第20讲 极值、最值讲义-2026届高三数学一轮复习

极值、最值问题 一．函数的导数与极值 一般地，设函数的定义域为D，设，如果对于附近的任意不同于的，都有 （1），则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值； （2），则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值； 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 一般地，设函数在处可导，且f′()＝0． （1）如果对于左侧附近的任意，都有f′(x)＞0，对于右侧附近的任意，都有f′(x)＜0，那么此时是的极大值点，f()叫做函数y＝f(x)的极大值（图1）． （2）如果对于左侧附近的任意，都有f′(x)＜0，对于右侧附近的任意，都有f′(x)＞0，那么此时是的极小值点，f()叫做函数y＝f(x)的极小值（图2）． 　　　 　 图1　　　　　　　　　　图2 注意： 1．极值点不是点； 2．极值是函数的局部性质； 3．按定义，极值点xi是区间［a，b］内部的点，不会是端点a，b； 4．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大； 5．使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 考点一 根据函数图象判断极值 【例1】1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点　　　　　　　　B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点　　　　　　　D．有四个极大值点、无极小值点 2．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表： x －1 0 2 4 5 y 1 2 0 2 1 f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．f(x)的极小值为________； 【训练1】1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(多选)函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有(　　) A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间　　　　　　B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间 C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值　　　 　D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值 3．已知函数，其导数的图象如图所示，则函数的极大值是　　 A． B． C． D． 4．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)图像的是(　　) 5．设函数f(x)在R上可导，其导函数是f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是(　　) 6．函数的大致图象如图所示，则等于　　 A． B． C． D． 7．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 考点二 求已知函数的极值（极值点） 【例2】1．函数y＝ln x－x2的极值点为________． 2．（25全国二）若是函数的极值点，则___________． 【训练2】1．设函数，则（ ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 2．已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－，则f(x)的极大值点为(　　) A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．e　　　　　　　　D．2e 3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1，2)，则(　　) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值　　　　　B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值　　　　　D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 4．若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A． B． C． D．1 5．（多选）已知函数，则（ ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点（0,1）是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 6．设f(x) ＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)． (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值． 小结：求极值的步骤 （1） 求导数f′(x)． （2） 求方程f′(x)=0的根，是极大值或极小值． （3）导函数由正变负，原函数由增变减，则取得极大值，导函数由负变正，原函数由减变增，则取得极小值． 考点三　已知函数的极值(点)求参数的值(范围) 【例3】1．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________． 2．已知函数在处有极值10，则（ ） A． B．0 C．或0 D．或6 【训练3】1．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________． 2．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( ) A．a＜－1 B．a＞－1 C．a＞－ D．a＜－ 3．若函数f(x)＝x2－x＋alnx在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为 ； 4．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 5．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－alnx存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a的取值范围为________． 6．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是________． 7．设函数，已知是函数的极值点．则a＝ ． 8．（23新高考二）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ） A． B． C． D． 9．（25上海）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 二．最值问题 一般步骤： (1)求函数f(x)的导数f′(x)； (2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； (3)求f(x)在给定区间上的端点值； (4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； 【例4】1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是(　　) A．－　　　 B．－ C．－4 D．－ 2．设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， (1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值． 3．（25北京，改）函数的定义域为，为处的切线． 的最大值； 【训练4】1．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　) A．－1　　　 B．0　　 　C．－　 D． 2．设函数，若有成立，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为 ． 4．已知函数f(x)＝sin x－x(x∈[0，π])，那么下列结论正确的是(　　) A．f(x)在上是增函数 B．f(x)在上是减函数 C．∃x∈[0，π]，f(x)>f D．∀x∈[0，π]，f(x)≤f 5．（多选）已知函数，下列说法中正确的有（ ） A．函数的单调减区间为 B．函数的极大值为，极小值为 C．当时，函数的最大值为，最小值为 D．曲线在点处的切线方程为 6．函数的最小值为______． 7．函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 9．已知函数． （1）若，求在处切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值． 10．（25全国一，改）设函数．求在的最大值； 小结：求函数在[a，b]的最值步骤： 设函数是定义在区间[a，b]上可导，则求函数是在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 （1）求函数在[a，b]上的极值 （2）将函数在各极点的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大为最大值，最小为最小值． 考点五 利用最值求参数范围 【例5】1．当时，函数取得最大值，则（ ） A． B． C． D．1 2．已知函数和有相同最小值．则a＝ ． 【训练5】1．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________． 2．(多选)已知函数在区间上存在最小值，则整数a可以取（　　） A． B． C．0 D．1 3．已知函数f(x)＝lnx－ax存在最大值0，则a＝________． 4．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．[－5，0)　　　　　B．(－5，0)　　　　　C．[－3，0)　　　　　D．(－3，0) 5．已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝______． 考点六 利用根和零点求参数范围 【例6】1．若函数恰有1个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若关于的方程有且只有2个根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【训练6】1．若函数在区间有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为______. 5．已知函数（为自然对数的底数）在处的切线与轴平行． （1）求的单调区间； （2）若在内有两个零点，求的取值范围． 6．设函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围． 7．（25全国二，改）已知函数，其中． 证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 考点七 导数的最值应用 【例7】1．一边长为18的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方盒． 当方盒的容积最大时，（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【训练7】1．某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB，DC)和两个半圆构成，设AB＝x m，且x≥80. (1) 若内圈周长为400 m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？ (2) 若景观带的内圈所围成区域的面积为 m2，则x取何值时，内圈周长最小？ 2．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy. (1) 若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？ (2) 为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小隧道口截面面积公式为S＝lh? 3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 极值、最值问题 一．函数的导数与极值 一般地，设函数的定义域为D，设，如果对于附近的任意不同于的，都有 （1），则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值； （2），则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值； 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 一般地，设函数在处可导，且f′()＝0． （1）如果对于左侧附近的任意，都有f′(x)＞0，对于右侧附近的任意，都有f′(x)＜0，那么此时是的极大值点，f()叫做函数y＝f(x)的极大值（图1）． （2）如果对于左侧附近的任意，都有f′(x)＜0，对于右侧附近的任意，都有f′(x)＞0，那么此时是的极小值点，f()叫做函数y＝f(x)的极小值（图2）． 　　　 　 图1　　　　　　　　　　图2 注意： 1．极值点不是点； 2．极值是函数的局部性质； 3．按定义，极值点xi是区间［a，b］内部的点，不会是端点a，b； 4．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大； 5．使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 考点一 根据函数图象判断极值 【例1】1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点　　　　　　　　B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点　　　　　　　D．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C 【解析】设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4． 当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点， 同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C． 2．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表： x －1 0 2 4 5 y 1 2 0 2 1 f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．f(x)的极小值为________； 【答案】2 【解析】由y＝f′(x)的图象可知，f(2)为f(x)的极小值且f(2)＝0. 【训练1】1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】依题意，记函数y＝f′(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a<x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x2<x<x4时，f′(x)≥0；当x4<x<b时，f′(x)<0.因此，函数f(x)分别在x＝x1、x＝x4处取得极大值，选B. 2．(多选)函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有(　　) A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间　　　　　B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间 C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值　　　　　 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值 【答案】ABD　 【解析】由函数y＝f(x)导函数的图象可知，f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)， 单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f(x)在x＝－1，5取得极小值，在x＝3取得极大值，C错误． 故选A、B、D． 3．已知函数，其导数的图象如图所示，则函数的极大值是　　 A． B． C． D． 【答案】B　 【解析】由导函数的图象知，在递增；在上递减所以当时取得极大值， 极大值为：（2）则函数的极大值是故选：． 4．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)图像的是(　　) 【答案】D　 【解析】 因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点， 所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0. 5．设函数f(x)在R上可导，其导函数是f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是(　　) 【答案】C　 【解析】f(x)在x＝－2处取得极小值，即x<－2，f′(x)<0；x>－2，f′(x)>0，那么y＝xf′(x)过点(0,0)及(－2,0)． 当x<－2时，x<0，f′(x)<0，则y>0；当－2<x<0时，x<0，f′(x)>0，y<0；当x>0时，f′(x)>0，y>0，故C正确． 6．函数的大致图象如图所示，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】，由图象知，，，， ，，．由题意有和是函数的极值点， 故有和是的根，，．则， 故选：． 7．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【答案】D 【解析】由图象可知当时，，所以此时，函数递增. 当时，，所以此时， 函数递减.当时，，所以此时，函数递减. 当时，，所以此时，函数递增. 所以函数有极大值，极小值． 考点二 求已知函数的极值（极值点） 【例2】1．函数y＝ln x－x2的极值点为________． 【答案】 【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y′＝－2x＝，令y′＝＝0，解得x＝， 当x＞时，y′＜0，当0＜x＜时，y′＞0，所以当x＝时，函数取得极大值，故函数的极值点为． 2．（25全国二）若是函数的极值点，则___________． 【答案】 【解析】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当，单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以.故答案为：. 【训练2】1．设函数，则（ ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【答案】D 【解析】，令，则，当时， 当时，所以为极小值点，故选D. 2．已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－，则f(x)的极大值点为(　　) A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．e　　　　　　　　D．2e 【答案】D 【解析】f′(x)＝－，故f′(e)＝，故f(x)＝2lnx－，令f′(x)＝－>0，解得0<x<2e， 令f′(x)<0，解得x>2e，故f(x)在(0，2e)上递增，在(2e，＋∞)上递减， ∴x＝2e时，f(x)取得极大值2ln 2，则f(x)的极大值点为2e． 3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1，2)，则(　　) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值　　　　　B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值　　　　　D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 【答案】C 【解析】因为f′(x)＝(x－1)k－1[ex(x－1＋k)－k]，当k＝1时，f′(1)>0，故1不是函数f(x)的极值点． 当k＝2时，当x0<x<1(x0为f(x)的极大值点)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．故f(x)在x＝1处取到极小值．故选C． 4．若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由题意得，∵是函数的极值点，∴f′()＝0，∴，∴，， ∴时，，单调递增，时，，单调递减， ∴的极小值． 5．（多选）已知函数，则（ ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点（0,1）是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】由题，，令得或，令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A正确；因，，， 所以，函数在上有一个零点，当时，， 即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC． 6．（25全国二）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD. 7．设f(x) ＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)． (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)·(x－1)，由点(0,6)在切线上 可得6－16a＝8a－6，故a＝． （2）由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3. 当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3． 小结：求极值的步骤 （1）求导数f′(x)． （2）求方程f′(x)=0的根，是极大值或极小值． （3）导函数由正变负，原函数由增变减，则取得极大值，导函数由负变正，原函数由减变增，则取得极小值． 考点三　已知函数的极值(点)求参数的值(范围) 【例3】1．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.， 因为函数f(x)既有极大值又有极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根， Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1. 2．已知函数在处有极值10，则（ ） A． B．0 C．或0 D．或6 【答案】A 【解析】由函数有.函数在处有极小值10. 所以，即，解得: 或，当时，，令得或，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 显然满足函数在处有极小值10.当时，， 所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10.所以，故选：A 【训练3】1．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________． 【答案】3 【解析】由f′(x)＝，∴x2＋2x－a＝0，x≠－1， 又f(x)在x＝1处取极值，∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3. 2．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( ) A．a＜－1 B．a＞－1 C．a＞－ D．a＜－ 【答案】A 【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1. 3．若函数f(x)＝x2－x＋alnx在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为 ； 【答案】(－∞，－1] 【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋＝，由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a≤0，所以a∈(－∞，－1]． 4．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】f(x)＝x(lnx－ax)，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x－2ax．由题意知，当x>0时，1＋lnx－2ax＝0有两个不相等的实数根，即2a＝有两个不相等的实数根，令φ(x)＝(x>0)，∴φ′(x)＝． 当0<x<1时，φ′(x)>0；当x>1时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x→0时，φ(x)→－∞，当x→＋∞时，φ(x)→0，则0<2a<1，即0<a<． 5．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－alnx存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】对函数求导得f′(x)＝x－1＋a＝，x>0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0，且f(1)＝－＋a≥1，所以a≥． 6．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意，定义域为，有唯一的实数根， 即方程有唯一的实数根，所以无变号零点，即无变号零点. 设，则，时，，为减函数； 时，，为增函数；所以；所以k的取值范围为：． 7．设函数，已知是函数的极值点．则a＝ ． 【答案】1 【解析】由，， 又是函数的极值点，所以，解得； 8．（23新高考二）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD 9．（25上海）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1）；（2）且. 【解析】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故，故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，，时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，，故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 二．最值问题 一般步骤： (1)求函数f(x)的导数f′(x)； (2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； (3)求f(x)在给定区间上的端点值； (4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； 【例4】1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是(　　) A．－　　　 B．－ C．－4 D．－ 【答案】A 【解析】f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－， 故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－. 2．设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， (1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值． 【答案】a=1，b=；（2）－ 【解析】(1)f′(x)＝－2bx，∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， ∴，解得． (2)f(x)＝ln x－x2，f′(x)＝－x＝，∵当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<1；令f′(x)<0，得1<x≤e， ∴f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝－． 3．（25北京，改）函数的定义域为，为处的切线． 的最大值； 【答案】； 【解析】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为. 【训练4】1．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　) A．－1　　　 B．0　　 　C．－　 D． 【答案】C 【解析】g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x＝或－(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表： x 0 1 g′(x) － 0 ＋ g(x) 0 ↘ 极小值 ↗ 0 所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.答案　C 2．设函数，若有成立，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，令，得或， 当时，，当时， ，所以在上递减，在上递增， 因为，，所以由有成立，可得， 所以，故选：A 3．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为 ． 【答案】－2e 【解析】由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，∵f′(x)为偶函数，∴m＝0，故 f(x)＝x3＋nx＋2， ∵f(1)＝＋n＋2＝－，∴n＝－3．∴f(x)＝x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3．故g(x)＝ex(x2－3)， 则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)·(x＋3)，据此可知函数g(x)在区间[0，1)上单调递减， 在区间(1，2]上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)＝e1·(12－3)＝－2e． 4．已知函数f(x)＝sin x－x(x∈[0，π])，那么下列结论正确的是(　　) A．f(x)在上是增函数 B．f(x)在上是减函数 C．∃x∈[0，π]，f(x)>f D．∀x∈[0，π]，f(x)≤f 【答案】D 【解析】注意到f′(x)＝cos x－，当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，因此函数f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)在[0，π]内的最大值是f，即∀x∈[0，π]，都有f(x)≤f，因此D正确． 5．（多选）已知函数，下列说法中正确的有（ ） A．函数的单调减区间为 B．函数的极大值为，极小值为 C．当时，函数的最大值为，最小值为 D．曲线在点处的切线方程为 【答案】ABD 【解析】由可得，对于A：由即，解得：， 所以函数的单调减区间为，故选项A正确；对于B：由即，解得：；由即，解得：或；所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，的极小值为，故选项B正确； 对于C：由选项B知：在单调递增，所以在上单调递增，所以当时，函数的最大值为，最小值为，故选项C不正确； 对于D：由导数的几何意义可得在点处切线的斜率 曲线在点处的切线方程为即，故选项D正确；故选：ABD. 6．函数的最小值为______． 【答案】1 【解析】定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴． 7．函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为， 最大值为.故选：D 8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 【答案】（1）a＝2，b＝－4，c＝5；（2）最大值为13，最小值为 【解析】(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，② 由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.所以1＋a＋b＋c＝4.所以c＝5. (2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解之，得x1＝－2，x2＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示： x －3 (－3，－2) －2 1 f′(x) ＋ ＋ 0 － 0 ＋ ＋ f(x) 8 单调递增 13 单调递减 单调递增 4 所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为． 9．已知函数． （1）若，求在处切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【解析】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得，故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，. 10．（25全国一，改）设函数．求在的最大值； 【答案】； 【解析】， 因为，故，故，当时，即， 当时，即，故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 小结：求函数在[a，b]的最值步骤： 设函数是定义在区间[a，b]上可导，则求函数是在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 （1）求函数在[a，b]上的极值 （2）将函数在各极点的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大为最大值，最小为最小值． 考点五 利用最值求参数范围 【例5】1．当时，函数取得最大值，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增， 在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B. 2．已知函数和有相同最小值．则a＝ ． 【答案】 【解析】的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数，故. 当时，，故在上为减函数，当时，， 故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为.综上，. 【训练5】1．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ ． 【答案】[4，＋∞) 【解析】当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]， g′(x)＝＝－，g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表： x g′(x) ＋ 0 － g(x) 增 极大值4 减 因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)． 2．(多选)已知函数在区间上存在最小值，则整数a可以取（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】BCD 【解析】，时，或，当或时，， 当时，，所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，那么当，解得：或 ，所以函数在区间上存在最小值， 则 ，解得：.故选：BCD 3．已知函数f(x)＝lnx－ax存在最大值0，则a＝________． 【答案】 【解析】f′(x)＝－a，x＞0．当a≤0时，f′(x)＝－a＞0恒成立，函数f(x)单调递增，不存在最大值； 当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当x＞时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．∴f(x)max＝f ＝ln －1＝0，解得a＝． 4．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．[－5，0)　　　　　B．(－5，0)　　　　　C．[－3，0)　　　　　D．(－3，0) 【答案】C 【解析】由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数， 在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3， 则结合图象可知，解得a∈[－3，0)，故选C． 5．已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝______． 【答案】－3e 【解析】f′(x)＝＋＝(x＞0)， ①当m＞0时，f′(x)＞0，f(x)在区间[1，e]上为增函数，f(x)有最小值f(1)＝－m＝4，得m＝－4，与m＞0矛盾． ②当m＜0时，若－m＜1，即m＞－1，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，得m＝－4，与m＞－1矛盾； 若－m∈[1，e]，即－e≤m≤－1，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，与－e≤m≤－1矛盾； 若－m＞e，即m＜－e时，f(x)min＝f(e)＝1－＝4，解得m＝－3e，符合题意． 考点六 利用根和零点求参数范围 【例6】1．若函数恰有1个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以当时， 即函数在上单调递增，当时，即函数在和上单调递减， 所以当时取得极小值，当时取得极大值，要使函数恰有1个零点，则或，即或，解得或，即． 2．若关于的方程有且只有2个根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得（），令，所以关于的方程有且只有2个根，等价于函数的图像与直线有两个交点，由，得，当时，，当，，所以在上递增，在上递减， 所以，当时，，所以当时，函数的图像与直线有两个交点，所以a的取值范围是，故选：D 【训练6】1．若函数在区间有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减，又，，，，则在区间有三个不同的零点，则其大致图象如下图所示： ，解得：，即实数的取值范围为.故选：B. 2．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，，因此要使函数有两个零点，则，∴．故选：B． 3．已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令f(x)=0，则，，令，， 令，，则函数在区间单调递增，， 所以，函数在区间单调递增，所以有，即，所以，故选：B． 4．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】当时，，此时，所以不是方程的根， 当时，方程可化为： ，设， 方程有三个不同的实数根，即与函数的图像有3个交点.当时，， 此时单调递减，且，，当时，，则， 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.且时，，，当时，，时,. 作出的图象如图.由图可得:当时，与函数的图像没有交点当时，与函数的图像有1个交点当时，与函数的图像有2个交点当时，与函数的图像有3个交点当时，与函数的图像有2个交点，所以方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为 5．已知函数（为自然对数的底数）在处的切线与轴平行． （1）求的单调区间； （2）若在内有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）上单调递减，在上单调递增；（2） 【解析】（1），在处的切线与轴平行，，，，，又在上为增函数，且，存在唯一的使得，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增． （2），令，即在上有两个实根，，令，得，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增，在上有两个实根， 解得，． 6．设函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【解析】（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为. （2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得，故即. 7．（25全国二，改）已知函数，其中． 证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 【答案】证明见解析； 【解析】由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时，所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. 考点七 导数的最值应用 【例7】1．一边长为18的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方盒． 当方盒的容积最大时，（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由题意可得：无盖方盒的底面是边长为的正方形，高为，则无盖方盒的容积，， 当时，，当时，，所以在上单调递增， 在上单调递减，故时，方盒的容积最大，故选：B. 【训练7】1．某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB，DC)和两个半圆构成，设AB＝x m，且x≥80. (1) 若内圈周长为400 m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？ (2) 若景观带的内圈所围成区域的面积为 m2，则x取何值时，内圈周长最小？ 【答案】（1）x＝100(m)；（2）x＝80(m) 【解析】设题中半圆的半径为r(m)，矩形ABCD的面积为S(m2)，内圈周长为c(m)． (1) 由题意知：S＝2rx，且2x＋2πr＝400，即x＋πr＝200，于是S＝2rx＝·x·(πr)≤＝(m2)，当且仅当x＝πr＝100(m)时，等号成立．答：当x＝100(m)时，矩形ABCD的面积最大． (2) 由题意知：2rx＋πr2＝，于是x＝－·r，从而c＝2x＋2πr＝2＋2πr＝＋πr.因为x≥80，所以－·r≥80，即(πr)2＋160·πr－22 500≤0，解得－250≤πr≤90，所以0<r≤，故≥.因为c′＝－·＋π≤－·＋π＝－π<0，所以关于r的函数c＝＋πr在上是单调减函数．故当r＝，即x＝－·＝80(m)时，内圈周长c取得最小值，且最小值为＋90＝340(m)． 2．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy. (1) 若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？ (2) 为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小隧道口截面面积公式为S＝lh? 【答案】（1）l是40 m；（2）拱高为 m，拱宽为20 m 【解析】 (1) 设抛物线的方程为y＝－ax2(a>0)，则抛物线过点10，－，代入抛物线方程解得a＝， 令y＝－6，解得x＝±20，则隧道设计的拱宽l是40 m． (2) 抛物线最大拱高为h m，h≥6，抛物线过点10，－h－，代入抛物线方程得a＝. 令y＝－h，则－x2＝－h，解得x2＝，则2＝，h＝.因为h≥6，所以≥6， 即20<l≤40.所以S＝lh＝l·＝(20<l≤40)． 所以S′＝＝＝，当20<l<20时，S′<0； 当20<l≤40时，S′>0，即S在(20,20)上单调递减，在(20，40]上单调递增，所以S在l＝20时取得最小值，此时l＝20，h＝.当拱高为 m，拱宽为20 m时，使得隧道口截面面积最小． 3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$