期末模拟提升检测金卷01—2024～2025学年七年级下学期北师大版数学模拟测试卷【深圳专版】

2024~2025学年度第二学期数学期末模拟卷（深圳专用） 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟。 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其案一律无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。 4．选择题每小题选出答案后，用28铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案:非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内。 5．考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．（2025·辽宁沈阳·三模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）DeepSeek公司的光刻机使用极紫外光（EUV）技术制造芯片，其光源波长为米，则数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025年四川省遂宁市中考数学真题）下列运算中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在的正方形网格中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B，若将B放在A的内部，则得到图1，若将A，B并列放置后构成新的正方形，则得到图2．当图1阴影面积为5，正方形A，B的面积之和为17，则图2阴影面积是（   ） A．6 B．7 C．10 D．12 9．（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，点落在处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 第二部分 非选择题 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）已知，则 ． 12．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 13．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是 14．（23-24七年级下·广东深圳·期末）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体----黑洞．施瓦氏半径(单位：米)的计算公式是．，其中牛•米千克，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：千克)； 米/秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量M为千克，则该恒星的施瓦氏半径为 米． 15．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，D是上一点，连接．过点C作，且，的度数为 ． 三、解答题(本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分) 16．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： （1）； （2）. 17．（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）先化简再求值：，其中． 18．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中. （1）尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，的面积为12，求的面积 19．（24-25七年级下·河南郑州·期中）图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．     （1）小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是_____； （2）如图2，小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方格中埋藏着2颗地雷（图中包含数字2的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字2的8个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是_____； （3）如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 20．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： （1）初始时，边的长度是______；边的长度是______； （2）在变化过程中，长方形面积的最大值______； （3）求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 21．（24-25七年级下·山东济南·期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离 测量结果 （1）经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答：方案一：_______方案二：_______． （2）请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 22．【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究． 【初步探究】 （1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明； 【深入探究】 （2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； 【拓展应用】 （3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期数学期末模拟卷（深圳专用） 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟。 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其案一律无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。 4．选择题每小题选出答案后，用28铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案:非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内。 5．考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．（2025·辽宁沈阳·三模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）DeepSeek公司的光刻机使用极紫外光（EUV）技术制造芯片，其光源波长为米，则数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选B． 3．（2025年四川省遂宁市中考数学真题）下列运算中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘及完全平方公式； 根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂相乘的法则及完全平方公式逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算正确； D、，故本选项运算错误； 故选：C. 4．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【答案】D 【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，故本选项正确； B．∵，∴，故本选项错误； C．∵，∴，故本选项错误； D．∵，∴，故本选项错误． 故选A． 7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在的正方形网格中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，根据网格的特点，结合全等三角形的判定定理得出，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：如图： 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B，若将B放在A的内部，则得到图1，若将A，B并列放置后构成新的正方形，则得到图2．当图1阴影面积为5，正方形A，B的面积之和为17，则图2阴影面积是（   ） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是．根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为，图②中新正方形的边长为，根据完全平方公式求出即可求解，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是． 根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为，图②中新正方形的边长为， ∵图①阴影面积为5，正方形A，B的面积之和为17， ∴， ∴， ， ∴图②阴影面积是12． 故选D． 9．（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，点落在处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短距离问题、三线合一、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据点A与点C关于对称可得，当点P与点E重合时，，此时的周长最小，据此即可求得周长的最小值． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴周长的最小值为：， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的化简求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 13．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过D作于E，证明，得出，然后根据求解即可． 【详解】解∶过D作于E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 14．（23-24七年级下·广东深圳·期末）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体----黑洞．施瓦氏半径(单位：米)的计算公式是．，其中牛•米千克，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：千克)； 米/秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量M为千克，则该恒星的施瓦氏半径为 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的运算和科学记数法．掌握运算法则是解题关键．先根据施瓦氏半径的计算公式是计算出的值，再用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：(米) 故答案为：． 15．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，D是上一点，连接．过点C作，且，的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的性质是解题的关键． 利用直角三角形的两个锐角互余进行计算得出，再利用角平分线的定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用平行线的性质可得，然后再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，即可解答． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ∵， ， ， 故答案为：． 三、解答题(本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分) 16．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： （1）； （2）. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算、整式的混合运算，熟练掌握以上两种运算法则是关键； （1）根据实数的运算法则，零指数幂，负整数指数幂进行运算即可； （2）根据多项式乘多项式及单项式乘单项式运算法则展开合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据整式的混合运算将式子进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：． 当时， 原式． 18．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中. （1）尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，的面积为12，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求： （2）解：如图，过点作交与点，作交与点， 平分， ， 的面积为12， ∴， ∴， ，， ． 19．（24-25七年级下·河南郑州·期中）图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．     （1）小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是_____； （2）如图2，小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方格中埋藏着2颗地雷（图中包含数字2的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字2的8个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是_____； （3）如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)应踩在A区域外．见解析 【分析】本题考查了利用概率公式计算，解题关键是掌握概率公式． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）直接利用概率公式计算即可； （3）比较两个概率的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷， ∴小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是； 故答案为：； （2）若小明在区域A内围着数字2的8个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是； 故答案为：； （3）小明的第二步踩在A区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是， 小明的第二步踩在A区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是， ∵， ∴为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上． 20．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： （1）初始时，边的长度是______；边的长度是______； （2）在变化过程中，长方形面积的最大值______； （3）求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2；3 (2) (3) 【分析】（1）由图2可知，当时，，即可求出；由图3可知，当时，，再利用长方形的面积公式即可求出； （2）由图2可知的最大值，代入公式即可求出面积的最大值； （3）由图2可知向左平移的总路程和时间，再根据路程=时间×速度公式算出向左平移的速度，再将用含的关系式表示出来，最后利用面积公式求出与的关系即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ∴， 由图3可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：由图2可知，的最大值为， ∴长方形面积的最大值为， 故答案为：； （3）解：由图2可计算出，BC向左运动的速度为， 此时， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式、用关系式表示变量之间的关系、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息以及路程=时间×速度公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题的关键． 21．（24-25七年级下·山东济南·期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离 测量结果 （1）经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答：方案一：_______方案二：_______． （2）请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 【答案】(1)②，③ (2)计算过程见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质解决实际问题，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由题意，结合三角形全等的判定定理求解即可得到答案； （2）由（1）中方案一的求解过程，得到，再由全等三角形的性质即可得到水潭的宽度． 【详解】（1）解：方案一： 为的中点， ， ， ， 在和， ； 为的中点， ， ， ， 在和， ； 综上所述，方案一：②； 在和， ； 则方案二：③； 故答案为：②，③； （2）解：方案一： 为的中点， ， ， ， 在和， ； ． 22．【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究． 【初步探究】 （1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明； 【深入探究】 （2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； 【拓展应用】 （3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的综合问题，掌握证明全等是解题的关键． （1）由得，再用证明，继而得证； （2）根据第（1）问的证明过程可知，只需保证即可，从而得解； （3）证明，得到，再分别求出，继而得到它们相等，从而得到为等腰三角形． 【详解】解：（1） 证明： ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴； （2）当时，仍成立． 理由： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）如图，在等腰直角三角形和中，，，， ∵与关于沿着过点D的某条直线对称， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$