精品解析：上海市大同中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

上海市大同中学2025五月练习高二数学1 一､填空题（共50分） 1. 直线与的夹角为________． 2. 已知向量，满足，则动点的轨迹方程是__________. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点到右焦点的距离为2，点是上一点，且，则___________. 4. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是__________. 5. 已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 6. 已知实数满足，则的最大值和最小值之和为__________. 7. 已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____． 8. 已知，是双曲线两个焦点，是双曲线上的一点，且，则点到轴的距离为______. 9. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，设M为抛物线上的动点，则最大值为______. 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C的下顶点为A，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长为______. 二､选择题（共4题，共20分） 11. 已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 8 D. 9 12. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 13. 已知抛物线：的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，.若，则的方程为（ ） A. B. C. D. 14. 已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三､解答题（共30分） 15. 设抛物线的焦点为，，Q在准线上，Q的纵坐标为，点M到F与到定点的距离之和的最小值为4． （1）求抛物线C的方程； （2）过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求的面积． 16. 已知椭圆（）的离心率为，且经过点 （1）求椭圆的方程； （2）过作两直线与抛物线（m>0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线，的斜率分别为， ①求证：为定值； ②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 附加题 17. 设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______. 18. 已知集合，，其中，且是单元素集合，则集合对应的图形的面积为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市大同中学2025五月练习高二数学1 一､填空题（共50分） 1. 直线与的夹角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线的斜率，即倾斜角满足， 直线的斜率，即倾斜角满足， 所以， 所以， 又两直线夹角的范围为， 所以两直线夹角为， 故答案为：. 2. 已知向量，满足，则动点的轨迹方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算出，利用向量垂直得到方程，求出轨迹方程. 【详解】， ，故， 即， 故答案为： 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点到右焦点的距离为2，点是上一点，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据椭圆的焦点位置和定义即可求解. 【详解】由题意可知：， 因为椭圆的焦点在轴上时，，， 又因为，所以， 由椭圆的定义可知：， 因为，则， 故答案为：. 4. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法设，，代入椭圆方程可得可得，计算可得． 【详解】设，，则，， 两式相减得， 是的中点，，， ，又，，， 解得，． 故答案为：. 5. 已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 6. 已知实数满足，则的最大值和最小值之和为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求. 【详解】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 7. 已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆定义可得，再根据三角形三边长的关系可知，当共线时即可取得最值. 【详解】由椭圆标准方程可知， 又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以 所以 易知，当且仅当三点共线时等号成立； 又，所以； 即的范围为. 故答案为： 8. 已知，是双曲线两个焦点，是双曲线上的一点，且，则点到轴的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】在双曲线焦点三角形中，利用余弦定理求出，然后利用面积相等即可求解. 【详解】由双曲线方程可得：，在中，由余弦定理可得： 即，解得：， 设点，则， 即，解得：，将点代入双曲线方程可得： 也即点到轴的距离为， 故答案为：. 9. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，设M为抛物线上的动点，则最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 设,设到准线的距离等于,由抛物线的定义得,化简为，令,利用方程有解即可解得的最大值. 【详解】因为焦点,设,则,设到准线的距离等于, 则由抛物线的定义得 ,令,则, 当时,; 当时, 有解的充要条件为:, 即, ,此时. 故答案为: . 【点睛】本题考查抛物线的定义及性质,考查学生的转化与划归的能力,难度较难. 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C的下顶点为A，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用可得椭圆的方程为，为正三角形，通过几何关系可得到直线的方程为，与椭圆进行联立可得到，，结合弦长公式和椭圆的定义即可求解 【详解】因为椭圆的离心率，所以，，所以椭圆的方程为，即， 在中，，，所以为正三角形， 过且垂直于的直线与C交于D，E两点，所以DE为线段的垂直平分线，直线DE的斜率为，所以直线的方程为， 设，，由，得， 所以，， 所以，解得，所以， 因为为线段的垂直平分线，所以，， 所以的周长为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 二､选择题（共4题，共20分） 11. 已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得，在利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在， 又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即， 整理可得， 所以，当且仅当时，等号成立； 因此的最小值为. 故选：D 12. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据P在以为直径的圆上，得到，设，，得到，由双曲线定义得到，求出，由勾股定理求出，从而求出离心率. 【详解】不妨设，， 因为P在以为直径的圆上，所以，即，则． 因为Q在C的左支上，所以， 即，解得，则． 因为，所以，即， 故， 故． 故选：A 13. 已知抛物线：的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，.若，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设斜率为2的直线方程为，与抛物线进行联立可得，设，，所以，接着利用抛物线的定义即可求解 【详解】由抛物线：可得焦点，准线为， 设斜率为2的直线方程为， 所以消去得， ，解得， 设，，所以， 利用抛物线的定义可得，即，解得， 所以的方程为 故选：C 14. 已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定义可得，，即，进而推得，得到不等式，求解即可得到的取值范围，进而求得离心率的范围. 【详解】 设双曲线左焦点为，因为点在双曲线左支上，所以有， 即. 由已知得，存在点，使得，即，显然，所以. 又，即当点位于图中位置时，等号成立， 所以，又， 所以，整理可得，，解得或（舍去）， 所以，则，则，所以， 所以. 故选：C. 三､解答题（共30分） 15. 设抛物线的焦点为，，Q在准线上，Q的纵坐标为，点M到F与到定点的距离之和的最小值为4． （1）求抛物线C的方程； （2）过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知可推得，求出的坐标代入，即可得出关于的方程，求解即可得出； （2）由已知可求得直线方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距离求出点到直线的距离，即可得出面积. 【小问1详解】 由已知可得，，. 因为，当且仅当三点共线时，取得最小值. 又，所以， 即，整理可得， 因为，所以. 所以，抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，所以直线的方程为，. 联立直线与抛物线的方程可得，. 设，，则由韦达定理可得. 所以. 又点到直线，即直线的距离为， 所以，的面积. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线中的有关三角形的面积时，常联立直线与曲线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距离公式，求出三角形的高，即可得出. 16. 已知椭圆（）的离心率为，且经过点 （1）求椭圆的方程； （2）过作两直线与抛物线（m>0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线，的斜率分别为， ①求证：为定值； ②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2） ① 设过与抛物线相切的直线方程为（）， 消去y得：， ，即 直线，的斜率分别为，，则，是方程的两根 ，， 消去m得： ②直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列方程求解，即可得椭圆的方程； （2）①设过与抛物线相切的直线方程为（），联立直线与抛物线根据得到关于切线斜率的一元二次方程，由韦达定理可求得得值；②设直线：，，，代入椭圆方程可得较短坐标关系，根据①中结论或，从而判断直线所过定点，即可得结论. 【小问1详解】 由题可得，解得， 所以椭圆C的方程为 【小问2详解】 ①略 ②设直线：，，， ，消去x得： 所以， 因为，所以，所以 整理得： 即，所以． 所以或， 当时，，PQ恒过定点与A重合，舍去 当时，PQ恒过定点 综上所述，直线PQ恒过定点. 附加题 17. 设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的中垂线为轴： 则，，，设，由，可得：， 整理得到：，故点在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆， 转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足， 故空间中点的轨迹为以为球心，半径为2的球，同时点在球商，故点在两球的交线，为圆， 球心距为， 所以为直角三角形，对应圆的半径为，周长为 故答案为： 18. 已知集合，，其中，且是单元素集合，则集合对应的图形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据是一个单元素集合,得到直线和抛物线相切,得到,结合图象得到集合对应图形的面积为半径为1小圆的面积与半径为2大圆的面积的的和,问题得以解决. 【详解】解:集合,,且是一个单元素集合, 直线和抛物线相切, 由，即，有相等的实根, 所以，即, ,,, 圆心在以原点为圆心,以1为半径的圆上的一部分(第三象限) ，如图所示, 集合P对应图形的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的, 即. 故答案为:. 【点睛】本题考查由对集合的理解，考查一次函数与二次函数相交的关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $