方形， 连接MP， 在Rt△MPQ中，MP2＝MQ2+PQ2， 在Rt△MNP中，MP2＝MN2+PN2， ∵MN＝45cm，MQ＝35cm，PQ＝30cm， ∴PN10cm， ∵△PHN∽△NGM， ∴， ∴两个三角形的相似比为， 设HN＝2a cm，则GM＝9a cm，PH＝（9a﹣30）cm，NG＝（35﹣2a）cm， ∴， 解得a＝4cm， ∴MG＝36cm， ∵36＞35，不符合题意； 综上所述：小明的想法不正确． 27．综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的限光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图②）． 问题1：重叠部分的△ABC的形状 　是　 （是、不是）等腰三角形． 问题2：如果长方形纸片AB＝4cm，BC＝5cm，重叠部分△ABC的面积为 　2　 cm2． （2）折纸2：如图③，长方形纸片ABCD，点E为边CD上一点，将△BCE沿着直线BE折叠，使点C的对应点F落在边AD上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点E的位置． （3）折纸3：如图④，长方形纸片ABCD，AB＝5，BC＝6，若点M为射线BC上一点，将△ABM沿着直线AM折叠，折叠后点B的对应点为B'，当点B'恰好落在BC的垂直平分线上时，求BM的长． 【考点】四边形综合题．版权所有 【答案】（1）问题1：是；问题2：2； （2）作图见解答； （3）或15． 【分析】（1）问题1：由折叠的性质知，∠MAB＝∠CAB，得到∠CBA＝∠CAB，即可求解；问题2：由△ABC的面积AB×CH，即可求解； （2）以点B为圆心，以BC长度为半径作圆交AD于点F，作∠FBC的角平分线BE，交CD于点E，即可求解； （3）求出tan∠B′AN，证明∠MB′H＝∠B′AN，即可求解． 【解答】解：（1）问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点， ∵纸片为矩形，则BC∥AM， ∴∠CBA＝∠BAM， 由折叠的性质知，∠MAB＝∠CAB， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴△ABC的形状为等腰三角形， 故答案为：是； 问题2：过点C作CH⊥AB于点H，则AH＝BHAB＝2， 则CH， 则△ABC的面积AB×CH42（cm2）， 故答案为：2； （2）以点B为圆心，以BC长度为半径作圆交AD于点F，作∠FBC的角平分线BE，交CD于点E， 作图过程如下： （3）过点B′作B′H⊥BC于点H，交AD于点N， 由题意得：AB＝AB′＝5， ∵点B'恰好落在BC的垂直平分线上，故AN＝DNADBC＝3， 在Rt△AB′N中，cos∠B′ANsin∠B′AN， ∵AB′＝5，AN＝3，则B′N＝4，则tan∠B′AN， 则B′H＝4+5＝9， ∵∠B′AN+∠AB′N＝90°，∠AB′N+∠HB′M＝90°， ∴∠MB′H＝∠B′AN， 在Rt△B′HM中，tan∠HB′Mtan∠B′AN， 解得：HM＝12， 则BM＝BH+HM＝3+12＝15． 当点B′落在矩形内部时， 同理可得，BM． 故答案为或15． 七．圆内接四边形的性质（共1小题） 28．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG． （1）求证：FB2＝FE•FG； （2）若AB＝6，求FB和EG的长． 【考点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．版权所有 【答案】（1）证明见解析；（2）BF＝2；EG． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC， ∴． ∴∠DBA＝∠G． ∵∠EFB＝∠BFG， ∴△EFB∽△BFG， ∴， ∴FB2＝FE•FG； （2）解：连接OE，如图， ∵AB＝AD＝6，∠A＝90°， ∴BD6． ∴OBBD＝3． ∵点E为AB的中点， ∴OE⊥AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC， ∴OE∥BC，OE＝BEAB． ∴． ∴， ∴， ∴BF＝2； ∵点E为AB的中点， ∴AE＝BE＝3， ∴EC3． ∵AE•BE＝EG•EC， ∴EG． 八．三角形的外接圆与外心（共1小题） 29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝120°，OP⊥AC于点P，OP＝1，则AC的长为（　　） A． B． C． D．2 【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理．版权所有 【答案】B 【分析】延长AO交⊙O于点D，连接CD，先利用圆内接四边形的性质可得∠ADC＝60°，再根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACD＝90°，从而可得∠DAC＝30°，然后利用垂径定理可得∠APO＝90°，AC＝2AP，最后在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出AP的长，即可解答． 【解答】解：延长AO交⊙O于点D，连接CD， ∵∠B＝120°， ∴∠ADC＝180°﹣∠B＝60°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝30°， ∵OP⊥AC， ∴∠APO＝90°，AC＝2AP， 在Rt△AOP中，OP＝1， ∴AP， ∴AC＝2AP＝2， 故选：B． 九．直线与圆的位置关系（共1小题） 30．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE． （1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠ECD，CE，求⊙O的半径． 【考点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理．版权所有 【答案】（1）CD是⊙O的切线．理由见解析； （2）． 【分析】（1）证明OC⊥CD即可； （2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出AJ＝EJ＝CD＝2，CJ＝ED＝1，再利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：（1）CD是⊙O的切线．理由如下： 连接OC． ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵BC平分∠ABD， ∴∠OBC＝∠CBE， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC∥BD， ∵CD⊥BD， ∴CD⊥OC， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J． ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∵OC⊥DC，CD⊥DB， ∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°， ∴四边形CDEJ是矩形， ∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE， ∴OC⊥AE， ∴AJ＝EJ， ∵sin∠ECD，CE， ∴DE＝1，CD＝2， ∴AJ＝EJ＝CD＝2，CJ＝ED＝1， 在Rt△AJO中，r2＝（r﹣1）2+22， ∴r， ∴⊙O的半径为． 一十．切线的性质（共1小题） 31．△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN． （1）如图1，连接OC，求证：∠BAC＝∠DOC； （2）如图2，当AC是⊙O的直径，点E是OD的中点，时，连接BD，求图中阴影部分的面积． 【考点】切线的性质；扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．版权所有 【答案】（1）证明见解析过程； （2）． 【分析】（1）连接OB，如图1，根据切线的性质得到OD⊥MN，则OD⊥BC，利用垂径定理得到，然后根据圆周角定理得到结论； （2）先由垂径定理得到，再由勾股定理得到OC＝2，解直角三角形求出∠COE＝60°，则∠BOD＝60°，再跟进S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD进行求解即可． 【解答】（1）证明：连接OB，如图1所示． ∵直线MN与⊙O相切于点D， ∴OD⊥MN， 又∵BC∥MN， ∴OD⊥BC， ∴， ∴， 又∵， ∴∠BAC＝∠DOC； （2）解：连接OB， ∵E是OD的中点， ∴， 由（1）知，OD⊥BC， ∴， 在Rt△OCE中，由勾股定理得OC2＝OE2+CE2， ∴， ∴OC＝2， ∴， ∴∠COE＝60°， ∴∠BOD＝60°， ∴． 一十一．切线的判定（共1小题） 32．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线MN，使得∠ACN＝∠ABC． （1）求证：直线MN是⊙O的切线． （2）点D为直线MN上一点，连接AD，交⊙O于点E，若AC平分∠BAD，DE＝3，AC＝2CD，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【考点】切线的判定；扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理．版权所有 【答案】（1）证明过程见解答； （2）阴影部分（弓形）的面积为6π﹣9． 【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠OCB+∠OCA＝90°，再利用已知和等腰三角形的性质可得∠ACN＝∠OCB，从而可得∠OCN＝90°，即可解答； （2）连接OE，过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据角平分线和等腰三角形的性质可证OC∥AD，从而求出∠ADC＝90°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义可求出∠CAD＝30°，从而求出∠OAD＝60°，进而可得△AOE是等边三角形，∠AOE＝60°，OA＝OE＝AE，再设⊙O的半径为r，利用垂径定理可得EFr， 最后证明四边形OFDC是矩形，从而可得OC＝DF，进而可得r＝3r，求出r，z再利用阴影部分的面积＝扇形AOE的面积﹣△AOE的面积，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCB+∠OCA＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠OCB， ∵∠ACN＝∠ABC， ∴∠ACN＝∠OCB， ∴∠ACN+∠OCA＝90°， ∴∠OCN＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线MN是⊙O的切线； （2）连接OE，过点O作OF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠BAD， ∴∠OAC＝∠CAD， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AD， ∴∠ADC＝180°﹣∠OCD＝90°， 在Rt△ACD中，AC＝2CD， ∴∠CAD＝30°， ∴∠OAD＝2∠CAD＝60°， ∵OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AOE＝60°，OA＝OE＝AE， 设⊙O的半径为r， ∵OF⊥AE， ∴EFAEr， ∵∠OFD＝∠OCD＝90°， ∴四边形OFDC是矩形， ∴OC＝DF， ∴r＝3r， ∴r＝6， ∴AE＝OA＝6， ∴OF＝OA•sin60°＝63， ∴阴影部分的面积＝扇形AOE的面积﹣△AOE的面积 AE•OF ＝6π6×3 ＝6π﹣9， ∴阴影部分（弓形）的面积为6π﹣9． 一十二．切线的判定与性质（共2小题） 33．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC，AC于点D，F，过点D作DE⊥CF于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AF＝2DE，，求图中阴影部分的面积． 【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．版权所有 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接OD，由DE⊥CF，则∠DEC＝∠DEF＝90°，通过等腰三角形的性质可得∠C＝∠B，∠ODB＝∠B，则∠C＝∠ODB，所以OD∥AC，由平行线的性质可得∠ODE＝∠DEC＝90°，从而求证； （2）如图，过点O作OM⊥AF于点M，连接OF，证明出四边形OMED是矩形，得到OM＝DE，OD＝ME，然后等量代换得到AM＝MF＝OM＝DE，设DE＝x，，解直角三角形得到，然后列方程求出x＝1，半径，然后利用S阴影＝S梯形OFED﹣S扇形ODF代数求解即可． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵∠DEC＝∠DEF＝90°，AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， 又∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：过点O作OM⊥AF于点M，连接OF， ∴AM＝MF． ∵∠ODE＝∠DEC＝∠DEF＝90°， ∴OM＝DE，OD＝ME． ∵AF＝2DE ∴AM＝MF＝OM＝DE， ∴∠FOM＝∠FOD＝45°． 设DE＝x， ∴MF＝x，， ∵， ∴， ∴x＝1，半径， ∴，， ∴． 34．如图，在⊙O中，BC为非直径弦，以BC为边作△ABC，边AB交⊙O于点D，且点D是劣弧BC的中点，CD是△ABC的角平分线． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）当∠BCD＝30°，时，求阴影部分的面积． 【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理．版权所有 【答案】（1）证明见解析过程； （2）． 【分析】（1）连接OC，OD，OB，由线段垂直平分线判定定理得OD⊥BC，由等腰三角形的性质得∠ODC＝∠OCD，从而可得∠OCD+∠ACD＝90°，即可得出结论； （2）由垂径定理得，设OB＝x，由直角三角形的特征得，由勾股定理得OB2＝BE2+OE2，可求出OB，由S阴影部分＝S扇形OBD﹣S△OBD即可求解． 【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD，OB， ∵点D是劣弧BC的中点， ∴BD＝CD， ∵OB＝OC， ∴OD⊥BC， ∴∠ODC+∠BCD＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠OCD+∠ACD＝90°， 即OC⊥AC， ∵OC是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：由（1）可知，OD⊥BC， 在Rt△BDE中，， ∵∠BCD＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠OBE＝30°， 设OB＝x，则， 在Rt△OBE中，OB2＝BE2+OE2， ∴， 解得：x1＝1，x2＝﹣1（舍去）， ∴OB＝1， ∴S阴影部分＝S扇形OBD﹣S△OBD ． 一十三．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 35．如图，正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点A′、B′处，且点B'恰好为线段CD的中点，A′B′交AD于点G，作DP⊥MN于点P，交AB于点Q．若AG＝4， （1）正方形ABCD的边长是　12　 ． （2）PM的长＝　　 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．版权所有 【答案】12，． 【分析】设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，BN＝NB′＝x，根据勾股定理得出（2a﹣x）+a2＝x2，求出，证明△NCB′∽△B′DG，得出，得出，，根据AG+DG＝AD，得出，求出a＝6，设AM＝MA′＝y，根据勾股定理得出y2+22＝（4﹣y）2，求出，求出，连接BB′，延长DP交AB于T，证明四边形BB′DT是平行四边形，得出DT＝BB′，TB＝DB′＝6，根据，即可求出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a， ∴∠ABC＝∠C＝∠ADC＝∠A＝90°， 由翻折可知，BN＝NB′，设BN＝NB′＝x， ∵点B′恰好为线段CD的中点， ∴CB′＝DB′＝a， 在Rt△CNB′中， ∵CN2+B′C2＝B′N2， ∴（2a﹣x）+a2＝x2， ∴， ∴，， ∵∠NB′G＝∠GDB′＝∠C＝90°， ∴∠CNB′+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠DB′G＝90°， ∴∠CNB′＝∠DB′G， ∴△NCB′∽△B′DG， ∴，即， ∴，， ∵AG+DG＝AD， ∴， ∴a＝6， ∴AB＝A′B′＝12，DG＝8，GB′＝10，A′G＝12﹣10＝2， 设AM＝MA′＝y， 在Rt△A′MG中，则有MA′2+A′G2＝MG2，即y2+22＝（4﹣y）2， 解得， ∴， 连接BB′，延长DP交AB于T，如图所示： 根据折叠可知：MN垂直平分BB′， ∵DT⊥MN， ∴DT∥BB′， ∵BT∥B′D， ∴四边形BB′DT是平行四边形， ∴DT＝BB′，TB＝DB′＝6＝AT，， ∴． 故答案为：12；． 36．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连结AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝　或　 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理得到AE5，设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，②当∠APD′＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6， ∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝3， ∴AE5， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处， ∴PD′＝PD， 设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x， 当△APD′是直角三角形时， ①当∠AD′P＝90°时， ∴∠AD′P＝∠B＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠PAD′＝∠AEB， ∴△ABE∽△PD′A， ∴， ∴， ∴x， ∴PD； ②当∠APD′＝90°时， ∴∠APD′＝∠B＝90°， ∵∠PAE＝∠AEB， ∴△APD′∽△EBA， ∴， ∴， ∴x， ∴PD， 综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD或， 故答案为：或． 一十四．相似三角形的判定与性质（共4小题） 37．如图，在⊙O中，弦AB＝CD＝24，将沿AB翻折，恰好与弦CD相切于点N，若⊙O的半径是13，则切线长CN的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【答案】D 【分析】过点O分别作AB，CD的垂线OE，OF，由AB＝CD＝24，⊙O的半径是13，作根据垂径定理可以求出CF＝BE＝12，再利用勾股定理可求得弦心距OF＝OF＝5，再由轴对称（翻折）得到点O关于AB的对称点O'是对应的圆心，OO'＝10，连接O'N，由切线性质可得，O'N⊥CD，由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OKNF是矩形，KN＝OF＝5，NF＝OK，进而在RtΔOO'K中用勾股定理可求出OK，NF长，CN＝CF+NF即可解决问题． 【解答】 解：如图，作点O关于AB的对称点O'，连接OO'交AB于E，则OO'⊥AB于E， 由垂径定理的EBAB＝12， 连接OB， ∵在Rt△OEB中，OB＝13， ∴OE＝5（勾股定理）， 过点O作OF⊥CD于F，同理可得CF＝DF＝12，OF＝5， ∵将沿AB翻折，恰好与弦CD相切于点N 由翻折对称得，O'是对应的圆心，连接O'N， ∴O'N⊥CD，O'N＝13，OO'＝2OE＝10， 过点O作OK⊥O'N于K， ∵∠OKN＝∠OFN＝∠KNF＝90°， ∴四边形OKNF是矩形， ∴KN＝OF＝5，NF＝OK， ∴O'K＝O'N﹣KN＝13﹣5＝8， ∵在RtΔOO'K中，OB＝13，OO'＝10， ∴OK＝6（勾股定理）， ∴NF＝OK＝6， ∴CN＝CF+NF＝12+6＝18． 故选：D． 38．如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，连接AD．若，则AE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．版权所有 【答案】B 【分析】先证∠DAF＝∠ABD，从而求出AF，再证△ADE≌△ADF（ASA）即可得解． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AH是⊙O的切线， ∴∠BAF＝90°， ∴∠DAF＝∠ABD＝90°﹣∠DAB， ∴△DAF∽△DBA， ∴tanB， ∵DF＝1， ∴AD＝2， ∴AF， ∵点D为的中点， ∴， ∴∠ABD＝∠DAC＝∠DAF， ∵∠ADE＝∠ADF＝90°， ∴90°﹣∠DAE＝90°﹣∠DAF， 即∠AED＝∠AFD， ∴AE＝AF． 故选：B． 39．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD折叠得到△AED，AE与边BC相交，连接BE，CE；过点C作CG⊥AD于点G，交AE于点H．若，，CD＝DE，则CG的长为　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【答案】． 【分析】延长AD交BE于点Q，设BC＝x，根据，得到，由折叠的性质得到BD＝DE，AB＝AE，推出△AEB是等腰三角形，即可得到BQ＝EQ，即点Q为BE中点，结合CD＝DE，得到CD＝BD，即点D为BC中点，推出DQ是△BCE的中位线，推出，证明四边形CEQG是矩形，推出CG＝EQ，利用勾股定理求出，，进而得到，求出，再利用三角形面积公式求出，利用勾股定理求出，求出，易证△CGD≌△BQD（ASA）推出，从而求出，再证明△AGH∽△ECH，推出，求出，即可求解． 【解答】解：延长AD交BE于点Q， 设BC＝x， ∵， ∴， ∵将△ABD沿直线AD折叠得到△AED， ∴BD＝DE，AB＝AE，∠BAD＝∠EAD， ∴△AEB是等腰三角形， ∴AQ⊥BE，BQ＝EQ，即点Q为BE中点，∠AQB＝90°， ∵CD＝DE， ∴，即点D为BC中点， ∴DQ是△BCE的中位线， ∴， ∴∠CEB＝∠AQB＝90°， ∵CG⊥AD，即∠CGQ＝90°， ∴四边形CEQG是矩形， ∴CG＝EQ，AD∥CE， ∵∠ACB＝90°， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角三角形ACG中，由勾股定理得：， ∴， ∵CG∥BE， ∴∠DCG＝∠DBQ， 在△CGD和△BQD中， ， ∴△CGD≌△BQD（ASA）， ∴， ∴， ∵AD∥CE， ∴△AGH∽△ECH， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 40．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，CG＝2，求阴影部分的面积． 【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算．版权所有 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）连接OD，证明OD⊥DE即可； （2）根据相等，再由（1）中可得，，从而得到∠CAD＝∠BAD＝∠ABC＝30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出△CAG的面积，在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DE∥BC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OD，如图所示， ∵点D为的中点， ∴OD⊥BC ∵DE∥BC， ∴OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接BD，如图所示， ∵， ∴BD＝AC ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴的度数的度数的度数＝60°， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°． ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△ACG中，tan∠CAD，sin ∴CA，AG ∵CG＝2， ∴CA＝26，AG＝4． ∴BD＝CA＝6， ∴S△ACGCG•AC＝6． 在Rt△ABD中，tan∠BAD， ∴AD6． ∵DE∥BC， ∴△CAG∽△EAD， ∴， 即， ∴S△EAD． ∴S阴影部分＝S△EAD﹣S△ACG． 一十五．圆周角定理（共1小题） 41．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是劣弧的中点，连接BC，CD．若∠ABC＝26°，则∠BCD的度数为　32°　 ． 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．版权所有 【答案】32°． 【分析】连接OC，OD，由圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝52°，则由平角的定义可得∠BOC的度数，根据D是劣弧的中点，可得，则由圆周角定理可得． 【解答】解：如图所示，连接OC，OD， 由条件可得∠AOC＝2∠ABC＝52°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝128°， ∵D是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：32°． 考点卡片 1．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 2．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 3．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 4．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 5．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 6．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 7．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 8．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 9．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 10．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 11．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 12．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 13．三角形综合题 涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查． 14．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 15．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 16．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 17．四边形综合题 涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强． 18．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 19．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 20．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 21．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 22．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 23．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 24．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 25．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 26．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 27．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 28．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 29．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 30．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/11 15:41:57；用户：18154414015；邮箱：18154414015；学号：63977322 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$