精品解析：湖南省长沙市宁乡市西部六乡镇2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2025春季学期七年级数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列各组图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（     ） A. B. C. D. 2. 点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在我国海军海战演习中，若要确定每艘战舰的位置，则需要知道每艘战舰相对我方潜艇的（　　） A. 方位角 B. 距离 C. 方位角与距离 D. 失火轮船的国籍 4. 如图，下列关于图中角与角的位置关系，描述错误的是( ) A. 与是对顶角 B. 与是同位角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 5. 下列各组数中，运算结果相等的一组是（　　） A. 与 B. 23与32 C. 与 D. 与 6. 下列命题中，真命题的个数有（   ） ①如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 1 8. 若方程是二元一次方程，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 9. 如果方程组解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如果座位表上“2列3行”记作，那么表示______． 12. 命题“内错角相等，两直线平行”的题设是__________． 13. 如图，小华表示的位置用表示，小芳表示的位置可以用表示，则老师的位置可以表示为_______________ ． 14. 如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为______． 15. 已知倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为___________． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解方程组： 19. 解方程： （1）． （2）． 20. 如图： （1）分别写出点A，B，C三点的坐标 （2）求的面积（平面直角坐标系中小方格的边长为1） 21. 在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标． （1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度； （2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度； （3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度； （4）点D在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度； （5）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度． 22. 如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 23. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 24. 在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． （1）点的“短距”为 ； （2）点的“短距”为1，求的值； （3）若，两点为“等距点”，求的值． 25. 【方法给定】事实上，是无理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是．两边六次方得． 由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的六次方才是偶数，所以p也是偶数． 因此可设（r正整数），代入上式，得，即．所以q也是偶数． 这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾． 这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．（提示：奇数乘奇数等于奇数．奇数乘偶数等于偶数．偶数乘偶数等于偶数） （1）【理解运用】证明是无理数． （2）【猜想探究】发现问题，做出猜想，实验验证是数学学习中非常重要的一环，现在做出猜想：是不是所有无理数都能用这个方法证明是无理数呢？ 、、 、（n正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？ 、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？ 我们知道. 、、可以用这种给定方法证明吗？、、呢？（提示：无理数的相反数是无理数） （3）【总结归纳】你知道给定方法可以证明哪些无理数（根指数、被开方数有什么特点）是无理数了吗？请总结归纳出你的结论吧．（提示：可分正、负无理数归纳）（0次根号无意义，不讨论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025春季学期七年级数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列各组图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的定义，理解“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移.”是解题的关键． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是， 故选：C． 2. 点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标的特点即可求解． 【详解】点在平面直角坐标系中所在的象限是第二象限 故选B． 【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知直角坐标系的特点． 3. 在我国海军海战演习中，若要确定每艘战舰的位置，则需要知道每艘战舰相对我方潜艇的（　　） A. 方位角 B. 距离 C. 方位角与距离 D. 失火轮船的国籍 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定物体的位置的方法，即可解答． 【详解】解：在我国海军海战演习中，若要确定每艘战舰的位置，则需要知道每艘战舰相对我方潜艇的方位角与距离， 故选：C． 【点睛】本题考查了在平面内用一组有序数对来表示物体的位置，在一个平面内要表示清楚一个点的位置，要有两个数据． 4. 如图，下列关于图中角与角的位置关系，描述错误的是( ) A. 与是对顶角 B. 与是同位角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 【答案】D 【解析】 【分析】据对顶角、同位角、同旁内角、内错角、邻补角的定义作答即可． 【详解】解：A．与是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意； B．与是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意； C．与是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意； D．与是邻补角，原说法错误，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，理解同位角、内错角、同旁内角、对顶角的意义是正确判断的前提，掌握“三线八角”的意义和位置关系是解题的关键． 5. 下列各组数中，运算结果相等的一组是（　　） A. 与 B. 23与32 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及有理数乘方的法则是解题的关键．分别计算出各数值，再进行比较即可． 【详解】解：A、， ，本选项不符合题意； B、，， ，本选项不符合题意； C、， ，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意． 故选：D． 6. 下列命题中，真命题的个数有（   ） ①如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假、平行公理、垂线段最短，根据相关性质定理判断命题的真假是解题的关键．根据平行公理、垂线段最短等知识点，逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：在同一平面内，如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行，故①是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故④是真命题； 综上所述，真命题的个数有1个． 故选：A． 7. 若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 8. 若方程是二元一次方程，则的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程是含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1成为解题的关键． 根据二元一次方程的定义得出且求得m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴且，解得：， ∴． 故选：A． 9. 如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入先求出，再代入求出．解题的关键是理解方程组解的定义． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴分别为方程和的解， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 故选：A． 10. 如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义以及坐标与图形，长方形的性质，先理解题意，得出， ，结合点O 和点B的坐标分别记为，，然后得出，最后得，即可作答． 【详解】解：依题意，∵在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为，且长方体的长宽高分别为，， ∴， ， ∵点O 和点B的坐标分别记为，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如果座位表上“2列3行”记作，那么表示______． 【答案】5列4行 【解析】 【分析】根据坐标的意义求解． 【详解】解：∵座位表上“2列3行”记作， ∴表示5列4行， 故答案为：5列4行． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：直角坐标系中，坐标平面内的点与有序实数对一一对应；记住各象限内点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征． 12. 命题“内错角相等，两直线平行”的题设是__________． 【答案】内错角相等 【解析】 【分析】根据一个命题都可以改成“如果…那么…”的形式，如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论，由此问题可求解． 【详解】解：命题“内错角相等，两直线平行”改为“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角相等，那么这两条直线平行”，所以这个命题的题设为内错角相等； 故答案为内错角相等． 【点睛】本题主要考查命题的题设与结论，熟练掌握命题的题设和结论的书写是解题的关键． 13. 如图，小华表示的位置用表示，小芳表示的位置可以用表示，则老师的位置可以表示为_______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 则老师的位置可以表示为， 故答案为：． 14. 如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为______． 【答案】（北偏东，17海里） 【解析】 【分析】以为中心，来描述点的方向和距离，南与北相对，东与西相对，距离不变，角度不变，据此即可作答． 【详解】解：由题意知：港口A相对货船B的位置可描述为：（北偏东，47海里）， 故答案为：（北偏东，17海里）． 【点睛】本题考查坐标确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 15. 已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，过点作轴，根据平移性质，得到，求出，设，根据，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：过点作轴， ∵线段向右平移4个单位到线段，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算． （1）根据算术平方根、立方根的性质化简各数，再计算加减求解即可； （2）先利用乘方，算术平方根，立方根，绝对值的性质化简各式，最后算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】把方程①乘以2，可得2x+2y= 8，再利用加减消元法求解x，再求解y，从而可得答案． 【详解】解： ①×2得：2x+2y= 8 ③ ②-③得： x=3， 将x=3 代入①式，得y=1， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“加减消元法解方程组的步骤”是解本题的关键． 19. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根的计算，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解答即可． （2）根据立方根的定义解答即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴或， ∴或． 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴． 20. 如图： （1）分别写出点A，B，C三点的坐标 （2）求的面积（平面直角坐标系中小方格的边长为1） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据坐标系中点的位置写出对应点的坐标即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标． （1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度； （2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度； （3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度； （4）点D在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都3个单位长度； （5）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）． 【解析】 【分析】（1）根据点A在y轴上得出点A的横坐标是0，根据点A位于原点上方，距离原点2个单位长度得出点A的纵坐标是2，再得出答案即可； （2）根据x轴上的点的纵坐标等于0得出答案； （3）由题意可知点C在第一象限，再根据距离每条坐标轴都是2个单位长度即可求出其坐标； （4）由题意可知点D在第三象限，再根据距离每条坐标轴都是2个单位长度即可求出其坐标； （5）由题意可知点E在第四象限，再根据距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度即可求出其坐标． 【详解】解：（1）∵点A在y轴上， ∴点A的横坐标为0， 而点A位于原点上方，距离原点2个单位长度， ∴点A的纵坐标为2， ∴点A的坐标为（0，2）； （2）点B在x轴上， ∴点B的纵坐标为0， 而点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度， ∴点B的横坐标为1， ∴点B的纵坐标为（1，0）； （3）∵点C在x轴上方，y轴右侧， ∴点C在第一象限， ∵距离每条坐标轴都是2个单位长度，横纵坐标都为2， ∴点C的坐标为（2，2）； （4）∵点D在x下轴上方，y轴左侧， ∴点D在第三象限， ∵距离每条坐标轴都是3个单位长度，横纵坐标都为-3， ∴点D的坐标为（﹣3，﹣3）； （5）∵点E在x轴下方，y轴右侧， ∴点E在第四象限， ∵距离x轴2个单位长度，纵坐标为-2，距离y轴4个单位长度，横坐标为4， ∴点E的坐标为（4，﹣2）． 【点睛】此题考查了平面内的点到坐标轴的距离和点的坐标的关系．注意：平面内一点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是它的横坐标的绝对值． 22. 如图，，与交于点P． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 23. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 【答案】（1），，这三个数是“完美组合数”，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，理解“完美组合数”的定义是解此题的关键． （1）按照已知条件中的方法，分别求出两辆乘积的算术平方根，然后根据“完美组合数”的定义进行判断即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得解． 【小问1详解】 解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下：，，，且6，3，2都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； 【小问2详解】 解：其中有两个数乘积的算术平方根为24， 这两个数的乘积为576， 当时，则， ， ， ，， 此时符合题意； 当时，则不符合题意； ． 24. 在平面直角坐标系经中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． （1）点的“短距”为 ； （2）点的“短距”为1，求的值； （3）若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】（1）2； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据点到坐标轴的距离及“短距”的定义求解即可； （2）根据“短距”的定义得出方程求解即可； （3）点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4，由，进而分类讨论，根据“等距点”的定义列出方程与，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：点到x轴、y轴距离分别为2，5， ∴“短距”为2， 故答案为：2； 【小问2详解】 点的“短距”为1， ， ∴，， 解得：或； 【小问3详解】 点到x轴的距离为，到y轴距离为1，点到x轴的距离为，到y轴距离为4， ∴当时，即或时，， ∴或， 解得或； 当时，即时，， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所诉，或． 【点睛】本题考查了新定义问题，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键． 25. 【方法给定】事实上，是无理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是．两边六次方得． 由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的六次方才是偶数，所以p也是偶数． 因此可设（r是正整数），代入上式，得，即．所以q也是偶数． 这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾． 这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数．（提示：奇数乘奇数等于奇数．奇数乘偶数等于偶数．偶数乘偶数等于偶数） （1）【理解运用】证明是无理数． （2）【猜想探究】发现问题，做出猜想，实验验证是数学学习中非常重要的一环，现在做出猜想：是不是所有无理数都能用这个方法证明是无理数呢？ 、、 、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？ 、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明吗？ 我们知道. 、、可以用这种给定方法证明吗？、、呢？（提示：无理数的相反数是无理数） （3）【总结归纳】你知道给定方法可以证明哪些无理数（根指数、被开方数有什么特点）是无理数了吗？请总结归纳出你的结论吧．（提示：可分正、负无理数归纳）（0次根号无意义，不讨论） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了无理数，证明一个数是无理数，解题关键是弄清题中的解题方法． （1）根据所给的方法证明即可； （2）根据被开方数是否是偶数，可判断能否用所给方法证明； （3）根据所给方法，得出相应的总结即可． 【小问1详解】 解：假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）的正整数p，q，使得，于是，两边8次方得， 由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的8次方才是偶数， 所以p也是偶数， 因此可设（r是正整数），代入上式，得，即， 因为是偶数，所以也是偶数，只能是是偶数， 这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾， 这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数．即是无理数． 【小问2详解】 解：因为、、 、（n为正整数，k为正整数）去掉根号后不能得到一边是偶数， 所以它们都不可以用这种给定方法证明， 、、、（n为正整数，k为正整数）可以用这种给定方法证明， 如， 假设是有理数，那么存在两个互质（公因数只有1）正整数p，q，使得，于是，两边3次方得， 由于是偶数，得也是偶数，而只有偶数的3次方才是偶数， 所以p也是偶数， 因此可设（r是正整数），代入上式，得，即． 因为是偶数， 所以也是偶数，因此可设（r是正整数），代入上式，得，即，因为是偶数， 所以也偶数， 这样，p，q都是偶数，有公因数2，与假设p，q互质矛盾， 这个矛盾说明，是有理数的猜想是错误的，在实数范围内，不是有理数就是无理数，即是无理数． 其它各数同理可证； 我们知道. 、、可以用这种给定方法证明； 、、不能用这种给定方法证明． 【小问3详解】 给定方法可以证明被开方数是偶数的无理数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$