精品解析：江苏省徐州市第二中学等校2025届高三下学期高考模拟数学试题

2025年高三年级试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的展开式中第2项与第5项的系数相等，则偶数项的二项式系数和为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 5. 设等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 23 B. 25 C. 30 D. 35 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B，C是函数的图象上的三点，且A在x轴上，轴，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上可导函数足：，若单调递增数列满足：，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，P为圆O上的动点，则（ ） A. 圆心O关于直线AB对称点为 B. 动点P到直线AB的距离最大值为 C. 以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D. 分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 11. 如图，在圆柱中，AB，CD为圆的两条直径，CE，DF是两条母线，且．用平面ABE和平面ABF截这个圆柱所得中间部分称为“楔形体”，记平面ABE与圆柱侧面的交线为曲线C，则（ ） A. C是椭圆的一部分 B. C是抛物线的一部分 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. “楔形体”的体积V满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，在C上，则_________． 13. 若曲线一个对称中心为，则的最小值为_________． 14. 若函数在处取得极小值，则a的值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． （1）求异面直线PC与AB间的距离； （2）求二面角的余弦值． 16. 某品牌新能源汽车在某城市2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/辆 32 48 63 80 107 （1）求y关于x的经验回归方程； （2）用（1）中所求的方程来拟合数据时，定义残差的绝对值大于3的一对数据为“异常数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“异常数据”的对数X的概率分布和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 17. 已知椭圆的离心率为，右顶点为． （1）求C的标准方程； （2）若，直线l过C的右焦点且与C交于P，Q两点， ①求的最小值； ②若，求l的方程． 18. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P满足． （1）若，求； （2）若，的周长为4， ①求证：； ②求面积的最大值． 19. 给定函数，若过点P恰能作曲线的k条切线，则称P是的“k秩点”，切点的横坐标为的“k秩数”． （1）若是函数的“k秩点”，求其“k秩数”； （2）证明：是函数的“0秩点”； （3）记使函数的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为．证明：对，，且，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三年级试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式计算即可. 【详解】由题可得， 故选：A 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求得复数，进而利用复数的模的公式可求解. 【详解】由，可得. 所以，所以. 故选：C. 3. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性，结合集合间的包含关系代入数值计算即可. 【详解】因为函数是增函数，且，所以，即的取值范围为. 故选：D. 4. 已知的展开式中第2项与第5项的系数相等，则偶数项的二项式系数和为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用二项式系数的性质求解. 【详解】依题意，，解得， 所以的展开式偶数项的二项式系数和为. 故选：B 5. 设等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 23 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列奇数项前项和的性质，求出及即可得解. 【详解】由，得， 可得， ， 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，展开即可求解. 【详解】， ， 两式联立可得， 故选：A 7. 已知A，B，C是函数的图象上的三点，且A在x轴上，轴，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出图象确定点的坐标，然后根据轴设出的坐标，根据绝对值的对称性求出它们的坐标，然后利用向量的数量积坐标公式可求出结果. 【详解】根据函数的解析式画出图象为： 因为点在轴上，所以. 因为，所以设，则. 根据绝对值函数的对称性，，所以， 化简得：，解得（舍去）或. 所以，. 所以，. 所以. 故选：C. 8. 已知定义在上的可导函数足：，若单调递增数列满足：，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到，进而得到，再通过累加，逐个判断即可. 【详解】由，可得， 即在上递增， 因数列递增，所以, , 所以， 也即， 即， 所以， 所以 所以，，，， 但，故无法判断与的大小. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项分布分布列即可判断A，再利用二项分布的均值和方差公式求出即可判断BC；最后再利用方差的性质再求的方差. 【详解】对A，，故A错误； 对B，因为，所以，故B正确； 对C，. 对D，. 故选：BCD. 10. 已知圆，P为圆O上的动点，则（ ） A. 圆心O关于直线AB的对称点为 B. 动点P到直线AB的距离最大值为 C. 以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D. 分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线的方程，求出对称点坐标判断A；利用圆的性质求出最大距离判断B；确定两圆位置关系判断C；求出切线长判断D. 【详解】直线的斜率，直线的方程为， 对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确； 对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误； 对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为， 而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确； 对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误. 故选：AC 11. 如图，在圆柱中，AB，CD为圆的两条直径，CE，DF是两条母线，且．用平面ABE和平面ABF截这个圆柱所得中间部分称为“楔形体”，记平面ABE与圆柱侧面的交线为曲线C，则（ ） A. C是椭圆的一部分 B. C是抛物线的一部分 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. “楔形体”的体积V满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，通过切线相等即可判断A、B选项；利用圆柱的外接球即为三三棱锥的外接球计算可判断C，“楔形体”的体积大于半圆柱的体积，小于圆柱的体积减去两个三棱锥的体积. 【详解】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切， 又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为，取曲线C上一点， 过点的圆柱母线与两球交于两点，由于同是下面球的切线， 同是上面球的切线，可得， 则， 由椭圆的定义知：曲线是椭圆的一部分，A正确,B错误； 因为是直径，可得圆柱的外接球即为三棱锥的外接球， 故外接球的球心在上，且为的中点， 设外接球半径为，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确； 圆柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以“楔形体”的体积V小于， “楔形体”的体积V大于半个圆柱的体积， 所以“楔形体”的体积V满足，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，在C上，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线为，， 在C上，. 故答案为：5. 13. 若曲线的一个对称中心为，则的最小值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数的对称性列式求出的关系，进而求出最小值. 【详解】由曲线的一个对称中心为，得， 解得，所以的最小值为2. 故答案为：2 14. 若函数在处取得极小值，则a的值为_________． 【答案】1或2 【解析】 【分析】对函数求导，结合求参数值，注意验证处是否取得极小值即可. 【详解】由题设，则， 所以或， 当，则，， 若，则，此时，即在上单调递减， 若，令，则， 对于且，则，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，，故在上恒成立， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，故在上恒成立， 综上，在上恒成立，即， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增， 此时在处取极小值，满足； 当，则， 同上分析，易知在上单调递减， 若，令，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增， 此时在处取极小值，满足； 综上，或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB中点． （1）求异面直线PC与AB间的距离； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：先应用线面垂直得出平面PAB，应用边长关系得出，计算求解距离即可；方法二：建立空间直角坐标系设与和都垂直，应用异面直线的距离公式计算求解； （2）应用空间直角坐标系先求出平面PMN及平面AMN的一个法向量，最后应用面面角的余弦公式计算求解. 【小问1详解】 方法一：连接BM，CN， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， ，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以． 在中，M为PC的中点，所以． 因为平面ABC，平面ABC，所以． 在中，M为PC的中点，所以， 所以． 又因为N为AB中点，所以． 在和中，， 所以，所以，又M为PC的中点，． 故线段MN的长即为异面直线AB与PC间的距离． 在中，， 在中，， 所以．因为，所以． 故异面直线AB与PC间的距离为． 方法二：因为平面ABC，平面ABC，所以． 如图，在平面ABC中，过点A作直线AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设与和都垂直， 则即 则，不妨取，则． 所以异面直线AB与PC间的距离． 【小问2详解】 因为M，N分别为PC，AB的中点，所以， 则， 设是平面AMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则． 设是平面PMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则． 设二面角的平面角为， 由图可知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 16. 某品牌新能源汽车在某城市2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/辆 32 48 63 80 107 （1）求y关于x的经验回归方程； （2）用（1）中所求的方程来拟合数据时，定义残差的绝对值大于3的一对数据为“异常数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“异常数据”的对数X的概率分布和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 【答案】（1）； （2）分布列见解析；期望为. 【解析】 【分析】（1）根据已知数列及最小二乘法求回归直线方程即可； （2）首先求出对应估计值，再分别与观测值作差判断异常数据，即有X的所有可能取值为0，1，2并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由表格可得，， ， 所以， 故y关于x的经验回归方程是． 【小问2详解】 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为． 所以“异常数据”为第四对和第五对共2对数据， 故“异常数据”的对数X的所有可能取值为0，1，2， ， 所以X的概率分布如下： X 0 1 2 P 数学期望． 17. 已知椭圆的离心率为，右顶点为． （1）求C的标准方程； （2）若，直线l过C的右焦点且与C交于P，Q两点， ①求的最小值； ②若，求l的方程． 【答案】（1）； （2）① ；②或. 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆参数关系求参数值，即可得方程； （2）①设，则，应用两点距离公式及二次函数性质求最值；②设l为，根据已知有，由等比例关系得，即，再联立直线与椭圆并应用韦达定理求参数值，即可得方程. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以，故C的标准方程为． 【小问2详解】 ①设，则， 所以， 又，所以当时，的最小值为， ②由题意，右焦点，直线l斜率不为0， 设l的方程为， 因为，所以，则， 故，可得， 由，消去x，得， 则， 从而， 可得，即，所以， 故l的方程为或． 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P满足． （1）若，求； （2）若，的周长为4， ①求证：； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；② 【解析】 【分析】（1）方法一：先根据边相等判断是等边三角形，再结合角相等推出，进而得出，算出的值.方法二：在和中用正弦定理，得到，结合范围求出. （2）①由角相等得出，在和中用正弦定理，推出，再得到.②先根据和均值不等式求出的上限，再由三角形三边关系求出的下限.用余弦定理表示，进而得出关于的表达式，通过求导判断函数单调性，求出最大值. 【小问1详解】 方法一：因为，所以为等边三角形， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以． 方法二：在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以，又，所以，故． 小问2详解】 ①证明：因为，所以． 在中，，在中，， 所以，即， 从而，故． ②因为，所以， 解得，当且仅当时，取等号， 又，则，即，即， 整理得，解得，故． 在中，由余弦定理，得 ， ， 令，则，所以单调递增， 所以的最大值为．故最大值为． 19. 给定函数，若过点P恰能作曲线的k条切线，则称P是的“k秩点”，切点的横坐标为的“k秩数”． （1）若是函数的“k秩点”，求其“k秩数”； （2）证明：是函数的“0秩点”； （3）记使函数的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为．证明：对，，且，有． 【答案】（1）1和； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设切点为，由导数几何意义求出切线方程，将代入切线方程，得到，则“k秩数”为1和； （2）设切点为，求出切线方程，代入，所以，令，求导得到函数单调性，求出，方程无实数解，得到结论； （3）求出在点处的切线方程，变形得到，则点当且仅当恰有一个零点，且该零点小于0，分，和三种情况，进行讨论，得到且，再分，和三种情况，构造函数，求导，得到函数单调性和最值，证明出． 【小问1详解】 设切点为，，所以切线方程为， 又过点，将其代入切线方程得， 所以，即，则“k秩数”为1和． 【小问2详解】 设切点为，所以切线方程为， 又过点，所以． 令．则， 令，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 又，所以． 即方程无实数解． 故是的“0秩点”． 【小问3详解】 ，曲线在点处的切线方程为． 故点当且仅当关于t方程， 即恰有一个实数解，且该解为负值． 设， 则点当且仅当恰有一个零点，且该零点小于0． ①若，则在上是增函数，， 要想恰有一个零点，且该零点小于0，需满足； ②若，因为，令，解得或，列表如下： t 0 a 0 0 极大值 极小值 所以，即； ③若，同理可得，即． 综上所述，且， 所以对，若，则；若，则． ①当时，，所以； ②当时，， 所以． 令，则，令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增． 所以，所以． ③当时，， 所以． 令，则，所以单调递增， 所以，所以． 综上所述，对，且，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $