期末模拟提升检测金卷02—2024～2025学年七年级下学期北师大版数学模拟测试卷【深圳专版】

2024~2025学年度第二学期数学期末模拟卷（深圳专用） 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟。 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其案一律无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。 4．选择题每小题选出答案后，用28铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案:非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内。 5．考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，l是水平线，有一条细线，其中一端系着一个小球C，另一端固定在点A，将小球从左向右摆动，当垂直l时，小球C到水平线l的距离最近，依据是（    ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．线段的长度可以测量 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（    ） A．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 10．（2025·四川绵阳·三模）南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： …… 根据前面各式的规律，则的展开式中的系数是（   ） A．72 B．39 C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： ． 12．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）当车道对闸杆长度的需求大于场地高度时，需要用到曲臂道闸．如图所示，若，，，则 ． 14．一个长方形的一条边长为，另一条边长为，它的面积为，则S与x之间的关系式为 ． 15．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则 秒． 三、解答题(本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分) 16．（24-25七年级下·山东济南·期中）计算： （1） （2） 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中，． 18．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）如图，，，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下来是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 600 1000 2000 摸到红球的次数 83 123 483 803 1602 摸到红球的频率 （1）上表中的_______，_______； （2）“摸到红球”的概率的估计值是_________（精确到）； （3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，大约还有多少个其他颜色的小球． 20．如图，在四边形中，，动点P沿的路径运动，速度为．记的面积为，S与运动时间的关系如图2所示，请回答下列问题． （1）图1中______； （2）当时，的面积S与运动时间t的关系式是______． （3）当的面积为时，求运动时间t的值． 21．【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 22．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期数学期末模拟卷（深圳专用） 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟。 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其案一律无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。 4．选择题每小题选出答案后，用28铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案:非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内。 5．考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，l是水平线，有一条细线，其中一端系着一个小球C，另一端固定在点A，将小球从左向右摆动，当垂直l时，小球C到水平线l的距离最近，依据是（    ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．线段的长度可以测量 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：由垂线段最短，得 当垂直l时，小球C到水平线l的距离最近，依据是垂线段最短， 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判定即可得解. 【详解】解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． 5．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质得，即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 利用，加上公共边，然后利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可； 【详解】解：， 当添加时，可根据“”证明，故A选项符合题意； 当添加时， ∵，，∴， ∴，， ∴，即， 进而可用“” 证明，故B选项不符合题意； 当添加时，不能证明，故C选项符合题意； 当添加时，可根据“” 证明，故D选项不符合题意； 故选：C． 7．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（    ） A．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】C 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示，掌握概率的计算是关键． 根据图示信息，根据频率估算概率，概率的计算进行判定即可． 【详解】解：根据题意，大量试验中，频数稳定在之间， A、从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》的概率为，不符合题意； B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率是，不符合题意； C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数的概率是，符合题意； D、一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球，不符合题意； 故选：C ． 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 9．某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键． 依据题意，根据函数的图象逐个进行分析判断可以得解． 【详解】解：由题意，结合图象可得， A．他家与学校的距离为1000米，从家出发到学校，王老师共用了25分钟，故选项说法错误，符合题意； B．王老师从家出发10分钟后开始用早餐，到20分钟结束，花了：（分钟），故选项说法正确，不符合题意； C．用完早餐以后的速度是：（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， D． 王老师用早餐前步行的速度是：（米/分），用完早餐以后的速度是100（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， 故选：A． 10．（2025·四川绵阳·三模）南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： …… 根据前面各式的规律，则的展开式中的系数是（   ） A．72 B．39 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了规律探究，熟练掌握相关知识是解题的关键． 观察所给展开式的系数和杨辉三角中各数的关系，先写出所求展开式中的系数，根据发现的规律得出每个展开式中的系数，进行相加求解即可． 【详解】依据规律可得到的展开式的系数是杨辉三角第6行的数， 第6行的数分别为， ∴展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， ∴原式展开式中的系数为． 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了简单地概率公式计算，熟练掌握公式是解题的关键． 根据简单地概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，一共有 4 种等可能性，其中红色的等可能性只有 1 种，故当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）当车道对闸杆长度的需求大于场地高度时，需要用到曲臂道闸．如图所示，若，，，则 ． 【答案】117 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，首先根据“两直线平行，同旁内角互补”确定的值，进而可得的度数，然后证明，由“两直线平行，同旁内角互补”即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：117． 14．一个长方形的一条边长为，另一条边长为，它的面积为，则S与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数，由长方形的面积列出函数，即可求解；理解长方形的面积与边长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则 秒． 【答案】或 【分析】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可. 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵， ∴，解得． ②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵，， ∴，解得． 综上，或． 三、解答题(本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分) 16．（24-25七年级下·山东济南·期中）计算： （1） （2） 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先根据平方差公式，完全平方公式去括号，再计算多项式除以单项式，最后将，代入即可． 【详解】解：原式 当，时，原式 18．（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）如图，，，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义和已知条件证明，即可证明结论； （2）先由平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下来是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 600 1000 2000 摸到红球的次数 83 123 483 803 1602 摸到红球的频率 （1）上表中的_______，_______； （2）“摸到红球”的概率的估计值是_________（精确到）； （3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，大约还有多少个其他颜色的小球． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】本题考查了频率估计概率． （1）根据表中的数据，计算得出摸到红球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到红球的频率即可求出摸到红球概率．根据口袋中红球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去红颜色的球数量即可解答． 【详解】（1）解：，； 故答案为： （2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（个）； 答：除红球外，还有大约10个其它颜色的小球． 20．如图，在四边形中，，动点P沿的路径运动，速度为．记的面积为，S与运动时间的关系如图2所示，请回答下列问题． （1）图1中______； （2）当时，的面积S与运动时间t的关系式是______． （3）当的面积为时，求运动时间t的值． 【答案】(1)12 (2) (3)或 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数的应用， （1）根据题意得到点P运动的路程为，当时，S达到最大值30，当点P运动到点D时，S最大，进而列式求解即可； （2）根据题意得到，求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别求出两段的表达式，然后将代入求解即可． 【详解】（1）∵动点P沿的路径运动，速度为 ∴点P运动的路程为， 由图象可得，当时，S达到最大值30， ∵当点P运动到点D时，S最大 ∴； （2）∵当点P运动到点D时，S最大 ∴ ∴ ∴ ∴当时，； （3）当时， ∴； 当时，设S与t的表达式为 ∴ 解得 ∴ ∴当的面积为时， ∴ 综上所述，当的面积为时，或． 21．【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 【答案】（1），，（2）5（3）见解析 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解； （3）连接交于点G，即可得解． 【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 故答案为：，，； （2）∵是的平分线， ∴可在上找到点E关于直线对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值， 即的最小值是的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为：， 故答案为：5； （3）到的距离和最小的点在线段上， ∵点A与点C关于对称， ∴到的距离和最小的点是线段和的交点， ∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点， 故连接交于点G，点G即为所求作的点， 22．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1），理由见解析 （2）（答案不唯一），证明见解析 （3）①；②的最小值是 【分析】（1）利用三角形内角和等于180度得，再根据平角定义得到，又由于，即可得出结论； （2）若添加条件：，利用可证明； （3）①方法一：在上截取，连接．证明．得到，从而得到，且，即可求解； 方法二：过点作，交于点，交于点．证明．同理可证明，得到，从而得到．即可得出．再根据又，则，从而得到，．然后根据，求得，即可求解； ②可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点，所以，当点、点、点三点共线且时，取最小值，即转化为求等边的高．因为的面积是，根据三角形面积公式可求得，即可求解． 【详解】解：（1）这组等角是： 理由如下：在中，． 点在边上， ． （2）若添加条件： 证明：（已证） 在和中， （3）①是等边三角形， ． 是等边三角形， 据（1）可知 方法一： 在上截取，连接． ， ． 又， ． 在和中，， ． ， ，且， 方法二： 过点作，交于点，交于点．则， ． 在和中， ． 同理可得 ， ． 又， ， 即． 又， ， ， ． 又， ， ． ②的最小值是．如图， 由可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点， 所以， 当点、点、点三点共线且时，取最小值， 即转化为求等边的高． 因为的面积是， 所以， 所以． 即的最小值是． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，垂线段最短，熟练掌握利用垂线段最短求最短路径问题是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$